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集合复习13,9,12教师版


高频考点

集合与一元二次不等式

知识点一:集合中元素的特征:①确定性 ②互异性 1.A={1,0, a }表示一个集合,则 a 的取值范围 练:含有三个实数的集合可表示为 ?a,
2

③无序性;主要考察互异性

? b ? ,1? ,也可表示为 ?a 2 , a ? b,0?,则 a

2007 ? b 2008 的值是多少? a ? ?
(A)1∈A (B)1?A (C){1}∈A (D)1?A

知识点二:元素与集合的关系 1.设集合 A={x|x≤2},则下列四个关系中正确的是 1.{ x x ?

a a
?

?

b b

, a, b 为非零实数} 集合元素的个数有

2. 集合 A= ? x

y?x

2 ? y?x

,则可化简为_______

2(江西)若集合 A={-1,1} ,B={0,2} ,则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( C ) A.5 B.4 C.3 D.2 3.(新课标)集合 A ? ? ,2,3,4,5,6? , B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ;,则 B 中所含元素的个数为(D ) 1

( A) 10

( B) 12

(C ) 14

( D) 15

知识点三:集合与集合的关系(子集个数问题:若有限集 A 有 n 个元素,则 A 的子集有 2 n 个,真子集有

2n ? 1 ,非空子集有 2n ? 1 个,非空真子集有 2n ? 2 个.)
1.已知集合 A={a,b,c}则 B ={x︱x∈A}则集合 A 与 B 的关系 A=B 2.已知集合 A={a,b,c}则 B ={x︱x ? A}则集合 A 与 B 的关系 A∈B 3. 已知集合 A={(x,y) x ? y ? 0, xy ? 0 }B ={(x,y)︱ x ? 0, y ? 0 }则集合 A 与 B 的关系 A=B 4. 已知集合 A={x x=3n, n ? z }B ={x x=6n, n ? z }则集合 A 与 B 的关系 A ? B A.16 B.8 C.7 C.3 个 D.4 D.4 个 C.3 D.4 5. 设集合 A ? {x 0 ? x ? 3且x ? N}的真子集的个数是( C ) ... 6. 满足条件 ?0,1?? A ? ?0,1? 的所有集合 A 的个数是( D )

1 7. 满足条件 ? 1,2 ? ? M = ? ,2,3 ? 的所有集合 M 的个数是 tx( D )jy A.1 B.2 8. 已知{a,b} ? A ? {a,b,c,d,e},写出所有满足条件的集合A的个数_______。 变式:已知{a,b} ? A ? {a,b,c,d,e},写出所有满足条件的集合A的个数_______。 ?
变式:已知{a,b} ? A ? {a,b,c,d,e},写出所有满足条件的集合A的个数_______。 ? 变式:已知{a,b} ? A ? {a,b,c,d,e},写出所有满足条件的集合A的个数_______。 ? ? 知识点五:集合的基本运算: A ? B ? {x | x ? A且x ? B}

A.1 个 B.2 个

A ? B ? {x | x ? A或x ? B}

C U A ? {x | x ? U且x ? A}
)

1.(广东)设集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6}, M ? {1, 2, 4} ;则 CU M ? ( C

( A) U

( B) {1,3,5}
A. ?5,8? B. ?7,9?

(C ) {? , ? , ? }
C. ?0,1,3?

( D) {?, ?, ?}
D. ?2,4,6?

2. ( 辽 宁 ) 已 知 全 集 U = ?0,1,2,3,4,5,6,7,8,9? , 集 合 A= ?0,1,3,5,8? , 集 合 B = ? 2 , 4 , 5 , 6,8则 ? ,

? CU A? ? ? CU B ? =

3.(湖南)设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N= B 解:? N ? ?0,1? M={-1,0,1} ?M∩N={0,1}.

A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}

4.(山东) 已知全集 ? ={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3,},B={2,4} ,则 ?Cu A? ? B 为 C A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4}
1

解: CU A ? {0,4}, (CU A) ? B ? {0,2,4} 。

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集合与一元二次不等式

5.设集合 M ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2} , N ? {n ? Z | ?1≤ n ≤ 3} ,则 M ? N ? 6.已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合 M∩N 为( D ) A. x=3,y= -1 B. (3,-1) C. {3,-1} D. {(3,-1)}
2 7.(陕西)集合 M ? x x ? 1 ? 0 , N ? {x | x ? 4} ,则 M ? N ? ______________

0 1? ??1,,

?

?

解: M ? x x ? 1 , N ? x ? 2 ? x ? 2 ,则 M ? N ? x 1 ? x ? 2

?

?

?

?

?

?
D.(1,2)

8.(浙江).设集合 A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则 A∩( C RB)=B A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3)

解:A=(1,4),B=[-1,3],则 A∩( C RB)=(3,4). 9. 设集合 A={x||x|<4} ? x ? 4 ? x ? 4 ,B={x|

?

?

x ?1 >0 },则集合{x|x∈A 且 x ? A∩B}=___________ x?3

知识点五: (重要运算性质)已知集合之间的关系求参数 ① A ? B ? A? B ? A; ② A ? B ? A∪B=B 1.(大纲版).已知集合 A ? 1,3, m , B ? ?1, m? , A ? B ? A ,则 m ? A.0 或 3 解:? A ? B ? A B.0 或 3 C.1 或 3 D.1 或 3

?

?

? B ? A ,? A ? 1,3, m , B ? ?1, m?

?

?

? m ? A ,故 m ? m 或 m ? 3 ,解

得 m ? 0 或 m ? 3 或 m ? 1,又根据集合元素的互异性 m ? 1,所以 m ? 0 或 m ? 3 。 2.(天津)集合 A ? x ? 5 ? x ? 1 , 集合 B={x ? R|(x ? m)(x ? 2)<0} ,且 A ? B=( ? 1,n) , m= -1, n= 则

?

?

1

1 3.已知集合 M ? ? ,3, t?, P ? t ? t ? 1 ,若 M ? P ? M ,则 t =_____________.
2

?

?

4. A ? ? x | ?1 ? x ? 3? , B ? ? x | x ? a? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是 5.设A={x|1<x<2},B={x|x-a<0},若A ? B,则 a 的取值范围是 ?

a?3

6. 若集合 P ? x x ? x ? 6 ? 0 , T ? x mx ? 1 ? 0 , T ? P , 且 则实数 m 的可取值组成的集合是 C (
2

?

?

?

?

。 )

A. ? ,? ? 变式训练:

?1 ?3

1? 2?

B. ? ?

?1 ? ?3?

C. ? ,?

?1 ?3

1 ? ,0 ? 2 ?

D. ?? ?

? 1? ? 2?

1.已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},集合 B={x|p+1≤x≤2p-1}.若A∪B=A,求实数 p 的取值范围 2.设 A ? x x ? 4 x ? 0 , B ? x x ? 2?a ? 1?x ? a ? 1 ? 0 .
2 2 2

?

?

?

?

若 A ? B ? B, 求 a 的值; 3.已知集合 A ? ??2? , B ? x x ? ax ? a ? 12 ? 0 ,若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围。
2 2

?

?

解:①当 B ? ? 时,方程 x ? ax ? a ? 12 ? 0 无解, ? ? 0 ,解得 a ? 4 或 a ? ?4 ;
2 2

②当 B ? ? 时,方程 x ? ax ? a ? 12 ? 0 有一个解, ? ? 0 ,同时将 ?2 代入 x ? ax ? a ? 12 ? 0 ,
2 2 2 2

解得 a ? 4 ;综上所述 a 的取值范围为 a ? 4 或 a ? ?4 。 不等式类型及其解法:

2

高频考点

集合与一元二次不等式

类型 1:解一元二次不等式(求解,画图,写解集)

1.解下列不等式: (1) x 2 ? x ? 2 ? 0 ;解集为 x ? 1 ? x ? 2 (3) ? 1 ? x ? 2 x ? 1 ? 2
2
2

?

?

(2) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 。解集为 ?

2.(湖南文)不等式 x -5x+6≤0 的解集为_ x 2 ? x ? 3 _____. 3.若不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集是 {x | 3 ? x ? 4},则实数 a ? _____,b ? _____. 类型 2:解含参数的一元二次不等式的问题 含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易因 式分解,则可对判别式分类讨论,分类要不重不漏。若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为 零,然后再讨论二次项系数不为零时的情形,以便确定解集的形式;其次,对相应的方程的根进行讨论, 比较大小,以便写出解集。分类讨论:讨论自己求自己先交后并,讨论别人求自己不交不并,各写各的。
2

?

?

1、解关于 x 的不等式 x ? (a ? 1) x ? a ? 0
2

变式:解关于 x 的不等式 ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 类型 4:解分式不等式 (1)解分式不等式时,要注意先移项,使右边化为零,要注意含等号的分式不等式,分母不为零。
2

? ax ? b ? 0 ? ax ? b ? 0 ax ? b 或? 的并集。 ? 0 转化为 (ax ? b)(cx ? d ) ? 0 ,也可转化为 ? cx ? d ?cx ? d ? 0 ?cx ? d ? 0 ?(ax ? b)(cx ? d ) ? 0 ? ax ? b ? 0 ? ax ? b ? 0 ax ? b (3) ) ,也可转化为 ? 或? 的并集。 ? 0 转化为 ? cx ? d ? 0 cx ? d ? ?cx ? d ? 0 ?cx ? d ? 0
(2) 1.解不等式(1)

x x x 。解:原不等式等价于 <0 ? x(x+2)<0 ? -2<x<0。 ? x?2 x?2 x?2

x2 ? 9 2.(江西)不等式 ? 0 的解集是 (?3,2) ? (3, ?) ___________。 ? x?2

3


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