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江苏省常州市2007—2008学年度第二学期期末质量调研高一数学(必修5必修2)试题2008.7


江苏省常州市 2007—2008 学年度第二学期期末质量调研高一数学 (必修 5 必修 2) 2008.7 试题
命题单位:常州市教育教研室 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.不需写出解答过程,请把答案填写在题 中横线位置上. 1.直线 3x ? y ? 0 的倾斜角等于 2.函数 f ( x) ? lg( x 2 ? 1) 的定义域为 3

. 圆心是 (?2,3) , 且经过原点的圆的标准方程为 4.如果直线 mx ? 2 y ? 1 ? 0 与 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么实数 m=
B C 5. 已知△ABC 的三个顶点 A(3,3, 2) , (4, ?3,7) , (0,5,1) , BC 边上的中线长等于 则

. . . . .

6.已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , a1 ? a2 ? a3 ? 12 ,则 ?an ? 的公 差 d= 7.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 A1 B和DC1 所成角的大小为

. .

8.设 a ,b,g 为两两不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m ? a , n ? a , m / /b , n / /b , 则 a / / b; ② 若a / /b , l ? a , 则 l / / b; ③ 若a ? b ? l , b ? g ? m, g ? a ? n, l / / m, 则 m / / n ; ④若 a ? g,b ? g, a / / b; 则 则其中所有正确命题的序号是 .

9.一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形,边 长如右图所示,那么该几何体的体积为 10.棱长为 1 的正方体外接球的表面积为 . .

? x ? y ≤3 ? 11. 已知实数 x 、 y 满足约束条件 ? y ≥ 1 , z ? x2 ? y 2 的最小值为 则 ? x ≥1 ?



12.设正数 x、y 满足 2x ? y ? 20 ,则 lg x ? lg y 的最大值为 13.若直线 y=x+m 与曲线 x= 2 y ? y 2 有且只有一个公共点,则实数 m 的取值范围是

. .

14.汽车轮胎的磨损与汽车行驶的距离成正比,已知某品牌的前轮轮胎可行驶的里程为 m 千米, 第 1 页 共 9 页

后轮轮胎可行驶 n 千米, m ? n .若在行驶一定的里程之后,将前后的两对轮胎互换,则可增 加行驶的里程数,那么一套新的轮胎最多可以保证行驶的里程是 千米.

二.解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 8 分)如图,P,Q,R 分别是三棱椎 A—BCD 的棱 AC,BC,BD 的中点,过三点 P,Q,R 的平面交 AD 于 S. 求证:四边形 PQRS 是平行四边形.

16. (本小题满分 8 分) (1)已知直线 l 过点 P(3,4) ,它在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的 2 倍,求直线 l 的方程. (2)求与圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 同圆心,且与直线 2x–y+1=0 相切的圆的方程.

第 2 页 共 9 页

17. (本小题满分 10 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 已知 a3 ? 5, S3 ? 9 . (1)求 ?an ? 的首项 a1 和公差 d 的值; (2)若 bn ? a2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和.

18. (本小题满分 10 分) 若关于 x 的不等式 x 2 ? 4 x ? 4 ? m2 ≤0 在[-1,3]上恒成立,求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 10 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,F 为 AA1 的中点. 求证: (1) A1C / /平面FBD ; (2) 平面FBD ? 平面DC1 B .

第 3 页 共 9 页

20. (本小题满分 12 分)已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,直线 l1 过定点 (1)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 的倾斜角为

A (1,0).

p , l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求线段 PQ 的中点 M 的坐标; 4

(3)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,并求此时 l1 的直线方程.

第 4 页 共 9 页

常州市 2007—2008 学年度第二学期期末质量调研 高一数学(必修 5 必修 2)试题答案
一.填空题: 1. 1200 6.3 2. ?x | x ? ?1, 或x ? 1? 7. 900 8.②③ 14. 3. ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 9.1
2mn m?n

4. ?2 10. 3p

5.3 11.2

12. 1 ? lg5 13. 0 ? m ≤2或m ? 1 ? 2 二.解答题: 15.证明: ∵P 为 AC 的中点,Q 为 BC 的中点, ∴PQ∥AB,且 PQ=
1 AB. 2

…………………………………………1 分

又? PQ ? 平面PQRS , AB ? 平面PQRS ,

∴AB∥ 平面 PQRS.

…………………………………………3 分

? 平面PQRS ? 平面ABD ? RS , AB ? 平面ABD,

∴AB∥RS. ∵R 为 BD 中点, ∴S 为 AD 中点. ∴RS∥AB,且 RS=
1 AB. 2

…………………………………………5 分

…………………………………………6 分

∴RS∥PQ,且 RS=PQ. ∴PQRS 为平行四边形. …………………………………………8 分 第 5 页 共 9 页

16.解: (1)当直线 l 过原点时,斜率 k=
4 4 ,直线方程为 y ? x . 3 3 x y ? ? 1. a 2a

………………2 分

(2)当直线 l 不过原点时,设直线方程为
3 4 ? ? ? 1, a ? 5 a 2a ? 直线方程为2 x ? y ? 10.

∴所求直线 l 方程为 y ? (2)

4 x或2 x ? y ? 10. 3

??????????4分

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0, ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4, ?圆心C为(1, ?2). ? 所求圆与直线2 x ? y ? 1 ? 0相切, ?r ? ? 5. 4 ?1 ? 所求圆的方程为( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5. | 2 ? 2 ? 1| ????????? 6分

?????????8分

17 解: (1)? a3 ? 5, S3 ? 9 ,
?a1 ? 1, 解得 ? ?d ? 2.

?a ? 2d ? 5, ?? 1 ?3a1 ? 3d ? 9.

…………………………………3 分

…… ……………………………………………………………5 分

(2)
? an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1. ? bn ? 2 ? 2 ? 1 ? 2
n n ?1

???????????? 6分 ????????????8分 ????????????10分

? 1.

? Sn ?

4 ? (1 ? 2 ) ? n ? 2n ? 2 ? 4 ? n. 1? 2
n

18 解:

第 6 页 共 9 页

? x 2 ? 4 x ? 4 ? m 2 ≤0, ?[ x ? (2 ? m)][ x ? (2 ? m)] ≤0. ? 不等式在[?1,3]上恒成立, ? 2 ? m ≤? 1, 且2 ? m ≥ 3, ? m ≥ 3. ? 2 ? m ≤? 1且2 ? m ? 3, ? m ≤? 3. (3)当m ? 0时,不合题意. ? m的取值范围是m ≥ 3或m ≤? 3. ??????????8分 ?????????? 9分 ??????????10分 ?????????? 5分 (2)当m ? 0时,不等式解为2 ? m ≤x ≤2 ? m. ?????????? 2分 (1)当m ? 0时,不等式解为2 ? m ? x ? 2 ? m.

19 证明:连接 AC,设 AC ? BD ? O .
(1) ? F 为AA1中点,O为AC中点, ? FO / / A1C. ? A1C ? 平面BFD, FO ? 平面BFD, ? A1C / / 平面BFD. ???????????? 4分

(2)设正方体棱长为 a.
? FO ? 3 2 6 3 a, OC ? a, C1O ? a, FC1 ? a 2 2 2 2 2 2 2 ? FO ? OC1 ? FC1 , ? FO ? OC1 . 又 ? AA1 ? 平面ABCD, ? AA1 ? BD. ? BD ? AC , ? BD ? 平面A1 ACC1 . ? FO ? 平面A1 ACC1 , ? BD ? FO. ? BD ? C1O ? O, ? FO ? 平面BDC1 . ? FO ? 平面BFD, ? 平面BFD ? 平面C1 BD. ????????????10分 ????????????8分 ???????????? 6分

20. (1) 解:①若直线 l1 的斜率不存在,则直线 x ? 1 ,符合题意. …………………1 分 第 7 页 共 9 页

②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2,即: 解之得
k? 3 . 4
3k ? 4 ? k k2 ?1 ?2,

所求直线方程是 x ? 1 ,或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . …………………………………… 3 分 (2) 直线 l1 方程为 y=x-1. ∵PQ⊥CM, ∴CM 方程为 y-4=-(x-3),即 x+y-7=0.
? y ? x ? 1, ∵? ? x ? y ? 7 ? 0, ? x ? 4, ∴? ? y ? 3.

∴M 点坐标(4,3) .

……………………………………6

(3) 直 线 与 圆 相 交 , 斜 率 必 定 存 在 , 且 不 为 0, 设 直 线 方 程 为
kx ? y ? k ? 0 ,

则圆 心到直l1的距离d ?
又 ? 三角形CPQ面 积

| 2k ? 4 | 1? k2

. ?????????7分

S?

1 d ?2 4 ? d2 ? d 4 ? d2 2

? 4d 2 ? d 4 ? ?(d 2 ? 2)2 ? 4,

∴当 d= 2 时,S 取得最小值 2.
?d ? | 2k ? 4 | 1? k2 ? 2, k ? 1或k ? 7.

…………………………………9 分
????????????11分

∴直线方程为 y=x-1,或 y=7x-7. …………………………………12 分

第 8 页 共 9 页

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