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等比


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旧知回顾
名称 概 念 常数 性质 通项 通项 变形 等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零

an ? a1 ? (n ? 1)d
an ? am ? (n ? m)d
(n, m ? N )
*

新课引入
一位数学家说过:你如果能 将一张纸对折38次,我就能顺 着它在今天晚上爬上月球。
这个实例所包含的数学问题:

1 ,2 ,4 ,8 ,16 ,32 ,…

观察这几个数列,看有何共同特点?
1.细胞分裂个数可以组成下面的数列:

1, 2, 4, 8 , ….
2. 一尺之棰,日取其半,万世不竭. 如果把“一尺之棰”看成单位“1”, 那 么得到的数列是 1, ____,____,____, ….

3. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地 址薄,通过邮件进行传播.如果把病毒制造 者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送 病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮每 一台计算机都感染20台计算机,那么在不 重复的情况下,这种病毒每一轮感染的计 算机数构成的数列是: 1, 20, 202, 203 , ….

观察这几个数列,看有何共同特点? ① 63; 1, 2, 4, 8, 16, …,2

1 1 1 1, , , ?; 2 4 8

② ③

1, 20, 202, 203, … ; 1.0198, 1.01982, 1.01983, … .



观察这几个数列,看有何共同特点? ① 63; 1, 2, 4, 8, 16, …,2

1 1 1 1, , , ?; 2 4 8

② ③

1, 20, 202, 203, … ;

1.0198, 1.01982, 1.01983, … . ④ 共同特点:从第二项起,第一项与前一 项的比都等于同一个常数.

等比数列概念
?

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项 与它的前一项的

比 等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等比数列 ,这个常数叫做等比 数列的公比(q)。

课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) (2) (3) (4) (5) 1,3,9,27,81,…
1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2

5,5,5,5,5,5,… 1,-1,1,-1,1,… 1,0,1,0,1,…

是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列

(6)
(7)

0,0,0,0,0,… 2 3 4

1, x , x , x , x , ?( x ? 0)

是,公比 q= x

等差数列通项公式的推导:
方法一:(累加法)

a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d … … an?1 ? an?2 ? d

an ? an?1 ? d

?

an ? an?1 ? d
a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d

方法二:(迭代法)

(n-1)个 式子

? a1 ? 2d

? (a1 ? d ) ? d

a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d

? a1 ? 3d

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1 ? (n ? 1)d

… …

an ? q ?n ? 2? 等比数列通项公式的推导: n ?1 a
方法一:累乘法

a3 ?q a2 a4 ?q a3 an ?q an ?1

a2 ?q a1

… …

?

方法二:迭代法

a2 ? a1q

(n-1)个 式子

a3 ? a2 q ? (a1q)q 2 ? a1q
a4 ? a3q ? (a1q )q
2

? a1q

3

… …
n ?1

an n ?1 ?q a1

an ? a1q

等比数列的通项公式
等比数列 an ,首项为 a1,公比为q,则通项公式为
当q=1时,这是 一个常函数。

? ?

an ? 0

an ? a1 ? q

n ?1

等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 等比数列,那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下,由等比数列的定义可得

G b ? 即 a G 2 G ? ab ? G ? ? ab

典型例题
1 4 ? 例1 一个等比数列的第5项是 ,公比是 ,求它的第1项; 9 3

解:设它的第一项是

a1,则由题意得

1 5?1 4 a1 ? ( ? ) ? 3 9
解得,

a1 ? 36

答:它的第一项是36 .

例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18,求它的第1项与第2项.
解:设这个等比数列的第1项是 么 2

a

a q ? 12 a q ? 18
1 3 1

1

,公比是q ,那

解得, 因此

3 q? 2
2 1

16 , a ? 3
1

16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3

16 3 a ? aq ? ? ?8 3 2

课堂互动

一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它

的第1项与第4项.
解:设它的第一项是 a1,公比是 q ,则由题意得

a1q ? 10



a1q 2 ? 20

解得, a1 ? 5 , q ? 2 因此

a4 ? a1q3 ? 40

答:它的第一项是5,第4项是40.

回顾小结
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比(q)
名称 概念

等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零

常数

----------------------

性质
通项 通项 变形

an ? a1 ? q

n ?1

------------------------

an ? a1 ? (n ? 1)d an ? am ? (n ? m)d *

(n, m ? N )

作业:
课本P53 A组 1 ,7

练习册(等比数列1)


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