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走向高考·一轮总复习人教A版数学 文科10-4


基础巩固强化 1.(文)(2011· 长沙调研)甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对 立事件.那么( )

A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 [答案] B [解析] ∵互斥事件一定是对立事件,∴甲?乙,但对立不一定 互斥,∴乙?/ 甲,故选 B. (理)袋

中装有白球 3 个,黑球 4 个,从中任取 3 个 ①恰有 1 个白球和全是白球; ②至少有 1 个白球和全是黑球; ③至少有 1 个白球和至少有 2 个白球; ④至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球. 在上述事件中,是对立事件的为( A.① [答案] B [解析] ∵“至少一个白球”和“全是黑球”不可能同时发生, 且必有一个发生. 2.(文)甲、乙两人随意入住两个房间,则甲乙两人恰住在同一 间房的概率为( 1 A.3 ) 1 B.2 1 C.4 D.1 B.② C.③ ) D.④

[答案] B [解析] 将两个房间编号为(1,2),则所有可能入住方法有:甲住

1 号房,乙住 2 号房,甲住 2 号房,乙住 1 号房,甲、乙都住 1 号房, 甲、乙都住 2 号房,共 4 种等可能的结果,其中甲、乙恰住在同一房 间的情形有 2 种, 1 ∴所求概率 P=2. (理)从集合{1,3,6,8}中任取两个数相乘, 积是偶数的概率是( 5 A.6 1 C.2 [答案] A [解析] 所有可能取法有{(1,3),(1,6),(1,8),(3,6),(3,8),(6,8)}, 只有(1,3)构不成积是偶数, 5 ∴P=6,故选 A. 3.(2012· 皖南八校第三次联考)某种饮料每箱装 6 听,其中有 4 听合格,2 听不合格,现质检人员从中随机抽取 2 听进行检测,则检 测出至少有一听不合格饮料的概率是( 1 A.15 8 C.15 [答案] B [解析] 记 4 听合格的饮料分别为 A1、A2、A3、A4,2 听不合格的 饮料分别为 B1、B2,则从中随机抽取 2 听有(A1,A2),(A1,A3),(A1, A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2), 3 B.5 14 D.15 ) 2 B.3 1 D.3 )

(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共 15 种不同取法,而至少有一听不合格饮料有(A1,B1),(A1,B2),(A2, B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2), 9 3 共 9 种,故所求概率为 P=15=5,选 B. 4.(文)(2011· 安徽“江南十校”联考)第 16 届亚运会于 2010 年 11 月 12 日在中国广州举行, 运动会期间有来自 A 大学 2 名和 B 大学 4 名的大学生志愿者,现从这 6 名志愿者中随机抽取 2 人到体操比赛 场馆服务,至少有一名 A 大学志愿者的概率是( 1 A.15 3 C.5 [答案] C 2×4 8 [解析] 若这 2 名大学生来自两所大学,则 P1= 15 =15;若这 1 2 名大学生均来自 A 大学,则 P2=15.故至少有一名 A 大学生志愿者 8 1 3 的概率是15+15=5. 6 3 [点评] 由对立事件概率公式知,有另解 P=1-15=5. (理)(2012· 山西联考)连续投掷两次骰子得到的点数分别为 m,n, π 向量 a=(m,n)与向量 b=(1,0)的夹角记为 α,则 α∈(0,4)的概率为 ( ) 5 A.18 1 C.2 5 B.12 7 D.12 2 B.5 14 D.15 )

[答案] B [解析] 依题意得,连续投掷两次骰子得到的点数分别为 m,n, 可得到的向量 a=(m,n)共有 6×6=36 个,由向量 a=(m,n)与向量 π b=(1,0)的夹角 α∈(0,4)得 n<m,向量 a=(m,n)可根据 n 的取值分 类计数:当 n=1 时,m 有 5 个不同的取值;当 n=2 时,m 有 4 个不 同的取值;当 n=3 时,m 有 3 个不同的取值;当 n=4 时,m 有 2 个 不同的取值;当 n=5 时,m 有 1 个值,因此满足向量 a=(m,n)与向 π 量 b=(1,0)的夹角 α∈(0,4)的(m,n)共有 1+2+3+4+5=15 个,所 15 5 以所求的概率等于36=12,选 B. 1 [点评] m=n 有 6 个,m>n 与 m<n 的一样多,有2(36-6)=15
2 个.或从 1 到 6 中任取两数,小的为 n,共有 C6=15 种.

5.(2011· 大连模拟)一只猴子任意敲击电脑键盘上的 0 到 9 这十 个数字键,则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰 好都是 3 的倍数的概率为( 9 A.100 3 C.100 [答案] D [解析] 0~9 这十个数字键, 任意敲击两次共有 10×10=100 种 不同结果,在 0~9 中是 3 的倍数的数字有 0,3,6,9,敲击两次都是 3 16 4 的倍数共有 4×4=16 种不同结果,∴P=100=25. 6.(2012· 安徽文,10)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球, 其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球.从袋中任取两球,两球颜色 ) 2 B.5 4 D.25

为一白一黑的概率等于( 1 A.5 3 C.5 [答案] B

) 2 B.5 4 D.5

[解析] 1 个红球记作 R,2 个白球记作 B1、B2,3 个黑球记作 H1、 H2、H3,则从中任取 2 个球的所有方法种数有如下 15 种:RB1,RB2, RH1,RH2,RH3,B1B2,B1H1,B1H2,B1H3,B2H1,B2H2,B2H3,H1H2, H1H3, 2H3, H 而两球颜色为一黑一白的种数有如下 6 种: 1H1, 1H2, B B 6 2 B1H3,B2H1,B2H2,B2H3,所以所求概率为15=5. m [点评] 准确求出古典概型概率公式 p= n 中的 m、 是解题关键, n 通常有列举法、树状图法、坐标系法等. 7.(文)某学校有两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择 其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为________. 1 [答案] 4 [解析] 每人用餐有两种情况,故共有 23=8 种情况.他们在同 2 1 一食堂用餐有 2 种情况,故他们在同一食堂用餐的概率为8=4. (理)抛掷甲、 乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面 x 体,其底面落于桌面,记所得的数字分别为 x,y,则y为整数的概率 是________. 1 [答案] 2 [解析] 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字 x,y

x 记作有序实数对(x,y),共包含 16 个基本事件,其中y为整数的有: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),共 8 个基本事 件,故所求概率为 8 1 P=16=2. 8.(2011· 广东高州模拟)某市派出甲、乙两支球队参加全省足球 3 1 冠军赛,甲、乙两队夺取冠军的概率分别是7和4,则该市足球队夺得 全省足球冠军的概率是________. 19 [答案] 28 [解析] 设事件 A:甲球队夺得全省足球冠军,B:乙球队夺得全 省足球冠军,事件 C:该市足球队夺得全省足球冠军.依题意 P(A) 3 1 =7,P(B)=4,且 C=A+B,事件 A、B 互斥,所以 P(C)=P(A+B) 3 1 19 =P(A)+P(B)=7+4=28. 9.(文)(2012· 宁夏三市联考)将一颗骰子投掷两次分别得到点数 a,b,则直线 ax-by=0 与圆(x-2)2+y2=2 相交的概率为________. 5 [答案] 12 [解析] 圆心(2,0)到直线 ax-by=0 的距离 d= 时,直线与圆相交,解 |2a| , d< 2 当 a2+b2

|2a| < 2得 b>a,满足题意的 b>a 共有 15 a2+b2

种情况,又易知将一颗骰子投掷两次分别得到点数 a,b 的基本情况 共有 36 种,因此直线 ax-by=0 与圆(x-2)2+y2=2 相交的概率为 P 15 5 =36=12.

(理)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程 为 mx-y=0,若 m 在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数,则双曲线 的离心率大于 3 的概率是________. 7 [答案] 9 a2+b2 c [解析] e>3,即a>3,∴ a2 >9, b ∴a>2 2,即 m>2 2, 7 ∴m 可取值 3,4,5,6,7,8,9,∴p=9. 10.(2012· 河南六市模拟)某班 50 名学生在一次数学测试中,成 绩全部介于 50 与 100 之间,将测试结果按如下方式分成五组;第一 组[50,60),第二组[60,70),?,第五组[90,100],下图是按上述分组 方法得到的频率分布直方图.

(1)若成绩大于或等于 60 且小于 80,认为合格,求该班在这次数 学测试中成绩合格的人数;

(2)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名 同学,设其测试成绩分别为 m、n,求事件“|m-n|>10”的概率. [解析] (1) 由 直 方 图 知 , 成 绩 在 [60,80) 内 的 人 数 为

50×10×(0.018+0.040)=29,所以该班在这次数学测试中成绩合格 的有 29 人. (2)由直方图知, 成绩在[50,60)的人数为 50×10×0.004=2, 设成 绩为 x、y;成绩在[90,100]的人数为 50×10×0.006=3,设成绩为 a、 b、c, 若 m,n∈[50,60),则只有 xy 一种情况. 若 m,n∈[90,100],则有 ab,bc,ac 三种情况, 若 m,n 分别在[50,60)和[90,100]内,则有 a b c 共 6 种情况.

x xa xb xc y ya yb yc

所以基本事件总数为 10 种,事件“|m-n|>10”所包含的基本事 件有 6 种, 6 3 ∴P(|m-n|>10)=10=5. [点评] (1)在频率分布直方图中,组距是一个固定值,各矩形面 积和为 1; (2)通过频率分布直方图的识读获取信息是解决这一类问题 的关键. 能力拓展提升 11.下面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩, 其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ( )

2 A.5 3 C.5 [答案] C [ 解 析 ] - x


7 B.10 9 D.10



87+88+90+92+93 = 90 , - x 5





83+85+87+x+99 - - .由 x 甲 > x 乙 ,得 x<96,故被污损的数字可能是 5 0,1,?,5,共 6 个数字,故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率 6 3 为10=5. 12. (文)(2011· 滨州月考)若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、 n 作为点 P 的横、纵坐标,则点 P(m,n)落在直线 x+y=5 下方的概 率为( 1 A.6 1 C.12 [答案] A [解析] 试验是连续掷两次骰子.故共包含 6×6=36 个基本事 件.事件“点 P(m,n)落在直线 x+y=5 下方”,包含(1,1),(1,2), 6 1 (2,1),(1,3),(2,2),(3,1)共 6 个基本事件,故 P=36=6. (理)(2012· 河南质量调研)在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则 ) 1 B.4 1 D.9

1 函数 f(x)=3x3+ax-b 在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为 ( ) 7 A.9 4 C.9 [答案] A [解析] 由已知 a、b 在区间[0,1]上,所以 f ′(x)=x2+a≥0,函 数 f(x)在[-1,1]内是增函数, ∵f(x)在[-1,1]上有且仅有一个零点, 5 B.9 2 D.9

?f?-1?=-1-a-b≤0, ? 3 ∴? 1 ?f?1?=3+a-b≥0, ?

?a+b+1≥0, ? 3 即? 1 ?a-b+3≥0. ?

?0≤a≤1, ? 在坐标平面 aOb 中,画出不等式组 ? 与不等式组 ?0≤b≤1, ?

?a+b+1≥0, ? 3 ? 1 ?a-b+3≥0, ?

表示的平面区域,易知,这两个不等式组表示的平

1 1 2 7 面区域的公共区域的面积等于 12 - 2 ×(1- 3 )× 3 = 9 ,而不等式组
?0≤a≤1, ? 7 ? 表示的平面区域的面积为 1,因此所求的概率等于9,选 ?0≤b≤1, ?

A. 13.(2012· 龙岩质检)若在区间[-5,5]内随机地取出一个数 a,则 1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率为________. 3 [答案] 10

[解析] ∵1∈{x|2x2+ax-a2>0},∴a2-a-2<0, 3 ∴-1<a<2,故所求概率为 P=10. 14.把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,记第一次出现的点
?ax+by=3, ? 数为 a,第二次出现的点数为 b,则方程组? 只有一个解 ?x+2y=2, ?

的概率为________. 11 [答案] 12 [解析] 点(a,b)取值的集合共有 6×6=36(个)元素.方程组只

a b 有一个解等价于直线 ax+by=3 与 x+2y=2 相交, 1≠2, b≠2a, 即 即 而满足 b=2a 的点只有(1,2),(2,4),(3,6),共 3 个,故方程组
?ax+by=3 ? 33 11 ? 只有一个解的概率为36=12. ?x+2y=2 ?

15.(文)(2011· 山东济南一模)已知向量 a=(2,1),b=(x,y). (1)若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; (2)若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量 a,b 的夹角是钝角的概率. [解析] (1)设“a∥b”为事件 A, a∥b, x=2y.基本事件有: 由 得 (-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0), (1,1),(2,-1),(2,0),(2,1).共包含 12 个基本事件; 其中 A={(0,0),(2,1)},包含 2 个基本事件. 2 1 故 P(A)=12=6. (2)设“a,b 的夹角是钝角”为事件 B,由 a,b 的夹角是钝角, 可得 a· b<0,即 2x+y<0,且 x≠2y.

? ??-1≤x≤2 ? ? Ω=??x,y??? ??-1≤y≤1 ? ?? ?

? ? ?, ? ?

??-1≤x≤2, ??-1≤y≤1, B=(x,y) ? ??2x+y<0, ??x≠2y.

,作出可行域如图, 1 1 3 ×? + ?×2 μB 2 2 2 1 可得 P(B)=μ = =3. 3×2 Ω (理)已知直线 l1:x-2y-1=0,直线 l2:ax-by+1=0,其中 a, b∈{1,2,3,4,5,6}. (1)求直线 l1∥l2 的概率; (2)求直线 l1 与 l2 的交点位于第一象限的概率. 1 [解析] (1)由题知,直线 l1 的斜率为 k1=2,直线 l2 的概率为 k2 a =b. 记事件 A 为“直线 l1∩l2=?”. a,b∈{1,2,3,4,5,6}的基本事件空间 Ω={(1,1),(1,2),?,(1,6), (2,1),(2,2),?,(2,6),?,(5,6),(6,6)},其中共有 36 个基本事件.

若 l1∥l2,即 k1=k2,则有 b=2a. 满足条件的实数对(a,b)有(1,2)、(2,4)、(3,6),共 3 种情形. 3 1 所以 P(A)=36=12. 1 即直线 l1∥l2 的概率为12. (2)设事件 B 为“直线 l1 与 l2 的交点位于第一象限”,由于直线 l1 与 l2 有交点,所以 b≠2a.
?ax-by+1=0, ? 由? ? ?x-2y-1=0,

b+2 ?x=b-2a, ? 解得,? a+1 ?y=b-2a. ?

? ?x>0, 因为直线 l1 与 l2 的交点位于第一象限,所以? ?y>0, ?

b+2 ?b-2a>0, ? 即? a+1 ?b-2a>0. ?

解得 b>2a.

∵a,b∈{1,2,3,4,5,6}, ∴基本事件总数共有 36 种. 满足 b>2a 的有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),共 6 种, 6 1 ∴P=36=6, 1 即直线 l1 与 l2 交点在第一象限的概率为6. 16.(文)已知实数 a,b∈{-2,-1,1,2}. (1)求直线 y=ax+b 不经过第四象限的概率; (2)求直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共点的概率.

[解析] 由于实数对(a,b)的所有取值为: (-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(-1,-2),(-1, -1),(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2), (2,-1),(2,1),(2,2)共 16 种. (1)设“直线 y=ax+b 不经过第四象限”为事件 A 若直线 y=ax+b 不经过第四象限,则必须满足 a≥0,b≥0,则 事件 A 包含 4 个基本事件, 4 1 ∴P(A)=16=4, 1 ∴直线 y=ax+b 不经过第四象限的概率为4. (2)设“直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共点”为事件 B, 则需 满足 |b| ≤1,即 b2≤a2+1, 2 a +1

12 3 ∴事件 B 包含 12 个基本事件,∴P(B)=16=4, 3 ∴直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共点的概率为4. (理)(2011· 山东聊城模拟)已知某单位有 50 名职工, 现要从中抽取 10 名职工,将全体职工随机按 1~50 编号,并按编号顺序平均分成 10 组,按各组内抽取的编号依次增加 5 进行系统抽样. (1)若第 5 组抽出的号码为 22,写出所有被抽出职工的号码; (2)分别统计这 10 名职工的体重(单位:kg),获得体重数据的茎 叶图如图所示,求该样本的方差;

(3)在(2)的条件下,从这 10 名职工的体重不轻于 73kg(≥73kg)的 职工中随机抽取 2 名,求体重为 76kg 的职工被抽取到的概率. [解析] (1)由题意,第 5 组抽出的号码为 22. 因为 2+5×(5-1)=22, 所以第 1 组抽出的号码为 2,抽出的 10 名职工的号码分别为: 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)因为 10 名职工的平均体重为 -= 1 (81+70+73+76+78+79+62+65+67+59) x 10 =71 所以样本方差为: 1 s2=10(102+12+22+52+72+82+92+62+42+122) =52. (3)解法 1: 10 名职工中的体重不轻于 73kg 的职工中随机抽取 从 2 名, 共有 10 种不同的取法: (73,76), (73,78), (73,79), (73,81), (76,78), (76,79),(76,81),(78,79),(78,81),(79,81). 设 A 表示“抽到体重为 76kg 的职工”,则 A 包含的基本事件有 4 个:(73,76),(76,78),(76,79),(76,81), 4 2 故所求概率为 P(A)=10=5.

解法 2:10 名职工中,体重不轻于 73kg 的职工有 5 名,从中任 取 2 名有 C2=10 种不同取法, 其中体重 76kg 的职工被抽到的有 4 种 5 4 2 取法,∴所求概率 P=10=5.

1.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多 12 人,从到 会教师中随机挑选一人表演节目.如果每位教师被选到的概率相等, 9 而且选到男教师的概率为20,那么参加这次联欢会的教师共有( A.360 人 C.144 人 [答案] D [解析] 设到会男教师 x 人,则女教师为 x+12 人,由条件知, x 9 =20,∴x=54,∴2x+12=120,故选 D. x+?x+12? 2.(2011· 温州八校期末)已知 α、β、γ 是不重合平面,a、b 是不 重合的直线,下列说法正确的是( ) B.240 人 D.120 人 )

A.“若 a∥b,a⊥α,则 b⊥α”是随机事件 B.“若 a∥b,a?α,则 b∥α”是必然事件 C.“若 α⊥γ,β⊥γ,则 α⊥β”是必然事件 D.“若 a⊥α,a∩b=P,则 b⊥α”是不可能事件 [答案] D [解析] a∥b? ? a∥b? ? ??b⊥α,故 A 错; ??b∥α 或 b?α,故 B a⊥α? a?α? ? ?

错;当 α⊥γ,β⊥γ 时,α 与 β 可能平行,也可能相交(包括垂直),故 C 错;如果两条直线垂直于同一个平面,则此二直线必平行,故 D 为

真命题. 3.(2011· 奉贤区检测)在一次读书活动中,一同学从 4 本不同的 科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3 本, 则所选的书中既有科技书又 有文艺书的概率为( 1 A.5 2 C.3 [答案] D [解析] 因为文艺书只有 2 本, 所以选取的 3 本书中必有科技书, 这样问题就等价于求选取的 3 本书中有文艺书的概率. 4 本不同的 设 科技书为 a,b,c,d,2 本不同的文艺书为 e,f,则从这 6 本书中任 选 3 本的可能情况有:(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,f), (a,c,d),(a,c,e),(a,c,f),(a,d,e),(a,d,f),(a,e,f), (b,c,d),(b,c,e),(b,c,f),(b,d,e),(b,d,f),(b,e,f), (c,d,e),(c,d,f),(c,e,f),(d,e,f),共 20 种,记“选取的 3 本书中有文艺书”为事件 A, 则事件-包含的可能情况有: b, A (a, c), (a,b,d),(a,c,d),(b,c,d),共 4 种, 4 4 故 P(A)=1-P(-)=1-20=5. A 4.已知 a、b、c 为集合 A={1,2,3,4,5,6}中三个不同的数,如下 框图给出的一个算法运行后输出一个整数 a,则输出的数 a=5 的概 率是( ) ) 1 B.2 4 D.5

1 A.30 3 C.10 [答案] C

1 B.5 1 D.2

[解析] 由程序框图知,输入 a、b、c 三数,输出其中的最大数, 由于输出的数为 5,故问题为从集合 A 中任取三个数,求最大数为 5 6 3 的概率,∴P=20=10.


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