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2.5.1 直线和圆的位置关系


2.5.1 直线和圆的位置关系
湘教版 九年级下册

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请大家仔细观察!

为了大家能看的更清楚些. 以蓝线为水平线,圆圈为太阳!

注意观察!!

请大家把直线和圆的公共点个数情况 总结一下,并把相应的图形画出来.

总体看来应该有下列三种情况:

(1)直线和圆有一个公共点

(2)直线和圆有两个公共点.

(3)直线和圆没有公共点.

归纳总结
(1)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切

(2)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交

(3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离

大家都知道:点和圆的位置关系可以用圆心到 点之间的距离,这一数量关系来刻画他们的位 置关系;那么直线和圆的位置关系是否也可以 用数量关系来刻画他们三种位置关系呢? 下面我们一起来研究一下!

L
圆心O到直线L的距离d


o

半径r

d>r (1)直线L和⊙O的相离,此时d与r大小关系为______

圆心O到直线L的距离d


o

L

L

半径r

d=r (2)直线L和⊙O相切,此时d与r大小关系为_______

L
圆心O到直线L的距离d


o

L

半径r

d<r (3)直线L和⊙O相交,此时d与r大小关系为_______

探索新知

思考:
(1) 当d>r时,能否得出直线和圆的位置关系为相离. (2) 当d=r时,能否得出直线和圆的位置关系为相切. (3) 当d<r时,能否得出直线和圆的位置关系为相交. (d为圆心O到直线L的距离,r为圆O的半径)

直线和圆的位置关系:
? 直线L和⊙O相交 ? 直线L和⊙O相切 ? 直线L和⊙O相离 d<r d=r d>r

注明:符号 “ ”读作“等价于”.它表示从左端 可以推出右端,并且从右端也可以推出左端.

相离

相切

相交

d>r
没有公共点

d=r
有一个公共点

d<r
有两个公共点

例2:在t△ABC,∠C=900,AC=3cm,BC=4cm,以 B C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关 系?为什么? C (1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm.
解:过C作CD ⊥AB垂足为D(如图所示). 在 Rt△ABC中, AB ? AC 2 ? BC 2 ? 32 ? 42 ? 5 根据三角形的面积公式有 CD· AB=AC· BC ∴ CD ? AC ? BC ? 3 ? 4 ? 2.4(cm ) AB 5
即圆心C到AB的距离d=2.4cm. (1)当r=2 cm时,有d > r,因此⊙C和AB相离.(图1) (2)当r=2.4cm时,有d = r,因此⊙C和AB相切.(图2) (3)当r=3cm时,有d < r,因此⊙C和AB相交(图3)
(图1) B D C

D

A

A

(图2)
B D C (图3) A

例2: Rt△ABC,∠C=900,AC=3cm,BC=4cm, 以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关 系?为什么? (1)r=2 cm ; (2)r=2.4 cm ; (3) r=3 cm.

思考:
(1)当r在什么条件下,直线AB和圆C相交。 (2)以B为圆心,以BC为半径画圆, 此时⊙B与AC间的位置关系。

例3 自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l, 求切线l的方程。
y 思考:过A点与圆相切的直线条数?
A(-1,4)

解法1:利用点到直线的距离公式。
o 解法2:联立成方程组,应用判别式求解。 x

课堂小结
直线和圆的位置关系主要有三种:相离、相切、相交. (设⊙o半径为r,圆心到直线L的距离为d,那么:

2 1

交点 切点

d<r

割线 切线

d=r d>r

0

课后作业 完成本课时的习题

劳动教养了身体,学习教养了心灵。 —— 史密斯


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