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2012年新课标版高考题库考点25 数列求和及综合应用


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考点 25
一、选择题

数列求和及综合应用

1. (2012·新课标全国高考文科·T12)数列{an}满足 an+1+(-1)n an =2n-1, 则{an}的前 60 项和为(

(A)3 690 ) (C)1 845 (D)1 830

(B)3 660

【解题指南】依次写出数列的项,直至发现规律,一般这类数列具有周期性或 者能直接求出通项公式,找到规律后,可直接求和. 【解析】选 D.
? an ?1 ? ? ?1? an ? 2n ? 1
n

, ,

? a2 ? 1 ? a1 , a3 ? 2 ? a1 , a4 ? 7 ? a1 , a5 ? a1 , a6 ? 9 ? a1 , a7 ? 2 ? a1 , a8 ? 15 ? a1 , a9 ? a1 a10 ? 17 ? a1 , a11 ? 2 ? a1 , a12 ? 23 ? a1

a60?? 115 ?a a 115 ? , …,a57 ? a1 ,a58 ? 113 ? a1 ,a59 ? 2 ? a1 ,a60 119 11 ,

? a1 ? a2 ? … ? a60 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? ? …+ ? a57 ? a58 ? a59 ? a60 ?

? 10 ? 26 ? 42 ? …+234 =

15 ? ?10 ? 234 ? 2

?1 1830 830.

二、填空题
a a a ? ?1 a 2.(2012·新课标全国高考理科·T16)数列 ? n ? 满足 n ?1 ? ? n =2n-1,则 ? n ? 的
n

前 60 项和为__________. 【解题指南】依次写出数列的项,直至发现规律,一般这类数列具有周期性或 者能直接求出通项公式,找到规律后,可直接求和. 【解析】
? an ?1 ? ? ?1? an ? 2n ? 1
n

, ,

? a2 ? 1 ? a1 , a3 ? 2 ? a1 , a4 ? 7 ? a1 , a5 ? a1 , a6 ? 9 ? a1 , a7 ? 2 ? a1 , a8 ? 15 ? a1 , a9 ? a1

-1-

a10 ? 17 ? a1 , a11 ? 2 ? a1 , a12 ? 23 ? a1

? 115 115? ?a a1 60 ,…,a57 ? a1 ,a58 ? 113 ? a1 ,a59 ? 2 ? a1 ,aa 119 60 ? 1 ,

? a1 ? a2 ? … ? a60 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? ? …+ ? a57 ? a58 ? a59 ? a60 ?

? 10 ? 26 ? 42 ? …+234 =

15 ? ?10 ? 234 ? 2

?1 1830 830.

【答案】1 830 3. (2012·湖北高考文科·T17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在 沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数 1,3,6,10,…记为数列{an},将可被 5 整除的三角形数按从小到大 的顺序组成一个新数列{bn},可以推测: (1)b2 012 是数列{an}中的第______项. (2)b2k-1=______(用 k 表示). 【解题指南】本题考查求数列通项公式的方法,解答本题可先根据数列{an}前项 与后项的关系, 求出数列{an}的通项, 再结合数列{bn}与{an}的关系求出数列{bn} 的通项解答本题. 【解析】数列{an}满足:a1=1,an-an-1=n(n≥2). 所以 an=an-an-1+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+n-1+…+2+1=错误!未找到引用源。(n ≥2),当 n=1 时,也符合上式,则 an=错误!未找到引用源。. 当 n=4,5,9,10,14,15,19,20,…时,构成数列{bn}的第 1,2,3,4,…项, 则可以看出 n=5,10,15,20,…时,分别对应着{bn}的第 2,4,6,8…项. (1)b2 012 是数列{an}中的第 5 030 项. (2)b2k-1=错误!未找到引用源。.
-2-

【答案】(1)5 030

(2)错误!未找到引用源。

4.(2012·湖南高考文科·T16)对于 n ? N? ,将 n 表示为
n ? ak ? 2k ? ak ?1 ? 2k ?1 ? ? ? a1 ? 21 ? a0 ? 20 ,当 i ? k 时 ai ? 1 ,当 0 ? i ? k ? 1时 ai 为

0 或 1,

定义 bn 如下:在 n 的上述表示中,当 a0 , a1 ,a2,…,ak 中等于 1 的个数为奇数时,

bn=1;否则 bn=0.[中国教#*育&出版^网@]
(1)b2+b4+b6+b8= .[

(2)记 cm 为数列{bn}中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数,则 cm 的最大值是 .[

【解题指南】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,创造性解决问 题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题 .本题实 际是描述的将一个十进制的数转化为二进制,然后找出规律. 【解析】 (1)观察知 1 ? a0 ? 20 , a0 ? 1, b1 ? 1 ; 2 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , a1 ? 1, a0 ? 0, b2 ? 1 ; 依次类推 3 ? 1? 21 ? 1? 20 , b3 ? 0 ; 4 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 , b4 ? 1 ;
5 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 1? 20 , b5 ? 0 ; 6 ? 1? 22 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , b6 ? 0 , b7 ? 1, b8 ? 1 ,

b2+b4+b6+b8=3.
(2)由(1)知 cm 的最大值为2. 【答案】 (1)3 三、解答题 5.(2012·湖北高考文科·T20) 已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1) 求等差数列{an}的通项公式. (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列 { an } 的前 n 项和. 【解题指南】本题考查两类数列的基本运算与性质,解答本题可先设出首项和公
-3-

(2)2

差,再代入求解. 【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,由题意知
3a1 ? 3d ? ?3 ? ? a ? 2 ?a1 ? -4 或? 解得 ? 1 ,故等差数列{an}的通项公式为: ? ?d ? ?3 ? d ? 3 ? a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8

a n ? ?3n ? 5或a n ? 3n-7 .

(2)当 an ? ?3n ? 5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2,不是等比数列,所以 an ? 3n-7 . 当 n=1 时,数列 { an } 的前 n 项和为:S1=4;当 n=2 时,数列 { an } 的前 n 项和为: S2=4+1=5;当 n ? 3 时, Sn= -a1 -a2 +a3 ? a4 ? ... ? an ? (a1 ? a2 ? ... ? an ) ? 2 s2 = -4n+ 当 n=2 时,符合上式,所以
?4, n ? 1, ? sn ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 2. ? ?2 2

n(n-1) 3 11 ? 3 ? 10 ? n2 ? n ? 10. 2 2 2

6.(2012·湖南高考文科·T20) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率 与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将 剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an?1 与 an 的关系式. (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业 每年上缴资金 d 的值(用 m 表示). 【解题指南】本题考查递推数列在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数
-4-

列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出 an?1 与 an 的关系式
an ?1 ? 3 3 an ? d ,第(2)问,只要把第(1)问中的 an ?1 ? an ? d 迭代,即可以解决. 2 2

【解析】 (1)由题意得 a1 ? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,
3 5 a1 ? d =4500- d, 2 2 3 an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ? an ? d . 2 3 (2)由(1)得 an ? an?1 ? d 2 3 3 ? ( an?2 ? d ) ? d 2 2 3 3 ? ( )2 an ? 2 ? d ? d 2 2 a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ?

??
3 3 ? 3 3 ? ? ( ) n ?1 a1 ? d ?1 ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?2 ? . 2 2 ? 2 2 ?

整理得

3 ? 3 ? an ? ( ) n ?1 (3000 ? d ) ? 2d ?( ) n ?1 ? 1? 2 ? 2 ?

3 ? ( )n?1 (3000 ? 3d ) ? 2d . 2 3 由题意, am ? 4000,即( )m?1 (3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000, 2

? 3 m ? ( ) ? 2 ? ?1000 ? 1000(3m ? 2m?1 ) ? 解得 d ? ? 2 . ? m m 3 m 3 ? 2 ( ) ?1 2

故该企业每年上缴资金 d 的值为 为 4 000 万元.

1000(3m ? 2m?1 ) 时, 经过 m(m ? 3) 年企业的剩余资金 3m ? 2m

7. ( 2012 ·江苏高考·T 20 )已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:
an ?1 ? an ? bn an ? bn
2 2

, n ? N?



2 ? ?? bn ? ? ? bn ? ?? ? ? bn ?1 ? 1 ? ,n ? N an ?? an ? ? ? 是等差数列. (1)设 ,求证:数列 ?

-5-

(2)设

bn ?1 ? 2 ?

bn ,n ? N? an ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值.
an ?1 ? an ? bn an 2 ? bn 2 = bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2

【解析】 (1)∵ ∴

bn ?1
2

b ? 1? n a n ,∴

.

?b ? bn ?1 ? 1? ? n ? an?1 ? an ?

.
2



2 2 2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an ?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ?
2 ? ?? bn ? ? ? ?? ? ? a ?? n ? ? ? 是以 ∴数列 ?

.

1 为公差的等差数列.

? an ? bn ?
(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴
1 < an ?1 ? an ? bn an 2 ? bn 2 ? 2

2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ?

2



从而

.(﹡)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q=1 . 若 q > 1, 则
a1 = a2 2 < a2 ? 2 n > log q a q 1 ,∴当

时, an?1 ? a1q

n

> 2 ,与(﹡)矛盾.

若 0 < q < 1, 则

a1 =

a2 1 > a2 > 1 n > log q q a1 ,∴当

时, an?1 ? a1q
2.

n

< 1 ,与(﹡)矛盾.

∴综上所述, q=1 .∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 又∵
bn ?1 ? 2 ?

bn 2 2 = ? bn n ? N * an a1 ? ? ,∴ {bn } 是公比为 a1 2 >1 a1

的等比数列.

若 a1 ?

2 ,则

,于是 b1 < b2 < b3 .
bn = a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1

a1 ?

a1 ? bn a12 ? bn 2

又由

,得

.
2.

∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,矛盾.∴ a1 =

-6-

bn =

2?



? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2

.

∴ a1 =b1 = 2 . 8.(2012·广东高考理科·T19)
n ?1 ? a 设数列 ? n ? 的前 n 项和为 Sn, 满足 2Sn ? an?1 ? 2 ? 1, n ? N , 且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列.

(1) 求 a1 的值.
a (2) 求数列 ? n ? 的通项公式.
1 1 1 3 ? ??? ? an 2 . (3) 证明:对一切正整数 n,有 a1 a2
n ?1 1时, an ? Sn ? Sn ?1 【解题指南】(1)根据 2Sn ? an?1 ? 2 ? 1, 利用 nn??2 ,可得到

an ?1 ? 3an ? 2n , n ? 2

,从而得到 a3 ? 3a2 ? 4, 令 n=1,2a1 ? a2 ? 3 ,再根据 a1 , a2 ? 5, a3 成等差

数列得 2a2 ? 10 ? a1 ? a3 ,三个方程联立可解出 a1 . (2)在(1)的基础上对
an ?1 ? 3an ? 2n , n ? 2

的两边同除以 3

n ?1

an?1 an 1 2 n ? n ? ?( ) ,n ? 2 n ?1 3 3 3 得3 ,

an?1 an 1 2 n a2 a1 5 1 2 ? 1? ? ? ? n ? ?( ) 2 n ?1 3 3 3 对 n ? 1都成立, 再验证: 3 3 9 3 9 也满足上式,因而 3 an n 然后再利用叠加求和的方法确定 3 ,进而确定 {an } 的通项公式.

(3)解本题的关键是当 n ? 3 时,
0 1 2 n ?1 n an ? 3n ? 2n ? (1 ? 2) n ? 2n ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? ? ? Cn ? 2n ?1 ? Cn ? 2n ? 2n 0 1 2 n ?1 0 1 2 ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? ? ? Cn ? 2n ?1 ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 2 ? 1 ? 2n 2 ? n 2 ? 1 ? n 2 ? n 2 ? 2n



1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ) an n ? 2n 2 n n ? 2 ,然后放缩再利用裂项求和的方法证明即可.
n ?1 【解析】 (1)? 2Sn ? an?1 ? 2 ? 1,

n ? 2时, 2Sn ?1 ? an ? 2n ? 1,

-7-

两式相减得 an?1 ? 3an ? 2 ,
n

? a3 ? 3a2 ? 4, 2a1 ? a2 ? 3

,

又? a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列,
? 2a2 ? 10 ? a1 ? a3

即 4a1 ? 16 ? a1 ? 6a1 ? 13,
? a1 ? 1

.

(2)由(1)得 a2 ? 5,
n ? 2 时, an ?1 ? 3an ? 2 ,
n

两边同除以 3 得
an?1 an 1 2 n ? ? ?( ) 3n?1 3n 3 3 . a2 a1 5 1 2 ? 1? ? ? 2 又? n ? 1 时, 3 3 9 3 9 ,也满足上式, an?1 an 1 2 n ? ? ?( ) ?n ? 1 时, 3n?1 3n 3 3 , ? an a1 a2 a1 a3 a2 an an?1 ? ?( 2 ? 1)?( 3 ? 2 ) ??? ( n ? ) n 3 3 3 3 3 3 3 3n?1 .

n ?1

2 1 ? ( )n 1 1 2 2 2 2 n ?1 1 3 ? 1 ? ( 2 )n ? ? [ ? ( ) ?? ? ( ) ] ? ? 3 3 3 3 3 3 1? 2 3 3
? an ? 3n ? 2n

.

1 3 1 1 1 3 ?1? ? ? 1? ? 2 ;当 n=2 时, a1 a2 5 2. (3)当 n=1 时, a1
n n n n 0 1 2 2 n ?1 n ?1 n n n 当 n ? 3 时, an ? 3 ? 2 ? (1 ? 2) ? 2 ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? 2 0 1 2 n ?1 0 1 2 ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? ? ? Cn ? 2n ?1 ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 2 ? 1 ? 2n 2 ? n 2 ? 1 ? n 2 ? n 2 ? 2n



1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ) an n ? 2n 2 n n ? 2 ,
-8-

9.(2012·广东高考文科·T19)
2 * a S 设数列 ? n ? 的前 n 项和为 S n ,数列 ? n ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2Sn ? n , n ? N .

(1)求 a1 的值.
a (2)求数列 ? n ? 的通项公式.

【解题指南】 (1)根据 Tn ? 2Sn ? n ,利用 a1 ? S1 ? T1 ,可建立关于 a1 的方程,即可求
2 2 出 a1 .(2)解答本题的关键是 n ? 2时,Tn?1 ? 2Sn?1 ? (n ? 1) ,

? Sn ? Tn ? Tn ?1 ? 2Sn ? n2 ? [2Sn ?1 ? (n ? 1) 2 ] ? 2( Sn ? Sn ?1 ) ? 2n ? 1 ? 2an ? 2n ? 1

,因为当 n=1 时,

a1 ? S1 ? 1

也满足上式,所以 Sn ? 2an ? 2n ? 1(n ? 1) ,然后转化为常规题型来做即可.

【解析】 (1)令 n=1 时,
2 (2) n ? 2时,Tn?1 ? 2Sn?1 ? (n ? 1) ,

? Sn ? Tn ? Tn ?1 ? 2Sn ? n2 ? [2Sn ?1 ? (n ? 1) 2 ] ? 2( Sn ? Sn ?1 ) ? 2n ? 1 则

? 2an ? 2n ? 1

.

因为当 n=1 时, a1 ? S1 ? 1 也满足上式,所以 Sn ? 2an ? 2n ? 1(n ? 1) , 当 n ? 2时,Sn?1 ? 2an?1 ? 2(n ? 1) ? 1, 两式相减得 an ? 2an ? 2an?1 ? 2, 所以 an ? 2an?1 ? 2(n ? 2) , 所以 an ? 2 ? 2(an?1 ? 2) , 因为 a1 ? 2 ? 3 ? 0 ,所以数列 {an ? 2} 是以 3 为首项,公比为 2 的等比数列,
n ?1 所以 an ? 2 ? 3 ? 2 ,

-9-

n ?1 所以 an ? 3 ? 2 ? 2 . 2 * 10.(2012·安徽高考理科·T21)数列 { xn } 满足: x1 ? 0, xn?1 ? ? xn ? xn ? c(n ? N )

(1)证明: { xn } 是递减数列的充分必要条件是 c ? 0 . (2)求 c 的取值范围,使 { xn } 是递增数列. 【解题指南】 (1)要证明充分性和必要性.(2)由(1)知需要讨论 c ? 0 ,利用 作差法求得 c 的范围. 【解析】 (1) (充分性) 当 c ? 0 时, xn?1 ? ? xn ? xn ? c ? xn ? 数列 { xn } 是单调递减数列
2

(必要性) 数列 { xn } 是单调递减数列 ? x n ? x n+1 ? ?x n 2 ? x n ? c ? c ? x n 2 . 由此得:数列 { xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 . (2)由(1)知需要讨论 C c ?0. ①当 c ? 0 时, x n ? x1 ? 0, 不合题意;
2 ②当 c ? 0 时, x2 ? c ? x1 , x3 ? ?c ? 2c ? x2 ? c ? 0 ? c ? 1 ,

2 2 当 x≥2 时, xn?1 ? xn ? c ? xn ? 0 ? xn ? c ? 1 ? 0 ? x1 ? xn ? c ,
2 2 xn? 2 ? xn?1 ? ?( xn ?1 ? xn ) ? ( xn ?1 ? xn ) ? ?( xn ?1 ? xn )( xn ?1 ? xn ? 1)

.



c?

1 1 xn ? c ? ? xn ? xn?1 ? 1 ? 0 ? xn? 2 ? xn?1 4 时, 2 与 xn ?1 ? xn 同号,


{ xn }

是递增数列.
1 4 时, x n ? c, 且 { xn } 是递增数列,则存在 N ,使



c?

xN ?

1 ? xN ? xN ?1 ? 1 ? xN ? 2 ? xN ?1 2 与 xN ?1 ? xN 异号,

- 10 -

与数列 { xn } 是单调递增数列矛盾, 得:当
0?c? 1 4 时,数列 { xn } 是单调递增数列.

x f ( x ) 11.(2012·安徽高考文科·T21)设函数 = 2 + sin x 的所有正的极小值点从

小到大排成的数列为 { x n } . (1)求数列 { x n } 的通项公式. (2)设 { x n } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n . 【解题指南】 (1)根据导数, x n 的左侧导函数小于 0, x n 的右侧导函数大于 0, 求出极小值点.(2)由(1)求出 { x n } 的前 n 项和为 S n ,再代入 sin S n . 【解析】 (1)
f ( x) ? x 1 2? ? sin x ? f ?( x) ? ? cos x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 2 2 3 , 2? 2? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3 , 2? 4? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3 ,

f ?( x) ? 0 ? 2k? ?

f ?( x) ? 0 ? 2k? ?

∴当 ∴

x ? 2k? ?

2? (k ? Z ) 3 时, f ( x) 取极小值.

xn ? 2n? ?

2? 3 (n ? N? ) xn ? 2n? ? 2? 3 , 2n? 2n? ? n(n ? 1)? ? 3 3 ,

(2)由(1)得:

Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ?

* 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? sin( ?2 k? ) ? 0 ,

当 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时,
*

sin Sn ? sin

2? 3 ? 3 2 ,

- 11 -

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时,
*

sin Sn ? sin

4? 3 ?? 3 2 .

12.(2012·浙江高考文科·T19) (本题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和 为 Sn,且 Sn=2n2+n,n∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn. (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. 【解题指南】由前 n 项和 Sn 可求出通项公式,而数列{an·bn}的通项符合等差与 等比数列乘积的形式,故可用错位相减法求出. 【解析】 (1)由 Sn=2n2+n,可得 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ? 2n2 ? n ? ? ? 2 n ?1? ? ? n ?1?? ? 4n ?1 , ? ? ?
2

当 n ? 1 时, a1 ? 3 符合上式,所以 an ? 4n ? 1(n∈N﹡). 由 an=4log2bn+3 可得 4n ?1=4log2bn+3,解得 bn ? 2n?1 ,n ? N * . (2) anbn ? ? 4n ? 1? ? 2n?1 , ∴ Tn ? 3 ? 7 ? 21 ? 11? 22 ? 15 ? 23 ? ... ? (4n ? 1) ? 2n?1
2Tn ?3 ? 21 ? 7 ? 22 ? 11? 23 ? 15 ? 24 ? ... ? (4n ? 1) ? 2n

① ②

①-②可得
?Tn ? 3 ? 4(21 ? 22 ? 23 ? 24 ? ... ? 2n?1 ) ? (4n ? 1) ? 2n

2(1 ? 2n?1 ) ? (4n ? 1) ? 2 n 1? 2 ? ?5 ? (5 ? 4n) ? 2n, ? 3 ? 4?

- 12 -

∴ Tn ? 5 ? (4n ? 5) ? 2n ,n ? N * .
a 13.(2012·山东高考理科·T20)在等差数列 ? n ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 . a (1)求数列 ? n ? 的通项公式.
m 2m a (2)对任意 m ? N *,将数列 ? n ? 中落入区间 (9 ,9 ) 内的项的个数记为 bm ,求数

b 列 ? m ? 的前 m 项和 S m .

【解题指南】 (1)可利用等差数列的性质求解 a 4 ,再利用

d?

an ? am n ? m 求出公差 d,

m 2m a 利用 an ? am ? ?n ? m?d 求出通项公式.(2)利用数列 ? n ? 中落入区间 (9 ,9 ) 内的项

m 2m b 的个数 9 ? 9n ? 8 ? 9 .可求得数列 ? m ? 为两个等比数列.

【解析】(1) 由 a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 得 3a4 ? 84, a4 ? 28 , 所以
d? a9 ? a4 73 ? 28 ? ?9 9?4 5 ,

? an ? a4 ? ?n ? 4?d ? 28 ? ?n ? 4?? 9 ? 9n ? 8 ? a n ? 9n ? 8



.

m 2m a (2) 对 任 意 m ? N * , 将 数 列 ? n ? 中 落 入 区 间 (9 ,9 ) 内 的 项 的 个 数 为 bm , 则

9 ? an ? 9
m

2m

,即 9 ? 9n ? 8 ? 9 ,所以
m 2m

9 m?1 ?

8 8 ? n ? 9 2 m?1 ? 9 9,

8 8 bm ? (9 2 m?1 ? ) ? (9 m?1 ? ) ? 9 2 m?1 ? 9 m?1 9 9 ,
1 3 2 m ?1 0 1 m ?1 于是 S m ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? 9 ? 9 ? ? ? 9 ? (9 ? 9 ? ? ? 9 )

9 ? 9 2 m?1 1 ? 9 m 9 2 m?1 ? 9 9 m ? 1 9 2 m?1 ? 10 ? 9 m ? 1 9 2 m?1 ? 1 9 m ? ? ? ? ? ? ? 1? 9 80 8 80 80 8 , 1 ? 92 Sm ? 9 2 m ?1 ? 1 9 m ? 80 8 .



a20 ? 2a5 . 14.(2012· 山东高考文科· T20) 已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105, 且a 10

(1)求数列 {an } 的通项公式.
- 13 -

(2)对任意 m ? N ,将数列 {an } 中不大于 7 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项
* 2m

和 Sm . 【解题指南】 (1)可利用等差数列的通项公式及前 n 项和公式列出方程组求出
2m a 首项和公差;进而求得通项公式 . ( 2 )利用数列 ? n ? 中不大于 7 的项的个数

an ? 7n ? 72 m .可求得数列 ?bm ? 为等比数列.利用等比数列的前
?5a1 ? 10d ? 105, ? ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

n 项和公式求解.

【解析】(1)由已知得: 解得 a1 ? 7, d ? 7 ,

* a 所以数列 ? n ? 的通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n(n ? N ) .

(2)由 an ? 7n ? 7 ,得 n ? 7
2m

2 m ?1



即 bm ? 7 ∵

2 m ?1

.

∴ {bm } 是公比为 49 的等比数列, ∴
Sm ? 7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) 1 ? 49 48 .

15. (2012·江西高考理科·T16)已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? ? n2 ? kn (其 中 k ? N * ),且 Sn 的最大值为 8. (1)确定常数 k,求 an. (2)求数列 ? ?
9 ? 2an ? ? 的前 n 项和 Tn. n ? 2 ?

1 2

【解题指南】 (1)先求得 k 的值,再利用 an ? Sn ? Sn?1 求 an ,注意验证首项. (2)用错位相减法求和. 【解析】 (1)当 n ? k ? N * 时, Sn ? ? n 2 ? kn 取最大值,即 8 ? Sk ? ? k 2 ? k 2 ? k 2 , 故 k 2 ? 16 ,因此 k ? 4 ,
- 14 -

1 2

1 2

1 2

从而 an ? Sn ? Sn?1 ? ? n ? n ? 2 ? .又 a1 ? S1 ? ,符合该式,所以 an ? ? n .
9 ? 2an n , 则bn ? n?1 , n 2 2 2 3 n ?1 n Tn ? b1 ? b2 ? …+bn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 , 2 2 2 2 1 1 n 1 n n?2 所以 Tn ? 2Tn ? Tn ? 2 ? 1 ? ? ? ? n?2 ? n?1 ? 4 ? n?2 ? n?1 ? 4 ? n?1 . 2 2 2 2 2 2

9 2

7 2

9 2

(2)设 bn ?

16.(2012·江西高考文科·T17)已知数列 {a n } 的前 n 项和 Sn ? kc n ? k (其中 c , k 为常数) ,且 a2=4,a6=8a3. (1)求 an. (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 【解题指南】 (1)利用 an ? Sn ? Sn?1 求 an ,注意验证首项. (2)用错位相减法求和. 【解析】(1)当 n ? 1 时, an ? Sn ? Sn?1 ? k (c n ? c n?1 ) ,
a6 ? k (c 6 ? c5 ) , a3 ? k (c3 ? c 2 ) ,

a6 c 6 ? c 5 ? ? c 3 ? 8 ,∴c=2.∵a2=4,即 k (c 2 ? c1 ) ? 4 ,解得 k=2,∴ an ? 2 n (n>1) a3 c 3 ? c 2

当 n=1 时, a1 ? S1 ? 2 , 综上所述 an ? 2n (n ? N * ) . (2) nan ? n2n ,则
Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n 2n ①, 2Tn ? 1 ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? ( n ? 1)2 n ? n2 n?1 ②,
?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n2n ?1 , Tn ? 2 ? (n ? 1)2n ?1 .

①-②得,

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- 15 -


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