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立体几何与空间向量第六课时


应用空间向量解立体几何之
用平面法向量求空间距离

一、求异面直线的距离
方法指导:①作直线a、b的 方向向量a、b,求a、b的法 向量n,即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量; ②在直线a、b上各取一点 A、B,作向量AB; ③求向量AB在n上的射影 d,则异面直线a、b间的距 离为

a M

>A

n

a

N

B

b

d ? AB ? cos ? AB, n ? ?

AB ? n n

例2:已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, 求异面直线DA1与AC的距离。z
D1 C1 A1

B1 C y

D

x

A

B

练习:如图,
ABCD是正方形,SB ? 面ABCD,且SA与 面ABCD所成的角为 ,点S到面ABCD的 45? 距离为1,求AC与SD的距离。
S

z
B y

A D

x

C

例3、已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥ 平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD 的中点,求点B到平面GEF的距离。
G

D F A

C

E

B

二、求点到平面的距离
如图点P为平面外一点,点A为平面内的任 一点,平面的法向量为n,过点P作平面a的垂 线PO,记PA和平面a所成的角为?,则点P 到平面的距离 d ?| PO | P n

?| PA | sin ?

a

O

?A

| n ? PA | ?| PA | | n || PA | | n ? PA | ? |n|

例3、已知正方形ABCD的边长为4, CG⊥平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点,求点B到平面GEF的距离。 z

G

x D F A

C

E

y

B

练习: SA ? 平面ABCD,?DAB ? ?ABC ? 90?, SA ? AB ? BC ? a,AD ? 2a , z 求A到平面SCD的距离。 S
A B x C D y

三、求直线与平面间距离
例4、已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD, CG=2,E、F分别是AB、AD的中点,求直线BD到平面 z GEF的距离。

G
d? PA ? n n

x D
F A

C

E

y

B

四、求平行平面与平面间距离
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点,求 z 平面AMN与平面EFDB的距离。

d?

PA ? n n

N A1

D1

F E

C1

M B1 D

C B

y

A

x

小结:
1、怎样利用向量求距离? ①点到平面的距离:连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影(如果不知道判断方向, 可取其射影的绝对值)。 ②点到直线的距离:求出垂线段的向量的模。 ③直线到平面的距离:可以转化为点到平面的距离。 ④平行平面间的距离:转化为直线到平面的距离、点到 平面的距离。 ⑤异面直线间的距离:转化为直线到平面的距离、点 到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模 或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的 模。

结论1
点 P 到平面a的距离可以通过, ??? 在平面a内任取一点 A,求向量 PA在 ? 平面a的法向量 n 上的投影来解决.
P

??? ? PA ? n d? ? n

M

a
O n N A

结论2
异面直线间的距离可以通过, 在两条直线上任意各取一点 A、B, ??? ? ? 求向量 AB 在公共法向量 n 上的投影 来解决. A
??? ? ? AB ? n d? ? n
a M n

a

N

B

b


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