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【精品】高中数学 第二章 基本初等函数(I)优秀学生寒假必做作业练习一 新人教A版必修1


第二章

基本初等函数(I) 练习一

一、选择题 1、 函数 y ? log x?1 (5 ? 4x ) 的定义域是( A、 (?1, 0) B、 (0, log 4 5) ) 。 D、 (?1, 0) ? (0, log 4 5)

C、 (?1, log4 5)

2、 函数 y ? loga

( x ? 2) ? 1 的图象过定点( A、 (1,2) B、 (2,1)

) 。 D、 (-1,1)

C、 (-2,1)

3、 设 f (log2 x) ? 2x ( x ? 0) ,则 f (3) 的值为( A、 128 B、 256

) 。 D、 8

C、 512

4、

5

log5 ( ? a ) 2

化简的结果是( B、 a 2

) 。 C、 |a| D、 a

A、-a

5、 函数 y ? 0.2? x ? 1 的反函数是( A、 y ? log5 x ? 1 C、 y ? log x 5 ? 1

) 。

B、 y ? log5 ( x ? 1) D、 y ? log5 x ? 1

6、 若 y ? log3a ?1 x 在(0,+∞)内为减函数,且 y ? a ? x 为增函数,则 a 的取值范
2

围是( ) 。 A、 (
3 , 1) 3

B、 (0, )

1 3

C、 (0,

3 ) 3

D、 (

3 6 , ) 3 3

7、 设 x ? 0, 且a x ? b x ? 1, a, b ? 0 ,则 a、b 的大小关系是( A、b<a<1 B、 a<b<1 C、 1<b<a

) 。 D、 1<a<b

8、 下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是(
1

) 。
1 2

A、 y ? 2 x

B、 y ? ? ? ?2?

?1?

1? x

C、 y ? ( ) x ? 1

D、 y ? 1 ? 2x

9、 设偶函数 f ( x) 在[0, ]上递减, π 下列三个数 a= f (lg 的关系为( A、 a>b>c )。 B、 b>a>c C、 b>c>a

1 ? 2? ), b ? f ( ), c ? f (? ) 100 2 3

D、 c>a>b ) 。

10、 已知 0<a<1,b>1,且 ab>1,则下列不等式中成立的是(
1 1 ? loga b b 1 1 C、 loga b ? loga ? logb b b

A、 loga b ? logb

1 1 ? loga b ? loga b b 1 1 D、 logb ? loga ? loga b b b

B、 logb

11、 定义运算 a ? b 为: a ? b ? ? 域为( A、 R ) 。

? a, ( a ? b) 如 1? 2 ? 1,则函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x 的值 ?b, (a ? b) ,

B、 (0,+∞)

C、 (0,1]

D、 [1,+∞) ) 。 D、
2 1 2 ? ? c a b

12、 设 a、b、c 都是正数,且 3a ? 4b ? 6c ,则以下正确的是( A、
1 1 1 ? ? c a b

B、

2 2 1 ? ? c a b

C、

1 2 2 ? ? c a b

13.设 a ? 0 ,计算 (3 6 a 9 ) 2 ? (6 3 a 9 ) 2 的结果是 A. a8 B. a 4 C. a 2

( D. a (
x

)

14.下列以 x 为自变量的函数中,指数函数是 A. y ? ? a ? 1? ? 其中a ? ?1, 且a ? 0 ?
x

)

B. y ? ? ?3? D. y ? 3x?1

C. y ? ? ? ?3?

x

15.当 x ? 0 时,函数 f ? x ? ? ? a 2 ? 1? 值总大于 1,则实数 a 的取值范围
x

是(

) A. 1 ? a ? 2 C. a ? 1 B. a ? 1 D. a ? 2

16.下列指数式与对数式互化不正确的一组是
1

(
1 3 1 3

)
1 3

A.100 ? 1与lg1 ? 0 C. log3 9 ? 2与9 ? 3 17.与函数 y ? 10lg? x?1? 的图象相同的函数是 A. y ? x ? 1
x ?1 C. y ? x ?1
1 2

B. 27 3 ? 与log27 ? ? D. log5 5 ? 1与51 ? 5 ( )

B. y ? x ? 1
? x ?1 ? D. y ? ? ? ? x ?1 ?
2

18 . 与 对 数 式 logb a ? N ? a ? 0, b ? 0, 且b ? 1? 相 对 应 的 指 数 式 是 ( ) A. ab ? N D. b N ? a
二、填空题
? 13 19、 ? x 3 x ?2 ? ? ? 5 ? 化成分数指数幂为 ? ?
? 8

B. ba ? N

C. a N ? b



20、 若不等式 log a ( x ? 3) ? log a ( x ? 2) 成立,则 x 的取值范围是 是 。 。

,a 的取值范围

21、 已知 log4m (9m ? 2) ? 0 ,则 m 的取值范围是 22、 给出下列四种说法:

⑴ 函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 与函数 y ? loga a x (a ? 0, a ? 1) 的定义域相同; ⑵ 函数 y ? x3与y ? 3x 的值域相同; ⑶ 函数 y ?
(1 ? 2 x ) 2 1 1 ? x 与y? 均是奇函数; 2 2 ?1 x ? 2x

⑷ 函数 y ? ( x ? 1)2 与 y ? 2x ? 1在 (0, ? ?) 上都是增函数。 其中正确说法的序号是 。

23.已知 a, b, c 为三角形的三边,则
1 2 ? 2 3 5 4

?a ? b ? c?

2

? b ? a ? c ? __________ .

1 1 1 5 4 3 ? ? ? ? ?6 ?3 4 ? 3 3 2 24.化简 a b c ? ?2a b c ? ? ? ?a b c ? 得___________. ? ? ? ? ?

三、解答题 25、已知 f ( x) ? a3 x?5 ,且 f (lg a) ? 100 ,求 a 的值。

26、 已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) (a ? 0, a ? 1) 在区间[1, 7]上的最大值比最小值大 , 求 a 的值。

1 2

27、已知指数函数 y ? ( ) x ,当 x ? (0, ? ? )时,有 y ? 1 ,解关于 x 的不等式
loga ( x ? 1) ? loga ( x2 ? x ? 6) 。

1 a

28、已知函数 f ( x) ? loga (1 ? a x ) (a ? 0, a ? 1) 。 (1) 求 f ( x) 的定义域; (2)当 a>1 时,判断函数 f ( x) 的单调性,并证明你的结论。

29、 设 f ( x) ? lg 值范围。

1 ? 2x ? 4x a ( a ? R ) ,若当 x ? (??, 1] 时, f ( x) 有意义,求 a 的取 3

30、 某商品在最近 100 天内的价格 f (t ) 与时间 t 的函数关系是:
?1 (0 ? t ? 40, t ? N ) ? 4 t ? 22 ? f (t ) ? ? ?? 1 t ? 52 (40 ? t ? 100, t ? N ), ? 2 ?

1 109 销售量 g (t ) 与时间 t 的函数关系是: g(t) = - t + (0≤t≤100 , t 3 3

∈N),

求这种商品的日销售额 S(t)的最大值。
? 1 3 0

7 31.计算1.5 ? ? ? ? ? 80.25 ? 4 2 ? ? ? ? 6?
3

?

3

3? 3

?

6

? 2 ?3 ? ?? ? . . ? 3?

2

32.设 x ? x

1 2

?

1 2

x2 ? x 2 ? 2 ? 3 ,求 2 的值. x ? x ?2 ? 3

?

3

33.求下列函数的定义域: (1) y ? log3 ? x 2 ? 3x ? 2 ? ; (2) y ?
lg ? x 2 ? x ? 2 ? x 2 ? 16



答案: 1、D 10、A 17、D
4 15

2、D

3、B

4、C 12、B

5、B 13、C

6、D

7、B

8、B 15、D

9、B 16、C

11、C 18、D

14、A

? 1 ?2 1? 19、 x 。提示:原式= ?( x 3 ? x 3 ) 2 ? ? ?

?

8 5

? (x

?

1 4 ? 3 5

4

)

? x15 。

20、 x ? 2, 0 ? a ? 1 。提示:∵ ∴ 0<a<1。 由 ?

x ? 3 ? x ? 2, 且 log a ( x ? 3) ? log a ( x ? 2) ,

?x ? 3 ? 0 ,得 x ? 2 。 ?x ? 2 ? 0

21、 ( ,

?0 ? 4m ? 1 ? 4m ? 1 2 1 1 。 或? ) ? ( , ? ?) 。提示:解不等式组 ? 9 4 3 ?0 ? 9m ? 2 ? 1 ?9m ? 2 ? 1

22、 ⑴⑶。提示:⑴中两个函数的定义域都是 R;⑵中两个函数的值域分别 是 R 与(0,+∞) ;⑶中两个函数均满足 f (? x) ? ? f ( x) ,是奇函数;⑷中 函数 y ? ( x ? 1)2 在 (0, ? ?) 不是增函数。 23、2b-2c 24、abc

三、25、 解:因为 f (lg a) ? a3lg a?5 ? 100 ,两边取对数,得 lg a(3lg a ? 5) ? 2 , 所以 3(lg a)2 ? 5lg a ? 2 ? 0 ,解得 lg a ? ? 或 lg a ? 2 , 即 a ? 10 3 或 a ? 100 。
l 1 26、 解: a>1, f x o? ) x , ? )a ? a ? 若 则 () g( ( a 0 1
? 1

1 3

在区间[1, 7]上的最大值为 loga 8 ,
1 2

最小值为 loga 2 ,依题意,有 loga 8 ? loga 2 ? ,解得 a = 16; 若 0<a<1,则 f ( x) ? loga ( x ? 1) (a ? 0, a ? 1) 在区间[1,7]上的最小值为
loga 8 ,最大值为 loga 2 ,依题意,有 loga 2 ? loga 8 ?

1 1 ,解得 a = 。 2 16

综上,得 a = 16 或 a =
1 a

1 。 16 1 ? 1, 即 0 ? a ? 1 。 a

27、 解:∵ y ? ( ) x 在 x ? (0, ? ?) 时,有 y ? 1 , ∴
2

? x ? 1 ? x2 ? x ? 6 ? 于是由 loga ( x ? 1) ? loga ( x ? x ? 6) ,得 ? 2 , ?x ? x ? 6 ? 0 ?

解得 2 ? x ? 5 , ∴ 不等式的解集为 {x | 2 ? x ? 5} 。 28、 解:(1)由 1 ? a x ? 0 ,得 a x ? 1 。 当 a>1 时,解不等式 a x ? 1 ,得 x ? 0 ; 当 0<a<1 时,解不等式 a x ? 1 ,得 x ? 0 。 ∴ 当 a>1 时, f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} ;当 0<a<1 时, f ( x) 的定义域

为 {x | x ? 0} 。 (2)当 a>1 时, f ( x) 在(-∞,0)上是减函数,证明如下: 设 x1 , x2 是(-∞,0)内的任意两个数,且 x1 ? x2 ,则
f ( x1 ) - f ( x2 ) = log a (1 ? a x1 ) ? log a (1 ? a x2 ) ? log a
1 ? a x1 , 1 ? a x2

∵ 从而

a>1, x1 ? x2 ? 0 , ∴
1 ? a x1 ? 1, 1 ? a x2 log a

0 ? a x1 ? a x2 ? 1 , ∴ 1 ? a x1 ? 1 ? a x2 ? 0 。

1 ? a x1 ? 0 ,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) 、 1 ? a x2

∴当 a>1 时, f ( x) 在(-∞,0)上递减。 29、 解:根据题意,有
? 1
1 ? 2x ? 4x a ? 0 , x ? (??, 1] , 3

即 a ? ? ?( ) x ? ( ) x ? , x ? (??, 1] , 2 ? ? 4 ∵ ∴ ∴
1 1 ?( ) x 与 ? ( ) x 在 ( ??, 1] 上都是增函数, 4 2 1 x 1 x ?[( ) ? ( ) ] 在 ( ??, 1] 上也是增函数, 4 2 1 1 3 它在 x ? 1 时取最大值为 ?( ? ) ? ? , 4 2 4
? 1 1 ? 3

1 ?

即 ? ?( ) x ? ( ) x ? ? ? , 2 ? 4 ? 4 ∴
3 a?? 。 4

30、 解:因为 S (t ) ? f (t ) ? g (t ) ,所以 (1)当 0 ? t ? 40时, S (t ) ? ( t ? 22)(? t ?
1 4 1 3 109 1 ),即S (t ) ? ? (t ? 88)(t ? 109) ,从 3 12

而可知当 t ? 10或11时, Smax ? 808.5 ; (2) 当40 ? t ? 100时, S (t ) ? (? t ? 52)(? t ? 时, Smax ? 736 ? 808.5 。 综上可得, 当0 ? t ? 100时, Smax ? 808.5 。 答:在最近的 100 天内,这种商品的日销售额的最大值为 808、5。
1 2 1 3 109 1 ) ? (t ? 104)(t ? 109) ,当 t = 40 3 6

31、110 32、 33、
2 5


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