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数列之 综合


目标 计划 行动 反思 搏 我现在所做的事能使我更快更好的接近我的目标吗?

数列之 综合
1.lgx,lgy,lgz 成等差数列是 x,y,z 成等比数列的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 2.(文)在等比数列 ?an ? 中,则 a7 · a11 =6, a4 ? a14 ? 5 ,则

D.既不充分又不必要条件

a20 =( ) a10
2 3 或? 3 2
)

A.

2 3

B.

3 2

C.

2 3 或 3 2
2

D. ?

(理)若 ?an ? 是等比数列,其中 a3 , a7 是方程 2 x ? 3kx ? 5 ? 0 的两根,且 (a3 ? a7 )2 ? 4a2a8 ? 1 ,则 k 的值为( A. ?

2 11 3

B.

2 11 3

C. ?

2 11 3

D.

8 3

3.数列 ?an ? 满足 an < an ?1 , an ? n 2 ? ?n ,则实数 ? 的取值范围是( ) A. ? >0 B. ? <0
2 2

C. ? =0
n ?1

D. ? >-3 )的前 n 项和为 Sn ,则 Sn 等于( )
n ?1

4.设数列 1,(1+2),(1+2+ 2 )…(1+2+ 2 +…+ 2 A. 2
n

B. 2 -n

n

C. 2

-n

D. 2

n ?1

-n-2

5.某工厂月生产总值平均增长率为 p,则年平均增长率为( ) A.12P B. p12 C. (1 ? p)12 ?1 D. (1 ? p)12

6.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , a2 ? 5 , an?2 ? an?1 ? an (n ? N? ) ,则 a2006 等于( ) A.5 B.4 C.-1 D.-4 )

7.若数列 ?xn ? 的前 n 项和为 Sn ,且 loga (sn ? 1) ? n ,则数列 ?xn ? ( A.只能是递增的等比数列 C.只能是递减的等比数列 8.已知 1 是 a 与 b 的等比中项,又是 A.1 或 ?
2

B.只能是递减的等差数列 D.可能是常数列

2

2

1 2

B.1 或2

1 3

1 1 a?b 与 的等差中项,则 2 的值为( ) a b a ? b2 1 1 C.1 或 D.1 或 3 2

9.若方程 x ? 5x ? m ? 0 与 x ? 10 x ? n ? 0 的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为 1 的等比数列,则 m:n 的值 为( ) A.4 B.2
?5

C.

1 2
5

D.

1 4
5

10.等比数列 ?an ? 的首项为 2 ,其前 11 项的几何平均数为 2 ,若在这前 11 项中抽取一项后的几何平均数为 2 ,则抽 出的是( ) A.第 6 项 B. 第 7 项 C. 第 9 项 D. 第 11 项 11.如图所示,在杨辉三角中,斜线 AB 上方箭头所示的数组成的一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的 前 n 项的和为 S(n),则 S(16)等于( )
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A.128

B.144

C.155

D.164

13.已知 lg x ? lg x2 ? ... ? lg x10 ? 110 ,则 lg x ? lg 2 x ? ?? ? lg10 x =_____________ 14. 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n( n ? N * ) . 关于数列 ? an ? 有下列三个命题: 这些命题中, 真命题的序号是 (1)若 ? an ? 既是等差数列又是等比数列,则 an ? an?1 (2)若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 b ? R ? ,则 ? an ? 是等差数列; (3)若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列.
n

.

(n ? N*) ;

15.已知等差数列有一性质:若 ?an ? 是等差数列.则通项为 bn ?

a1 ? a2 ? ...an 的数列 ?bn ? 也是等差数列,类似上述命题, n

相应的等比数列有性质:若 ?an ? 是等比数列 (an ? 0) ,则通项为 bn =_____________的数列 ?bn ? 也是等比数列 16 .依次写出数 a1 ? 1 , a 2 , a3 ,…法则如下:如果 an ? 2 为自然数且未写出过,则写 an ?1 ? an ? 2 ,否则就写

an ?1 ? an ? 3 ,那么 a 6 ?
20.用分期付款方式购买家用电器一件,价格为 1150 元,购买当天先付 150 元,以后每月这一天都交付 50 元,并加 付欠款的利息,月利率为 1%,若交付 150 元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月该交付 多少钱?全部货款付清后,买这件家电实际花了多少钱? 22.已知 f (x)在 ? ?1,1? 上有定义, f ( ) ? 1 ,且满足 x, y ? (?1,1) 时有 f ( x) ? f ( y) ? f ?

1 2

? x? y ? ? ,对数列 {an } 满足 ? 1 ? xy ?

2 xn 1 x1 ? , xn?1 ? 2 2 1 ? xn
(1)证明: f (x)在(-1,1)上为奇函数; (2)求 f ( xn ) 的表达式; (3)是否存在自然数 m,使得对于任意 n ? N ,有 的最小值. 23. 数列 ?an ? 为等比数列, 若 a2 ? 1 , 且 an ? an?1 ? 2an?1 ? n ? N , n ? 2? , 则此数列的前 4 项和 S4 ? 25.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? x , x ? R ,数列 {an },{bn } 满足条件: a1 ? 1, an ? f (bn ) ? g (bn?1 ), n ? N * .
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?

1 1 1 m?8 成立?若存在,求出 m ? ? ?? ? ? f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 4



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(1)求证: 数列 {bn ? 1} 为等比数列; (2)令 cn ? 27.已知等差数列 ?an ?, a3 ? 3 , a2 ? a7 ? 12 (1)求数列 ?an ?的通项公式

2n 2011 求使 Tn ? 成立的最小的 n 值. , Tn 是数列 {cn } 的前 n 项和, an ? an ?1 2012

(2)设 bn ? n2 n ,求数列 ?bn ?的前 n 项和
a

28.已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 和 a4 的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)令 bn ? an log 1 an , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求使 S n ? n ? 2 n?1 ? 50 成立的小的正整数 n .
2

33.已知数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,且 a1 ? a2 ? 2? ?a ? a ? ? , a3 ? a4 ? 32? ?a ? a ? ?. 2 ? 4 ? ? 1 ? 3
2 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ? an ? log2 an , 求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn.

?1

1?

?1

1?

34.已知数列 {an } 、 {bn } 满足 a1 ? 2 , an ? 1 ? an (an ?1 ? 1) , bn ? an ? 1 。 (Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式;

2n } 的前 n 项和 Dn ; bn (III)若数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,设 Tn ? S2 n ? Sn ,求证: Tn?1 ? Tn 。
(II)求数列 { 35.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ? 2 , S3 ? 9 ? 3 2 (1)求数列 {an } 的通项公式 an 与前 n 项和 Sn ; (2)设 bn ?

Sn (n ? N * ) 求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n

36.下列命题中错误命题的个数是 ①"若log2x≤1,则log2(x-1)无意义"的否命题是真命题; ②"若lgx+lg(x-1)-lg2,则x -x=2"的逆否命题是真命题; ③"一个数是6"是"这个数是4和9的等比中项"的充分不必要条件; ④"an=a1+(n-1)d"是"数列{an}为等差数列"的充要条件. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 37.已知△ABC 中,三内角 A、B、C 的度数成等差数列,边 a、b、c 依次成等 比数列.求证:△ABC 是等边三角形。
2

答案
1.A
n

2.C(C)

3.D

4.D

5.C

6.A.

7.A

8.B

9.D

10.A

11.D

13.

2046

14. ( 1 ) 、 (2) 、 (3)

15.

a1a2 ...an

16. 6

20.解:购买时付了 150 元,欠款 1000 元,每月付 50 元,分 20 次付完. 设每月付款顺次组成数列{an},则 a1=50+1000×0.01=60(元).
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a2=50+(1000-50)×0.01=(60-0.5)(元). a3=50+(1000-50×2)×0.01=(60-0.5×2)(元).
依此类推得 a10=60-0.5×9=55.5(元), an=60-0.5(n-1)(1≤n≤20). ∴付款数{an}组成等差数列,公差 d=-0.5,全部货款付清后付款总数为 S20+150=

20 (a1+a20)+150 2

=(2a1+19d)×10+150 =(2×60-19×0.5)×10+150 =1255(元). 答:第十个月该交付 55.5 元,全部货款付清后,买这件家电实际花了 1255 元 22.(1)∵ x. y ? (?1.1) 有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( 当 x ? y 时,可得 f (o) ? 0 当 x ? 0 时 f (o) ? f ( y ) ? f (

x? y ) 1 ? xy

o? y ) ? f (? y ) 1 ? oxy

∴ f (? y) ? ? f ( y) ∴ f ( x ) 在 (?1,1) 上为奇函数 ∵ f ( xn ?1 ) ? f ?

(1)

? 2 xn ? ? 2 ? ? 1 ? xn ?

? x ? (? xn ) ? f? n ? ? 1 ? xn ? (? xn ) ?

= f ? xn ? ? f (?xn ) ? 2 f ( xn ) ∴

f ( xn ? 1) ?2 f ( xn )

又 f ( x1 ) ? f ( ) ? 1

1 2

∴ ? f ( xn )? 为等比数列,其通项公式为

f ( xn ) ? f ( x1 ) ? 2n?1 ? 2n?1
(2) 假设存在自然数 m,则

1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? 1 ? ? 2 ? ... ? n?1 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 2 2 2
=2?

1 m ?8 ? ? 对于 n ? N 恒成立 n ?1 2 4

16 ? 对于 n ? N 恒成立 2n ∴ m ? 16 且 m ? N ,即可 5 23.4 或 2
∴ m ? 16 ?
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25.解:(1) 证明:由题意得 2bn ? 1 ? bn?1 ,∴ bn?1 ? 1 ? 2bn ? 2 ? 2(bn ? 1) ······ 3 分 又 ∵ a1 ? 2b1 ? 1 ? 1 ∴ b1 ? 0,b1 ? 1 ? 1 ? 0 ···················· 4 分 故数列{bn + 1}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列 ······· 5 分 (2) 由 (1) 可知, bn ? 1 ? 2n?1 ,∴ an ? 2bn ? 1 ? 2n ? 1 ·········· 7 分 故 cn ?
2n 2n 1 1 ? n ? n ? n ?1 ··········· 9 分 n ?1 an ?an ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn
1 1 1 1 1 1 ······ 10 分 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( n ? n?1 ) ? 1 ? n?1 3 3 7 2 ?1 2 ?1 2 ?1

由 Tn ?

2011 ,且 n ? N * ,解得满足条件的最小值为 10········ 12 分 2012

27.解: (1)由已知 a2 ? a7 ? 12 可得 a4 ? a5 ? 12 又因为 a3 ? 3 ,所以 a3 ? a4 ? a5 ? 15 所以 a4 ? 5

? d ? a4 ? a3 ? 2 ? an ? 2n ? 1
(2)由(1)可知 bn ? n2
2n?1

,设数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ① ②

Tn ? 1? 21 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ? ? n ? 22n?1
4Tn ?
①-②可得 -3 Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 =
1 3 5 2n?1

1? 23 ? 2 ? 25 ? ? ? ?n ? 1?2 2n?1 ? n ? 2 2n?1

? n ? 22n?1

2(1 ? 4 n ) ? n ? 2 2 n?1 1? 4

2 ? 2 2n?1 n ? 2 2n?1 ?3n ? 1?2 2n?1 ? 2 ? ? ? Tn ? 9 3 9
28.解: (1) 设 ?an ? 的公比为 q ,由已知,得
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? a 2 ? a3 ? a 4 ? 28 ? a3 ? 8 ?? ? ?a 2 ? a 4 ? 20 ?2(a3 ? 2) ? a 2 ? a 4 ? a1 q 2 ? 8 ?a ? 2 , ?? ?? 1 3 ?a1 q ? a1q ? 20 ? q ? 2
∴ --------------3 分

an ? a1q n?1 ? 2n ;
n n n 2

--------------5 分 --------------7 分 ……………………… ① ②

(2) bn ? 2 log1 2 ? ?n ? 2 , 设 则

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n

2Tn ?

1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 …… ? Tn ? (2 ? 22 ? ? ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? ?(n ? 1) ? 2n?1 ? 2

①-② 得 ∴ 故 ∴ ∴

S n ? ?Tn ? ?(n ? 1) ? 2n?1 ? 2 S n ? n ? 2 n?1 ? 50
? (n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 ? n ? 2 n?1 ? 50 ,即 2 n ? 26 ,
满足不等式的最小的正整数 n 为 5.

--------------10 分

-------------- 12 分

1 2 33.解: (I)∵ a1 ? a2 ? 2? ?a ? a ? ? ? 2? a a , 2 ? 1 2 ? 1

?1

1?

a ?a

?1 1? a3 ? a4 a3 ? a4 ? 32? ?a ? a ? ? ? 32? a a , ………………………………1 分 4 ? 3 4 ? 3
数列 ?an ?各项均为正数, ∴ a1a2 ? 2, a3a4 ? 32, ………………………………………………………2 分 ∴ q4 ?

a3a4 ? 16, a1a2

∴ q ? 2 ………………………………………………………………………4 分 又 a1a2 ? a1 ? a1q ? 2, ∴ a1 ? 1………………………………………………………………………6 分 ∴ an ? a1q n?1 ? 2n?1 …………………………………………………………7 分

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(II)∵ bn ? an ? log2 an ∴ bn ? 4n?1 ? ?n ?1? …………………………………………………………8 分 ∴ Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn

2

? 40 ? 41 ? 42 ? ? ? ? ? 4n?1 ? ?0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1? ……………10 分
? 4n ? 1 n?n ? 1? ? ………………………………………………12 分 3 2

?

?

34.解: (1)由 bn ? an ? 1 得 an ? bn ? 1 代入 an ? 1 ? an (an ?1 ? 1) , 得 bn ? (bn ? 1)bn ?1 ,整理得 bn ? bn?1 ? bnbn?1 。﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2 分 ∵ bn ? 0 , 否则 an ? 1 ,与 a1 ? 2 矛盾。 从而得

1 1 ? ?1, bn ?1 bn

∵ b1 ? a1 ? 1 ? 1 ∴

1 ∴数列 { } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列。﹍4 分 bn

1 1 ? n ,即 bn ? .--------------------------------------------------------------6 分 bn n

2n (2) ? n ? 2n bn

? Dn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ┄┄+ n ? 2n (1)

?2Dn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ┄┄+ n ? 2n?1 (2)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6 分 ?Dn ? 2 ? 22 ? 23 ? ┄┄ ?2n ? n ? 2n?1
2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2 ? Dn ? (n ? 1)2n?1 ? 2 .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 1 1 1 (3)∵ Sn ? 1 ? ? ? …… ? , n 2 3 1 1 1 1 1 ? …… ? ∴ Tn ? S2 n ? Sn =( 1 ? ? ? …… ? ? )— 2 3 n n ?1 2n 1 1 1 1 1 1 ( 1 ? ? ? …… ? )= 。﹍﹍﹍﹍﹍12 分 ? ? …… ? 2 3 2n n n ?1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 ?( ? ? ……+ 证法 1:∵ Tn?1 ? Tn ? ) ? ? …… ? 2n ? 2 n ?1 n ? 2 2n n?2 n?3 ?


1 1 1 1 1 1 ? ? ?0 = ? ? 2n ? 1 2n ? 2 (2n ? 1)(2n ? 2) 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1

∴ Tn?1 ? Tn .--------------------------------------------------------------14 分 证法 2:∵ 2n ? 1 ? 2n ? 2 , ∴

1 1 , ? 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 ∴ Tn?1 ? Tn ? ? ? ? 0。 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 ∴ Tn?1 ? Tn .---------------------------------------------------------------12 分

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? ?a1 ? 1 ? 2 ?d ?2 35. 解: (1)设数列 {an } 的差为 d ,则 ? ? ? S3 ? 3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2
所以 an ? (1 ? 2) ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ? 2
2 Sn ? n ? 2 n

(2)由(1)知 bn ? n ? 2, 用反证法,假设数列 ?bn ? 中存在三项 br , bs , bt

(r, s, t ? N ?且互不相等) 成等比数列,则 bs2 ? br bt ,即 ( s ? 2)2 ? (r ? 2)(t ? 2)
? s 2 ? rt ? 0 所以 ( s2 ? rt ) ? (2s ? r ? t ) 2 ? 0 则 ? ? ( r ? t )2 ? ( r ? t )2 ? 0 ? r ? t ?2 s ? r ? t ? 0 与 r、s、t 互不相等,矛盾,所以数列 ?bn ? 中任意三项都不可能成为等比数列
36.A
0 0 37.【证明】证明:A、B、C 成等差数列 ? 2 B ? A ? C ,又因为 A+B+C= 180 ,所以 B= 60

a,b,c 成等比数列 ? b ? ac ,由余弦定理得: b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2 2

? ac ? a 2 ? c 2 ? ac ? (a ? c) 2 ? 0 ? a ? c ,所以三角形 ABC 是等边三角形

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