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黑龙江省哈尔滨三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)


黑龙江省哈尔滨三中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 2 2 1. (5 分)已知曲线 C 的方程为 x ﹣xy+y ﹣2=0,则下列各点中,在曲线 C 上的点是() A.(0, ) B.(1,﹣2) C.(2,﹣3) D.(3,8) 2. (5 分)已知 A 为圆 A: (x﹣1) +y =25 的圆心,平面上点 P 满足 PA= ,那么点 P 与圆 A 的位置关系是() A.点 P 在圆 A 上 B.点 P 在圆 A 内 C.点 P 在圆 A 外 D.无法确定
2 2

3. (5 分)双曲线 A.2



=1 的焦点到渐近线的距离为() C. D.1

B. 2
2

4. (5 分)抛物线 y=2x 的准线方程是() A. B. C. D.

5. (5 分)△ ABC 的周长是 8,B(﹣1,0) ,C(1,0) ,则顶点 A 的轨迹方程是() A. B.

C.

D.

6. (5 分)已知实数 x、y 满足 x +y +2x=0,则 x+y 的最小值为() A. B. C. D.

2

2

7. (5 分)设定点 F1(0,﹣2) 、F2(0,2) ,动点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=m+ (m>0) ,则点 P 的轨迹是() A.椭圆

B.线段
2

C.不存在

D.椭圆或线段

8. (5 分)已知点 P(8,8)在抛物线 C:y =2px(p>0)上,直线 l 与抛物线 C 相切于点 P, 则直线 l 的斜率为() A. B. C. D.

9. (5 分)若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x﹣2) +y =1 有公共点,则直线 l 的斜率的取 值范围为() A. B.
2

2

2

C.

D.

10. (5 分)已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的 一个交点,若 A.1 =3 ,则|QF|=() B. C. D.2

11. (5 分)从双曲线

=1 的左焦点 F 引圆 x +y =3 的切线 FP 交双曲线右支于点 P,T

2

2

为切点,M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|﹣|MT|等于() A. B. C. D.

12. (5 分)已知椭圆

=1 上一点 A(2,1)和该椭圆上两动点 B、C,直线 AB、AC 的

斜率分别为 k1、k2,且 k1+k2=0,则直线 BC 的斜率 k() A.k> 或 k<﹣ B.k=﹣ C.k= D.k 的值不确定

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上) 13. (5 分)已知 AB 为过双曲线 C 的一个焦点 F 且垂直于实轴的弦,且|AB|为双曲线 C 的实 轴长的 2 倍,则双曲线 C 的离心率为. 14. (5 分)顶点在原点,经过圆 C:x +y ﹣2x+2 程为.
2 2 2 2

y=0 的圆心且准线与 x 轴垂直的抛物线方

15. (5 分)已知方程 4x +ky =1 的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为. 16. (5 分)已知圆 C1: (x﹣2cosθ) +(y﹣2sinθ) =1 与圆 C2:x +y =1,在下列说法中: ①对于任意的 θ,圆 C1 与圆 C2 始终相切; ②对于任意的 θ,圆 C1 与圆 C2 始终有四条公切线; ③直线 l:2(m+3)x+3(m+2)y﹣(2m+5)=0(m∈R)与圆 C2 一定相交于两个不同的点; ④P,Q 分别为圆 C1 与圆 C2 上的动点,则|PQ|的最大值为 4. 其中正确命题的序号为.
2 2 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (10 分)已知直线 y=kx+2 与椭圆 2x +3y =6 有两个公共点,求 k 的取值范围.

2

2

18. (12 分)已知双曲线 C: 为(1,0) . (Ⅰ)求双曲线 C 的方程;

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为:y=±

x,右顶点

(Ⅱ) 已知直线 y=x+m 与双曲线 C 交于不同的两点 A、 B, 且线段 AB 的中点为 M (x0, y0) . 当 x0≠0 时,求 的值.

19. (12 分)在直角坐标系 xoy 中,曲线 y=x ﹣6x+5 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)求过点(2,4)的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长.

2

20. (12 分) 已知 F1、 F2 为椭圆 C:

=1 (a>b>0) 的左右焦点, 椭圆 C 的离心率为



过左焦点 F1 的直线与 C 相交于 A、B 两点,△ ABF2 面积的最大值为 3
2

,求椭圆 C 的方程.

21. (12 分)已知点 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点. (1)设直线 l 的斜率为 1,求向量 (2)设向量 =λ 与 夹角余弦值的大小;

,若∈,求直线 l 在 y 轴上截距的变化范围.

22. (12 分)已知椭圆 E1:

=1 的焦点 F1、F2 在 x 轴上,且椭圆 E1 经过 P(m,﹣2)
2

(m>0) ,过点 P 的直线 l 与 E1 交于点 Q,与抛物线 E2:y =4x 交于 A、B 两点,当直线 l 过 F2 时△ PF1Q 的周长为 20 . (Ⅰ)求 m 的值和 E1 的方程; (Ⅱ)以线段 AB 为直径的圆是否经过 E2 上一定点,若经过一定点求出定点坐标,否则说明 理由.

黑龙江省哈尔滨三中 2014-2015 学年高二上学期期中数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知曲线 C 的方程为 x ﹣xy+y ﹣2=0,则下列各点中,在曲线 C 上的点是() A.(0, ) B.(1,﹣2) C.(2,﹣3) D.(3,8) 考点: 曲线与方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 直接把点的坐标代入方程,满足方程的点,在曲线上,否则不在曲线上. 2 2 解答: 解:把 A、B、C、D 坐标分别代入曲线方程 x ﹣xy+y ﹣2=0,只有(0, )满足 方程, 所以(0, )在曲线上. 故选:A. 点评: 本题考查曲线与方程的对应关系,满足方程的解的实数对,对应的点在曲线上. 2. (5 分)已知 A 为圆 A: (x﹣1) +y =25 的圆心,平面上点 P 满足 PA= ,那么点 P 与圆 A 的位置关系是() A.点 P 在圆 A 上 B.点 P 在圆 A 内 C.点 P 在圆 A 外 D.无法确定 考点: 圆的标准方程;点与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出圆的半径,比较半径与 PA= 的大小,即可判断选项. 2 2 解答: 解:A 为圆 A: (x﹣1) +y =25 的圆心, 圆的半径为 5,平面上点 P 满足 PA= , ∵ , ∴点 P 与圆 A 的位置关系是:点 P 在圆 A 内. 故选:B. 点评: 本题考查点与圆的位置关系的判断,是基础题,由点到圆心的距离和圆半径的大小 关系进行判断.
2 2 2 2

3. (5 分)双曲线 A.2



=1 的焦点到渐近线的距离为() C. D.1

B. 2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据双曲线方程求得焦点坐标和渐近线方程,进而利用点到直线的距离求得焦点 到渐近线的距离. 解答: 解:双曲线 ﹣ =1 的焦点为(4,0)或(﹣4,0) .

渐近线方程为 y= x 或 y=﹣ x. 由双曲线的对称性可知,任一焦点到任一渐近线的距离相等 ,

d=

=2



故选 A. 点评: 本题主要考查了双曲线的标准方程,双曲线的简单性质和点到直线的距离公式.考 查了考生对双曲线标准方程的理解和灵活应用,属基础题. 4. (5 分)抛物线 y=2x 的准线方程是() A. B. C. D.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 将抛物线方程化为标准方程,确定焦点的位置,从而可求抛物线 y=2x 的准线方程. 解答: 解:抛物线 y=2x 可化为 ∴ ∴抛物线 y=2x 的准线方程是 故选 D. 点评: 本题考 查抛物线的标准方程与几何性质,解题的关键是将方程化为标准方程,属于 基础题. 5. (5 分)△ ABC 的周长是 8,B(﹣1,0) ,C(1,0) ,则顶点 A 的轨迹方程是() A. B.
2 2 2

,焦点在 y 轴上,2p= ,

C.

D.

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 向量与圆锥曲线;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据三角形的周长和定点,得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值,得到点 A 的 轨迹是椭圆,椭圆的焦点在 y 轴上,写出椭圆的方程,去掉不合题意的点. 解答: 解:∵△ABC 的两顶点 B(﹣1,0) ,C(1,0) ,周长为 8,∴BC=2,AB+AC=6, ∵6>2,∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值, ∴点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆,且 2a=6,c=1,b=2 , 所以椭圆的标准方程是 .

故选 A. 点评: 本题考查椭圆的定义,注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小,看能不能构成椭 圆,本题是一个易错题,容易忽略掉不合题意的点.

6. (5 分)已知实数 x、y 满足 x +y +2x=0,则 x+y 的最小值为() A. B. C. D.

2

2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 把 x 与 y 满足的等式配方后,观察得到为一个圆的方程,设出圆的参数方程,得到 x=cosα﹣1,y=sinα,代入所求的式子中,利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式 化为一个角的正弦函数,由正弦函数的值域即可得到 x+y 的最小值. 2 2 2 2 解答: 解:把 x +y +2x=0 配方得: (x+1) +y =1, 显然,这是一个圆的方程,设 x+1=cosα,y=sinα, 则 x+y=cosα﹣1+sinα= = sin( )﹣1, )∈, ( cosα+ sinα)﹣1

由 sin(

所以 x+y 的最小值为:﹣ ﹣1. 故选 B 点评: 此题考查学生掌握圆的参数方程,灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值,是一 道基础题.本题的突破点是将已知的等式配方后得到一个圆的方程.

7. (5 分)设定点 F1(0,﹣2) 、F2(0,2) ,动点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=m+ (m>0) ,则点 P 的轨迹是() A.椭圆 考点: 轨迹方程. 专题: 计算题. 分析: 由于 m+ ≥2 =4, 当 m+ =4 时, 满足|PF1|+|PF2|=|F1 F2|的点 P 的轨迹是线段 F1F2,

B.线段

C.不存在

D.椭圆或线段

m+ >4 时,满足|PF1|+|PF2|=m+ >|F1 F2|的点 P 的轨迹是椭圆. 解答: 解:∵m>0,m+ ≥2 =4.

故当 m+ =4 时,满足条件|PF1|+|PF2|=m+ =|F1 F2|的点 P 的轨迹是线段 F1F2 . 当 m+ >4 时,满足条件|PF1|+|PF2|=m+ (m>0)的点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的椭圆. 故选 D. 点评: 本题考查椭圆的定义, 基本不等式的应用, 体现可分类讨论的数学思想, 判断 m+ ≥4 是解题的关键.

8. (5 分)已知点 P(8,8)在抛物线 C:y =2px(p>0)上,直线 l 与抛物线 C 相切于点 P, 则直线 l 的斜率为() A. B. C. D.

2

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由点 P(8,8)在抛物线 C:y =2px(p>0)上,求出抛物线的方程,类比过二次函 数图象上某点切线的斜率等于导函数的函数值,可得直线 l 的斜率. 2 解答: 解:∵点 P(8,8)在抛物线 C:y =2px, ∴64=2p×8, 解得:2p=8, 故抛物线 C 的标准方程为:y =8x, 即 x= y , 则 x′= y, 当 y=8 时,x′=2, 故过点 P(8,8)与抛物线 C 相切的直线方程为:2(y﹣8)=x﹣8, 即 y= x+4, 即直线 l 的斜率为 , 故选:C 点评: 本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系,其中根据已知,求出抛物线的方程是 解答的关键. 9. (5 分)若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x﹣2) +y =1 有公共点,则直线 l 的斜率的取 值范围为() A. B. C. D.
2 2 2 2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 分析: 设出直线方程,用圆心到直线的距离小于等于半径,即可求解. 2 2 解答: 解:设直线方程为 y=k(x﹣4) ,即 kx﹣y﹣4k=0,直线 l 与曲线(x﹣2) +y =1 有 公共点, 圆心到直线的距离小于等于半径
2 2 2



得 4k ≤k +1,k ≤ , 故选 C. 点评: 本题考查直线和圆的位置关系,也可以用数形结合画出图形来判断,是基础题.

10. (5 分)已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的 一个交点,若 A.1 =3 ,则|QF|=() B. C. D.2

2

考点: 专题: 分析: 解答: ∵ =3

抛物线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 求得直线 PF 的方程,与 y =4x 联立可得 x=1,利用|QF|=d 可求. 解:设 Q 到 l 的距离为 d,则|QF|=d, ,

∴|PQ|=2d, ∴直线 PF 的斜率为± , ∵F(1,0) , ∴直线 PF 的方程为 y=± (x﹣1) , 与 y =4x 联立可得 x= , ∴| |=d=1+ = .
2

故选:B. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题.

11. (5 分)从双 曲线

=1 的左焦点 F 引圆 x +y =3 的切线 FP 交双曲线右支于点 P,T

2

2

为切点,M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|﹣|MT|等于() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设双曲线的右焦点为 F', △ PFF'中运用中位线定理得|MO|= |PF'|, 化简得到|MT|= |PF| ﹣|FT|,结合双曲线的定义整理得|MO|﹣|MT|=|FT|﹣a,结合题中数据算出|FT|= 可得本题答案. 解答: 解:设双曲线的右焦点为 F',连结 OT ∵O 为 FF'中点,M 为 PF 中点, ∴MO 为△ PFF'的中位线,可得|MO|= |PF'|,|FM|= |PF| 又∵|MT|=|FM|﹣|FT|= |PF|﹣|FT|, ∴|MO|﹣|MT|= (|PF'|﹣|PF|)+|FT|=|FT|﹣a, ∵a= ,|FT|= = , 且 a= ,

∴|MO|﹣|MT|= 故选:C





点评: 本题给出双曲线上点 P,P 与左焦 点连线 PF 与已知圆相切,求的|MO|﹣|MT|值.着 重考查了三角形中位线定理、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.

12. (5 分)已知椭圆

=1 上一点 A(2,1)和该椭圆上两动点 B、C,直线 AB、AC 的

斜率分别为 k1、k2,且 k1+k2=0,则直线 BC 的斜率 k() A.k> 或 k<﹣ B.k=﹣ C.k= D.k 的值不确定

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由点 A (2, 1) 在椭圆 =1 上, 直线 AB、 AC 的斜率分别为 k1、 k2, 且 k1+k2=0,

联立方程,求出 B,C 点的坐标,代入斜率公式,可得答案. 解答: 解:∵点 A(2,1)在椭圆 =1 上,

直线 AB、AC 的斜率分别为 k1、k2,且 k1+k2=0, ∴设直线 AB 的方程为:y﹣1=k1(x﹣2) ,直线 AC 的方程为:y﹣1=k2(x﹣2)=﹣k1(x﹣2) , 即直线 AB 的方程为:y=k1(x﹣2)+1,直线 AC 的方程为:y=﹣k1(x﹣2)+1, 将 y=k( +1, 代入 1 x﹣2) =1 得: ( ) x﹣
2

x+

=0,

由 A 的横坐标为 2,结合韦达定理可得 B 点的横坐标为:

﹣2=



则 B 点的纵坐标为

, 即 B 点坐标为: (



) ,

同理可得:C 点的坐标为: (





故 BC 的斜率 k=

= ,

故选:C 点评: 本题考查的知识点是椭圆的简单性质,其中求出 B,C 两点坐标的运算量比较大,本 题也可用特殊值代入的方法排除错误答案. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上) 13. (5 分)已知 AB 为过双曲线 C 的一个焦点 F 且垂直于实轴的弦,且|AB|为双曲线 C 的实 轴长的 2 倍,则双曲线 C 的离心率为 . 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设双曲线 C: C 的离心率. 解答: 解:设双曲线 C: 轴 y=0, 由题设知 b =2a , 2 2 2 c ﹣a =2a , 2 2 c =3a , ∴e= = . .
2 2

,焦点 F(c,0) ,由题设知

=2a=2a,由此能够推导出

,焦点 F(c,0) ,

,焦点 F(c,0) ,对称

=2a=

故答案为:

点评: 本题考查双曲线的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用. 14. (5 分)顶点在原点,经过圆 C:x +y ﹣2x+2 2 程为 y =2x. .
2 2

y=0 的圆心且准线与 x 轴垂直的抛物线方

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出抛物线方程,利用经过点(2,2) ,求出抛物线中的参数,即可得到抛物线方程. 2 2 解答: 解:因为圆 C:x +y ﹣2x+2 y=0 的圆心是(1,﹣ ) 抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且经过点(1,﹣ ) , 2 设标准方程为 y =2px, 2 因为点(1,﹣ )在抛物线上,所以(﹣ ) =2p, 所以 p=1, 2 所以所求抛物线方程为:y =2x. 2 故答案为:y =2x. 点评: 本题是基础题,考查抛物线的标准方程的求法,注意标准方程的形式,是易错题, 考查计算能力. 15. (5 分)已知方程 4x +ky =1 的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 0<k <4. 考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先把方程整理成椭圆的标准方程,进而根据焦点在 y 轴推 断出 进而根据 k>0 综合可得 k 的范围. 解答: 解:椭圆方程 4x +ky =1 化为
2 2 2 2

> 求得 k 的范围,



由于椭圆的焦点在 y 轴上,则

> ,即 0<k<4,

故答案为:0<k<4. 点评: 本题主要考查了椭圆的定义.解题时注意看焦点在 x 轴还是在 y 轴. 16. (5 分)已知圆 C1: (x﹣2cosθ) +(y﹣2sinθ) =1 与圆 C2:x +y =1,在下列说法中: ①对于任意的 θ,圆 C1 与圆 C2 始终相切; ②对于任意的 θ,圆 C1 与圆 C2 始终有四条公切线; ③直线 l:2(m+3)x+3(m+2)y﹣(2m+5)=0(m∈R)与圆 C2 一定相交于两个不同的点; ④P,Q 分别为圆 C1 与圆 C2 上的动点,则|PQ|的最大值为 4. 其中正确命题的序号为①③④. 考点: 命题的真假判断与应用. 分析: 对于①根据两圆心距与两圆的半径之和之间的关系判断即可. 对于②要根据两圆的位置关系判断,只有两圆外切时才有 4 条切线.
2 2 2 2

对于③直线 l 是直线系,恒过一个定点,只需判断此点与圆的位置关系即可. 对于④其两动点间最值画两个相外切的圆数形结合即可. 解答: 解: 对于①结论是正确的, 由圆 C1: (x﹣2cosθ) + (y﹣2sinθ) =1 与圆 C2: x +y =1 可知两圆圆心分别为 C1(2cosθ,2sinθ)与 C2(0,0) ,半径分布为 r1=1,r2=1∴圆心距|C1 C2|= =2,
2 2 2 2

|C1C2|=r1+r2,故对于任意的 θ,圆 C1 与圆 C2 始终相切; 对于②结论是不正确的,由①可知两圆向外切,只有 3 条公切线. 对于③结论是正确的,由直线 l:2(m+3)x+3(m+2)y﹣(2m+5)=0 可化为:m(2x+3y ﹣2)+6x+2y﹣5=0 解方程组 ,得交点 M( , ) ,|MO|= = <1,故点 M

在圆 C2 内,所以直线 l 与圆 C2 一定相交于两个不同的点. 对于④结论是正确的,如下图所示,当 P,Q 两点与公切点共线时距离最大为|PQ|=(r1+r2)

=4 综上,正确的结论是①③④. 故答案为:①③④ 点评: 本题考查了直线与圆,圆与圆的位置关系,所以 基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 2 17. (10 分)已知直线 y=kx+2 与椭圆 2x +3y =6 有两个公共点,求 k 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 联立 ,得(3k +2)x +12kx+6=0,由根的判别式能求出 k 的取值范围.
2 2

解答: 解:联立
2 2

,消去 y,

得(3k +2)x +12kx+6=0, 2 2 ∵直线 y=kx+2 和椭圆 2x +3y =6 有两个公共点, 2 2 ∴△=(12k) ﹣24(3k +2)>0, 解得 k<﹣ 或 k> , )∪( ,+∞) .

故 k 的取值范围是: (﹣

点评: 本题考查椭圆方程和运用,考查直线和椭圆的位置关系,联立直线方程和椭圆方程, 运用判别式解题,考查运算能力,属于是基础题.

18. (12 分)已知双曲线 C:

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为:y=±

x,右顶点

为(1,0) . (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ) 已知直线 y=x+m 与双曲线 C 交于不同的两点 A、 B, 且线段 AB 的中点为 M (x0, y0) . 当 x0≠0 时,求 的值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由双曲线的渐近线方程为:y=± x,得到 = ,又 a=1,即可得到双曲线的

方程; (Ⅱ)联立直线方程和双曲线方程,消去 y,得到 x 的方程,再由判别式大于 0,运用韦达定 理,以及中点坐标公式,得到中点的横坐标,再由直线方程得到纵坐标,进而得到答案. 解答: 解: (Ⅰ)双曲线 C: =1(a>0,b>0)的渐近线方程为:y=± x,

则由题意得, =

,a=1,解得 b=



则双曲线的方程为:x ﹣

2

=1;

(Ⅱ)联立直线方程和双曲线方程,得到,
2 2

,消去 y,得 2x ﹣2mx﹣m ﹣3=0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则判别式△ =4m +8(m +3)>0,x1+x2=m, 中点 M 的 x0= ,y0=x0+m= m,
2 2

则有

=3.

点评: 本题考查双曲线的方程和性质及运用,考查联立直线方程和双曲线方程,消去未知 数,运用韦达定理及中点坐标公式解题,考查运算能力,属于中档题. 19. (12 分)在直角坐标系 xoy 中,曲线 y=x ﹣6x+5 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆的方程;
2

(Ⅱ)求过点(2,4)的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题;直线与圆. 2 分析: (1)首先求出曲线 y=x ﹣6x+5 与坐标轴的交点坐标,进一步利用三点的坐标用待 定系数法,求出圆的一般式方程. (2)根据(1)的结论 x +y ﹣6x﹣6y+5=0 转化为标准式: (x﹣3) +(y﹣3) =13,进一步 利用点(2,4)与圆心(3,3)的距离为 < ,所以最短弦的直线的斜率 k 与点(2,4) 与圆心 (3, 3) 所构成的直线斜率乘积为﹣1, 进一步求出 k. 从而求出直线方程为: x﹣y+2=0. 进 一步利用圆心(3,3)到直线的距离为:d= 求出弦长. 解答: 解: (1)曲线 y=x ﹣6x+5 与坐标轴 x 轴的交点, 2 令 x ﹣6x+5=0,解得:A(1,0) ,B(5,0) , 与 y 轴的交点 C(0,5) , 2 2 设圆的一般式为:x +y +Dx+Ey+F=0, 把 A(1,0) ,B(5,0) ,C(0,5)代入圆的方程: 解得 D=﹣6,E=﹣6,F=5, 圆的方程为:x +y ﹣6x﹣6y+5=0; 2 2 2 2 (2)根据 (1)的结论 x +y ﹣6x﹣6y+5=0 转化为标准式: (x﹣3) +(y﹣3) =13, 点(2,4)与圆心(3,3)的距离为 < , 所以最短弦的直线的斜率 k 与点(2,4)与圆心(3,3)所构成的直线斜率乘积为﹣1. 所以 k=1, 进一步求出直线方程为:x﹣y+2=0. 所以圆心(3,3)到直线的距离为:d=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=

,利用 l +d =r 解得半弦长,从而

2

2

2



=



设半弦长为 l,则:l +d =r , 解得:l= ,则弦长为 2l=2 . 点评: 本题考查的知识要点:用待定系数法求圆的一般式,点与圆的位置关系的判定,最 短弦与弦心距之间的关系及相关的运算问题.

20. (12 分) 已知 F1、 F2 为椭圆 C:

=1 (a>b>0) 的左右焦点, 椭圆 C 的离心率为



过左焦点 F1 的直线与 C 相交于 A、B 两点,△ ABF2 面积的最大值为 3 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 当 AB 与椭圆的长轴垂直时,△ ABF2 面积取最大值,此时|AB|= 为 2c,结合椭圆 C 的离心率 e= = 和 a =b +c ,可得椭圆 C 的方程.
2 2 2

,求椭圆 C 的方程.

,AB 边上的高

解答: 解:当 AB 与椭圆的长轴垂直时,△ ABF2 面积取最大值, 此时|AB|= ,

AB 边上的高为 2c, ∵此时△ ABF2 面积为 3 故 × ×2c=3 ,



又∵椭圆 C 的离心率 e= = 又由 a =b +c , 2 2 解得:a =6,b =3, 故椭圆 C 的方程为:
2 2 2




2 2

点评: 本题考查的知识点是椭圆的简单性质,由已知构造方程,求出 a =6,b =3,是解答 的关键. 21. (12 分)已知点 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点. (1)设直线 l 的斜率为 1,求向量 (2)设向量 =λ 与 夹角余弦值的大小;
2

,若∈,求直线 l 在 y 轴上截距的变化范围.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)先根据抛物线方程求得焦点的坐标,进而可求得直线 l 的方程,代入抛物线方 程消去 x,设出 A ,B 的坐标,根据韦达定理,结合平面向量的数量积运算, 可求 与 夹角的余弦值;

(2)得关于 x2 和 y2 的方程组,进而求得 x2=λ.得到 B 的坐标,根据焦点坐标可得直线的方 程,进而求得直线在 y 轴上的截距,判断 g(λ)= 在上是递减的在上是递减的,即可得

到答案. 解答: 解: (1)C 的焦点为 F(1,0) ,直线 l 的斜率为 1,∴l 的方程为 y=x﹣1. 2 2 将 y=x﹣1 代入方程 y =4x,整理得 x ﹣6x+1=0. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y 2) , 则有 x1+x2=6,x1x2=1,y1+y2=4,y1y2=﹣4. ∴cos< , >= = =﹣ .





夹角的余弦值为﹣



(2)由题设得(x2﹣1,y2)=λ(1﹣x1,﹣y1) , 即 x2﹣1=λ(1﹣x1)①,y2=﹣λy1②

由②得 y2 =λ y1 , 2 2 ∵y1 =4x1,y2 =4x2 2 ,∴x2=λ x1③ 联立①③解得 x2=λ.依题意有 λ>0. ∴B(λ,2 )或 B(λ,﹣2 ) , 又 F(1,0) , 得直线 l 的方程为(λ﹣1)y=2 (x﹣1)或(λ﹣1)y=﹣2 当 λ∈时,l 在 y 轴上的截距为 设 g(λ)= 可知 g(λ)= ∴ ≤ ,λ∈, 在上是递减的, ≤﹣ , ≤ ,或﹣ ≤﹣ 或﹣ ,

2

2

2

(x﹣1)

≤ ,或﹣ ≤﹣

即直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为 ≤

≤﹣ .

点评: 本题主要考查了抛物线的应用和抛物线与直线的关系,考查了学生对圆锥曲线知识 的综合掌握,有难度.

22. (12 分)已知椭圆 E1:

=1 的焦点 F1、F2 在 x 轴上,且椭圆 E1 经过 P(m,﹣2)
2

(m>0) ,过点 P 的直线 l 与 E1 交于点 Q,与抛物线 E2:y =4x 交于 A、B 两点,当直线 l 过 F2 时△ PF1Q 的周长为 20 . (Ⅰ)求 m 的值和 E1 的方程; (Ⅱ)以线段 AB 为直径的圆是否经过 E2 上一定点,若经过一定点求出定点坐标,否则说明 理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)△ PF1Q 的周长 4a=20 ,进而可得 E1 的方程,将 y=﹣2 代入可得 m 的值; 2 2 (Ⅱ)过 P(5,﹣1)点的直线为:x﹣5=m(y+2) ,即 x=m(y+2)+5,代入 y =4x 得 y ﹣ 2 2 4my﹣8m﹣20=0,利用以线段 AB 为直径的圆的方程为 x +y ﹣(x1+x2)x+x1x2﹣(y1+y2) 2 2 2 y+y1y2=0,结合韦达定理,可得关于 m 的方程 4m (1﹣x)+4m(3﹣x﹣y)+x +y ﹣10x+ 5=0, 利用关于 m 的方程有无数解,即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)△ PF1Q 的周长 4a=20 , 2 ∴a=5 ,a =75, 故椭圆 E1 的方程为: =1,

将 P(m,﹣2)代入

=1 得:

m =25, ∵m>0, ∴m=5, (Ⅱ)设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 过 P(5,﹣1)点的直线为:x﹣5=m(y+2) ,即 x=m(y+2)+5, 2 2 代入 y =4x 得:y ﹣4my﹣8m﹣20=0 2 2 而以线段 AB 为直径的圆的方程为 x +y ﹣(x1+x2)x+x1x2﹣(y1+y2)y+y1y2=0, x +y ﹣ x+
2 2 2 2

2

﹣(y1+y2)y+y1y2=0,
2 2

整理得 x +y ﹣4my﹣(4m +4m+10)x+4m +12m+5=0, 2 2 2 整理成关于 m 的方程 4m (1﹣x)+4m(3﹣x﹣y)+x +y ﹣10x+5=0 2 2 由于以上关于 m 的方程有无数解,故 1﹣x=0 且 3﹣x﹣y=0 且 x +y ﹣10x+5=0, 由以上方程构成的方程组有唯一解 x=1,y=2. 由此可知,以线段 AB 为直径的圆必经过定点(1,2) 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查椭圆的简单性质,考查恒过定点问题, 考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.


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