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2015年全国高中数学联赛参考答案(A卷word版本)


2015 年全国高中数学联合竞赛(A 卷) 参考答案及评分标准 一试
说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标冶填空题只设 0 分和 8 分两 档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给 分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤 正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答 题中第 9 小题 4 分为一个档次,第 10、11 小题 5 分为一个 档次,不要增加其他中间档次. 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题份分,满分 64 分. 1.设 a , b 为不相等的实数,若二次函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b 满足 f (a) ? f (b) ,则 f (2) ? 2 .若实数 ? 满足 cos ? ? tan ? ,则 为 3 . . 已 知 复 数 数

1 ? cos 4 ? 的值 sin ?



?zn ?





. z1 ? 1, zn?1 ? zn ?1 ? ni(n ? 1,2,? ? ?) ,则 z2015 ? 4.在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 ,线段 DC 上的动点

P 与 CB 延 长 线 上 的 动 点 Q 满 足 条 件 DP ? BQ , 则
. 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率 为 . 6 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 点 集

PA? PQ 的最小值为

?( x, y) ( x ? 3 y ? 6)( 3x ? y ? 6) ? 0?所对应的平面区域的

面积为 . 7.设 ? 为正实数,若存在实数 a, b(? ? a ? b ? 2? ) ,使得

sin ?a ? sin ?b ? 2 ,则 ? 的取值范围为 . 8.对四位数 abcd , 若 a ? b, b ? c, c ? d , 则称 a b c 为 d
P 类数,若 a ? b, b ? c, c ? d ,则称 a b c 为 d Q 类数,则 P 类数总量与 Q 类数总量之差等于 .
三、解答题 9 .( 本 题 满 分 16 分 ) 若 实 数 a, b, c 满 足

2a ? 4b ? 2c ,4a ? 2b ? 4c ,求 c 的最小值. 10. (本题满分 20 分)设 a1 , a2 , a3 , a4 为四个有理数,使得:
3 1 ? ?a a 1 ? i ? j ? 4?? ? ?? 24,?2,? ,? ,1,3?
i j

?

2

8

?





a1 ? a2 ? a3 ? a4 的值.
11. (本题满分 20 分)设 F1 , F2 分别为椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左 2

右焦点,设不经过焦点 F1 的直线 l 与椭圆交于两个不同的点
1

A, B ,焦点 F2 到直线 l 的距离为 d ,如果 AF 1 , l , BF 1 的斜率 依次成等差数列,求 d 的取值范围.

加试 1. (本题满分 40 分)设 a1 , a2 ,? ? ?, an (n ? 2) 是实数,证明: 可 以 选 取 ?1 , ? 2 ,? ? ?, ? n ???1,1? , 使 得

(? ai ) 2 ? (? ? i ai ) 2 ? (n ? 1)(? ai2 ) .
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

2. (本题满分 40 分) 设 S ? ?A1 , A2 ,? ? ?, An ? , 其中 A1 , A2 ,? ? ?, An 是 n 个 互 不 相 同 的 有 限 集 合 (n ? 2) , 满 足 对 任 意 的

Ai , Aj ? S ,均有 Ai ? Aj ? S ,若 k ? min Ai ? 2 ,证明:
1?i ? n

n 个集合. i ?1 k 3. (本题满分 50 分)如图, ?ABC 内接于圆 O , P 为 BC 弧上一点, 点 K 在 AP 上, 使得 BK 平分 ?ABC , 过 K , P, C 三点的圆 ? 与边 AC 交于 D ,连 接 BD 交圆 ? 于 E ,连接 PE ,延 长 交 AB 于 F , 证 明 : ?ABC ? 2?FCB .
存在 x ? ? Ai , 使得 x 属于 A1 , A2 ,? ? ?, An 中的至少
n

4. (本题满分 50 分)求具有下述性质的所有正整数 k :对 任意正整数 n 都有 2
( k ?1) n ?1

不整除

( kn )! . n!

2


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