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6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

[备考方向要明了]

考 什 么 1.会从实际情境中抽象出 二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的 几何意义,能用平面区域 表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出 一些简单的二元线性规划 问题,并能加以解决.

怎 么 考 1.考查形式:选择题或填空题.

2.命题角度: (1)求目标函数的最大值或最小值,或以最值为载体求其参数的 值(范围),如 2012 年广东 T5,新课标全国 T14,山东 T5 等. (2)利用线性规划方法求解实际问题中的最优方案,如 2012 年江 西 T8 等. (3)将线性规划问题与其他知识相结合,如向量、不等式、导数 等相结合命题,如 2012 年陕西 T14,福建 T9 等.

[归纳· 知识整合] 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地, 在平面直角坐标系中, 二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C =0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不包括边界直线. 不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域(半平面)包括边界直线. (2)对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),使得 Ax+By+C 的值符号相同,也 就是位于同一半平面的点,其坐标适合 Ax+By+C>0;而位于另一个半平面内的点,其坐 标适合 Ax+By+C<0. (3)可在直线 Ax+By+C=0 的某一侧任取一点,一般取特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的符号来判断 Ax+By+C>0(或 Ax+By+C<0)所表示的区域. (4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域 的公共部分. 2.线性规划中的基本概念 名称 约束条件 意义 由变量 x,y 组成的不等式

线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题

由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 等 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

[探究] 1.点 P1(x1, y1)和 P2(x2, y2)位于直线 Ax+By+C=0 的两侧的充要条件是什么? 提示:(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0. 2.可行解与最优解有何关系?最优解是否唯一? 提示:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解,最优解不一定唯一. [自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)不等式 x-2y+6<0 表示的区域在直线 x-2y+6=0 的( A.右上方 C.左上方 B.右下方 D.左下方 )

解析:选 C 画出图形如图所示,可知该区域在直线 x-2y+6=0 的左上方.

2. (教材习题改编)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在直角坐标平面内表示的区域(用阴影 部分表示),应是下列图形中的( )

解析:选 C

(x-2y+1)(x+y-3)≤0?

? ? ?x-2y+1≥0, ?x-2y+1≤0, ? 或? ?x+y-3≤0, ? ? ?x+y-3≥0.

3.如图所示,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是(

)

? ?x+y-1≥0 A.? ?x-2y+2≥0 ? ? ?x+y-1≥0 C.? ?x-2y+2≤0 ?

? ?x+y-1≤0 B.? ?x-2y+2≤0 ? ? ?x+y-1≤0 D.? ?x-2y+2≥0 ?

解析: 选 A 两条直线方程为: x+y-1=0, x-2y+2=0.将点(1,1)代入 x+y-1 得 1>0, 代入 x-2y+2 得 1>0,即点(1,1)在 x-2y+2≥0 的内部,在 x+y-1≥0 的内部,故所求二
?x+y-1≥0, ? 元一次不等式组为? ? ?x-2y+2≥0.

4.下列各点中,与点(1,2)位于直线 x+y-1=0 的同一侧的是( A.(0,0) C.(-1,3) B.(-1,1) D.(2,-3)

)

解析:选 C 当 x=1,y=2 时,x+y-1=1+2-1=2>0, 当 x=-1,y=3 时,x+y-1=-1+3-1=1>0, 故(-1,3)与(1,2)位于直线 x+y-1=0 的同侧. x+y≤1, ? ? 5.(2012· 广东高考)已知变量 x,y 满足约束条件?x-y≤1, ? ?x+1≥0, ( ) A.3 C.-5 B.1 D.-6

则 z=x+2y 的最小值为

x+y≤1, ? ? 解析:选 C 变量 x,y 满足的不等式组?x-y≤1, ? ?x+1≥0

表示的平面区域如图所示,作辅

助线 l0:x+2y=0,并平移到过点 A(-1,-2)时,z=x+2y 达到最小,最小值为-5.

二元一次不等式(组)表示的平面区域

x+y-3≤0, ? ? [例 1] (2012· 福建高考)若直线 y=2x 上存在点(x, y)满足约束条件?x-2y-3≤0, ? ?x≥m, 实数 m 的最大值为( A.-1 3 C. 2 [自主解答] 如图所示: 约束条件 x+y-3≤0, ? ? ?x-2y-3≤0, ? ?x≥m ) B.1 D.2



表示的可行域如阴影部分所示.当直

线 x = m 从如 图 所示 的实 线 位 置运 动 到过 A 点的 位 置 时, m 取 最大 值. 解 方 程组
?x+y-3=0, ? ? 得 A 点坐标为(1,2),故 m 的最大值是 1. ?y=2x, ?

[答案] B ————— —————————————— 二元一次不等式表示的平面区域的画法 在平面直角坐标系中,设有直线 Ax+By+C=0(B 不为 0)及点 P(x0,y0),则 (1)若 B>0,Ax0+By0+C>0,则点 P 在直线的上方,此时不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 的上方的区域. (2)若 B>0,Ax0+By0+C<0,则点 P 在直线的下方,此时不等式 Ax+By+C<0 表示直线 Ax+By+C=0 的下方的区域.(注:若 B 为负,则可先将其变为正) (3)若是二元一次不等式组,则其平面区域是所有平面区域的公共部分.

0≤x≤2, ? ? 1.已知关于 x,y 的不等式组?x+y-2≥0, ? ?kx-y+2≥0 值为( A.1 C.1 或-3 )

所表示的平面区域的面积为 4,则 k 的

B.-3 D.0

解析:选 A 其中平面区域 kx-y+2≥0 是含有坐标原点的半平面.直线 kx-y+2=0 又过定点(0,2),这样就可以根据平面区域的面积为 4,确定一个封闭的区域,作出平面区域 即可求解.平面区域如图所示,根据区域面积为 4,得 A(2,4),代入直线方程,得 k=1.

利用线性规划求最值

x-4y+3≤0, ? ? [例 2] 变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1, 设 z=4x-3y,求 z 的最大值. x-4y+3≤0, ? ? [自主解答] 由约束条件?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1, 作出(x,y)的可行域如图所示. 4 z 由 z=4x-3y,得 y= x- . 3 3 4 z 求 z=4x-3y 的最大值,相当于求直线 y= x- 在 y 轴上 3 3 z 的截距- 的最小值. 3 4 4 z z 平移直线 y= x 知,当直线 y= x- 过点 B 时,- 最小,z 最大. 3 3 3 3
? ?x-4y+3=0, 由? 解得 B(5,2). ? ?3x+5y-25=0,

故 zmax=4×5-3×2=14.

保持例题条件不变,如何解决下列问题. y (1)设 z= ,求 z 的最小值; x (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围. y y-0 解:(1)∵z= = . x x-0 2 ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率.观察图形可知 zmin=kOB= . 5 (2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形可知,可行 域上的点到原点的距离中,
? ?x=1, 由? 解得 C(1,1). ?x-4y+3=0, ?

dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29. ∴2≤z≤29.

—————

—————————————— 目标函数最值问题分析

(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边界处取得. (2)求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在 y 轴 上的截距或其相反数. (3)对目标函数不是一次函数的问题, 常考虑目标函数的几何意义, 如① (x,y)与原点(0,0)之间的距离; x2+y2表示点

y ?x-a?2+?y-b?2表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离.② 表 x

y-b 示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.这些代数式的 x-a 几何意义能使所求代数问题转化为几何问题.

x-y+6≥0, ? ? 2.已知实数 x,y 满足?x+y≥0, ? ?x≤3, 3,则实数 a 的取值范围为________.

若 z=ax+y 的最大值为 3a+9,最小值为 3a-

解析:作出 x,y 满足的可行域,如图中阴影部分所示,则 z 在点 A 处取得最大值,在 点 C 处取得最小值,又 kBC=-1,kAB=1,∴-1≤-a≤1,即-1≤a≤1.

答案:[-1,1] 线性规划的实际应用

[例 3] (2012· 江西高考)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金 不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表( 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 )

每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种 植面积(单位:亩)分别为( A.50,0 C.20,30 ) B.30,20 D.0,50

[自主解答] 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x 亩,y 亩,总利润为 z 万元,则目标函 数为 z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y)=x+0.9y. x+y≤50, ? ?1.2x+0.9y≤54, 线性约束条件为? x≥0, ? ?y≥0, 画出可行域,如图所示. x+y≤50, ? ?4x+3y≤180, 即? x≥0, ? ?y≥0.

? ?x+y=50, 作出直线 l0:x+0.9y=0,向上平移至过点 A 时,z 取得最大值,由? 解 ?4x+3y=180, ?

得 A(30,20). [答案] B

—————

—————————————— 解答线性规划实际问题的一般步骤

(1)根据题意设出变量,找出约束条件和目标函数; (2)准确作出可行域,求出最优解; (3)将求解出来的结论反馈到实际问题当中,设计最佳方案.

3.A,B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已 知 A 产品需要在甲机器上加工 3 小时, 在乙机器上加工 1 小时; B 产品需要在甲机器上加工 1 小时,在乙机器上加工 3 小时.在一个工作日内,甲机器至多只能使用 11 小时,乙机器 至多只能使用 9 小时.A 产品每件利润 300 元,B 产品每件利润 400 元,则这两台机器在一 个工作日内创造的最大利润是________元. 3x+y≤11, ? ? 解析:设生产 A,B 两种产品各 x 件,y 件,则 x,y 满足约束条件?x+3y≤9, ? ?x∈N,y∈N, 生产利润为 z=300x+400y.
? ?3x+y=11, 画出可行域,如图所示,显然目标函数在点 A 处取得最大值,由方程组? ?x+3y=9, ? ? ?x=3, 解得? 此时目标函数的最大值是 300×3+400×2=1 700. ?y=2, ?

故最大利润是 1 700 元.

答案:1 700

? 1 种方法——确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法 (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把直 线画成实线. (2)特殊点定域,即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点代 入不等式检验,若满足不等式,则表示的就是包括该点的这一侧,否则就表示直线的另一 侧.特别地,当 C≠0 时,常把原点作为测试点;当 C=0 时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测

试点. ? 1 个步骤——利用线性规划求最值的步骤 (1)在平面直角坐标系内作出可行域; (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; (3)在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解; (4)将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. ? 1 个几何意义——线性目标函数最值的几何意义 求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y a z z =- x+ ,通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值,应注意以下两点: b b b z z (1)若 b>0,则截距 取最大值时,z 也取最大值;截距 取最小值时,z 也取最小值. b b z z (2)若 b<0,则截距 取最大值时,z 取最小值;截距 取最小值时,z 取最大值.按 m= b b (a,b)方向平移直线 ax+by=0,z 越来越大.

创新交汇——与线性规划有关的交汇问题

1.线性规划问题常与指数函数、对数函数、向量以及解析几何的相关知识交汇命题. 2.解决此类问题的思维精髓是“数形结合”,作图要精确,图上操作要规范. [典例] (2012· 江苏高考)已知正数 a,b,c 满足:5c-3a≤b≤4c-a,cln b≥a+cln c, b 则 的取值范围是________. a [解析] 由条件可得

? ?a b ?c+c≤4, a ? ≥e , ?b c c
3x+y≥5, ? ? a b 令 =x, =y,则问题转化为约束条件为?x+y≤4, c c ? ?y≥ex, b y 求目标函数 z= = 的取值范 a x

a b 3·+ ≥5 c c

围.作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分),过原点作 y=ex 的切线,切线方程 为 y=ex,切点 P(1,e)在区域内.故当直线 y=zx 过点 P(1,e)时,zmin=e;当直线 y=zx 1 7? b 过点 C? ?2,2?时,zmax=7,故a∈[e,7]. [答案] [e,7] [名师点评] 1.本题具有以下创新点 (1)命题角度新颖,本题不是直接给出线性约束条件和目标函数求最值,因而需要将所 给不等式组进行合理转化后,约束条件才明朗. (2)考查知识点新颖,本题将不等式,对数、指数函数,导数以及曲线的切线问题相交 汇,运算求解能力、运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题的能力要求较高. 2.解决本题的关键 (1)正确将不等式 5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc 进行合理转化,明确约束条件,将 其转化为线性规划问题; b (2)正确识别 的几何意义,将其转化为斜率问题求解. a [变式训练]

?0≤x≤ 1.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y
???? ? ??? ?
A.3 C.3 2 解析:选 B 区域 D 如图所示: B.4 D.4 2

2, 给定,若 M(x,y)

为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z= OM · OA 的最大值为(

)

设 M(x,y),则 z= OM · ( 2,1)= 2x+y. OA =(x,y)· 要求目标函数 z= 2x+y 的最大值即求直线 y=- 2x+z 在 y 轴上截距的最大值, 画 l0: y=- 2x,由图知过直线 y=2 与直线 x= 2的交点 M( 2,2)时,z 取得最大值为 zmax= 2 × 2+2=4. x+y-11≥0, ? ? 2.设不等式组?3x-y+3≥0, ? ?5x-3y+9≤0 区域 D 上的点,则 a 的取值范围是( A.(1,3] C.(1,2] 解析:选 A 平面区域 D 如图所示.

???? ? ??? ?

表示的平面区域为 D.若指数函数 y=ax 的图象上存在

) B.[2,3] D.[3,+∞)

要使指数函数 y=ax 的图象上存在区域 D 上的点, 所以 1<a≤3.
? ?ln x, x>0, 3.(2012· 陕西高考)设函数 f(x)=? ?-2x-1,x≤0, ?

D 是由 x 轴和曲线 y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则 z=x-2y

在 D 上的最大值为______________. 1 解析:当 x>0 时,求导得 f′(x)= ,所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率 k=1,切线方 x 1 ? 程为 y=x-1, 画图可知区域 D 为三角形, 三个顶点的坐标分别为? (0, -1), (1,0), ?-2,0?, 平移直线 x-2y=0,可知在点(0,-1)处 z 取得最大值 2. 答案:2

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) x≥0, ? ? 1.不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4 3 A. 2 4 C. 3 解析:选 C 平面区域如图.

所表示的平面区域的面积等于(

)

2 B. 3 3 D. 4

? ?x+3y=4, 解? ?3x+y=4, ?

得 A(1,1), 4? 易得 B(0,4),C? ?0,3?, 4 8 ∵|BC|=4- = . 3 3 1 8 4 ∴S△ABC= × ×1= . 2 3 3
? ?|x|≤|y|, 2.在平面直角坐标系 xOy 中,满足不等式组? 的点(x,y)的集合用阴影表示为 ?|x|<1 ?

下列图中的(

)

解析:选 C

|x|=|y|把平面分成四部分,|x|≤|y|表示含 y 轴的两个区域;|x|<1 表示 x=± 1

所夹含 y 轴的带状区域. 2x+y-2≥0, ? ? 3.(2012· 天津高考)设变量 x,y 满足约束条件?x-2y+4≥0, ? ?x-1≤0, 的最小值为( A.-5 C.-2 ) B.-4 D.3

则目标函数 z=3x-2y

解析:选 B 不等式表示的平面区域是如图所示的阴影部分,作辅助线 l0:3x-2y=0, 结合图形可知,当直线 3x-2y=z 平移到过点(0,2)时,z=3x-2y 的值最小,最小值为-4.

x-y+1≤0, ? ? 4.若实数 x,y 满足?x>0, ? ?y≤2, A.(0,2) C.(2,+∞)

y 则 的取值范围是( x B.(0,2] D.[2,+∞)

)

解析:选 D 画出线性约束条件的可行域(如图). y 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率 k. x
? ?x-y+1=0, 由? 得 A(1,2), ?y=2, ?

故 k≥kOA=2. y ∴ ≥2. x x-y≤10, ? ? 5.(2012· 辽宁高考)设变量 x,y 满足?0≤x+y≤20, ? ?0≤y≤15,

则 2x+3y 的最大值为( A.20 C.45

) B.35 D.55

解析: 选 D 作出不等式组对应的平面区域(如图所示), 平移 2 直线 y=- x,易知直线经过可行域上的点 A(5,15)时,2x+3y 取 3 得最大值 55.
?x-y-4≤0, ? 6.(2013· 衡水模拟)点 P(2,t)在不等式组? 表示的平面区域内,则点 P(2, ? ?x+y-3≤0,

t)到直线 3x+4y+10=0 距离的最大值为( A.2 C.6 解析:选 B 示).

) B.4 D.8

画出不等式组表示的平面区域 (如图阴影部分所

结合图形可知,点 A 到直线 3x+4y+10=0 的距离最大.由
?x=2 ? ? 得 A 点 坐 标 为 (2,1) , 故 所 求 最 大 距 离 为 dmax = ? ?x+y-3=0

|3×2+4×1+10| =4. 32+42 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围为 ________. 解析:根据题意知(-9+2-a)· (12+12-a)<0, 即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24. 答案:(-7,24) x-4y+3≤0, ? ? 8.(2013· 濮阳模拟)已知点 A(2,0),点 P 的坐标(x,y)满足?3x+5y≤25, ? ?x-1≥0, ∠AOP(O 为坐标原点)的最大值是________. 解析:| OP |· cos∠AOP 即为 OP 在 OA 上的投影,即求不等式组所表示的可行域中点的 横坐标的最大值.
? ?x-4y+3=0, 由? 可得交点的坐标为(5,2),此时 ?3x+5y=25, ?

则| OP |· cos

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

| OP |· cos∠AOP 取值最大,

??? ?

∴| OP |· cos∠AOP 的最大值为 5. 答案:5 9.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每 天的租赁费为 200 元, 设备乙每天的租赁费为 300 元, 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件, B 类产品 140 件,所需租赁费最少为________元. 解析:设租赁甲设备 x 台,乙设备 y 台, 5x+6y≥50, ? ?10x+20y≥140, 则? x∈N , ? ?y∈N ,
* *

??? ?

设租赁费用为 w,w=200x+300y. 约束条件构成的平面区域如图:
? ?5x+6y=50, 解? ?10x+20y=140, ?

得 A(4,5). ∴wmin=200×4+300×5=2 300. 答案:2 300 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) x-y+5≥0, ? ? 10. (2013· 合肥模拟)画出不等式组?x+y≥0, ? ?x≤3 (1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 解:(1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及其右下方的 点的集合, x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及其右上方的点的集合, x≤3 表示直线 x=3 上及其左方的点的集合. x-y+5≥0, ? ? 所以,不等式组?x+y≥0, ? ?x≤3

表示的平面区域, 并回答下列问题:

表示的平面区域如图所示.

5 ? 结合图中可行域得 x∈? ?-2,3?,y∈[-3,8]. -x≤y≤x+5, ? ? (2)由图形及不等式组知? 5 ? ?-2≤x≤3,且x∈Z,

当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个). x-y+5≥0, ? ? 11.设 x,y 满足约束条件?x+y≥0, ? ?x≤3, x-y+5≥0, ? ? 解:作出不等式组?x+y≥0, ? ?x≤3 阴影部分所示. (x+1)2+y2 可看作点(x,y)到点 P(-1,0)的距离的平方,由图象 可知可行域内的点 A 到点 P(-1,0)的距离最大.
? ?x=3, 解方程组? 得 A 点的坐标为(3,8),代入 ? ?x-y+5=0,

求 z=(x+1)2+y2 的最大值.

表示的平面区域,如图中

z=(x+1)2+y2,得 zmax=(3+1)2+82=80. x+y≥1, ? ? 12.(2013· 黄山模拟)若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤2, 1 1 (1)求目标函数 z= x-y+ 的最值. 2 2 (2)若目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求 a 的取值范围. 解:(1)作出可行域如图,可求得 A(3,4),B(0,1),C(1,0). 1 1 平移初始直线 x-y+ =0,过 A(3,4)取最小值-2,过 C(1,0) 2 2 取最大值 1. ∴z 的最大值为 1,最小值为-2. (2)直线 ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1< a - <2,解得-4<a<2. 2 故所求 a 的取值范围为(-4,2).

2x+y-6≤0, ? ? 1.不等式组?x+y-3≥0, ? ?y≤2 A.4 C.5 解析:选 B 不等式组 2x+y-6≤0, ? ? ?x+y-3≥0, ? ?y≤2

表示的平面区域的面积为(

)

B.1 D.无穷大

表示的平面区域如图所示(阴影部分),

△ABC 的面积即为所求. 求出点 A, B, C 的坐标分别为 A(1,2), B(2,2), 1 C(3,0),则△ABC 的面积为 S= ×(2-1)×2=1. 2 y≤1, ? ? 2.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0, ? ?x-y-2≤0, A.4 C.2 B.3 D.1

则 z=x-2y 的最大值为(

)

解析:选 B 作出可行域如图所示(阴影部分),把 z=x-2y 变 x z 1 z 形为 y= - ,得到斜率为 ,在 y 轴上的截距为- ,随 z 变化的一 2 2 2 2 组平行直线. x z z 由图可知,当直线 y= - 经过点 A 时,- 最小,即 z 最大, 2 2 2
? ?x+y=0, 解方程组? 得 A 点坐标为(1,-1),所以 zmax=1-2×(-1)=3. ? ?x-y-2=0,

y≥x, ? ? 3.设 m>1,在约束条件?y≤mx, ? ?x+y≤1 取值范围为( )

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的

A.(1,1+ 2) C.(1,3) y≥x, ? ? 解析:选 A ∵m>1,由?y≤mx, ? ?x+y≤1, 对于目标函数 z=x+my,即

B.(1+ 2,+∞) D.(3,+∞)

画出可行域,如图所示.

? ?y=mx 1 z 1 y=- x+ ,∴平移直线 y=- x 到 B 处 z 取值最大,则由? 得 m m m ?x+y=1 ?

1 m 1 m2 B?m+1,m+1?,zmax= + <2. ? ? m+1 m+1 解得 1- 2<m<1+ 2, 又∵m>1,∴1<m<1+ 2.


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