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2014高中数学 3-3-1、2 两条直线的交点坐标、两点间的距离课件 新人教A版必修2


3.3

直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 3.3.2

两条直线的交点坐标 两点间的距离

一、阅读教材P102~105回答

1.已知两条直线的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0,
l2:A2x + B2y + C2 =0,如果 l1 与l2相交且交点为 P(x0 ,y0) , 则P点的坐标应满足方程组 ;如果P

点 的 坐 标 是 方 程组 * 的惟一解 , 则 P 点是直线 l1 与 l2

的 交点.因此,两条直线是否有交点,就要看方程组*是否
有惟一 解.当方程组*有无穷多个解时,说明直线l1与l2 重

合 当方程组无解时,说明直线l1与l2平行

2.已知两直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,

(1)若l1与l2相交,则k1 ≠ k2,
(2)若l1∥l2,则k1 = k2,b1 ≠ b2, (3)若l1与l2重合,则k1 = k2,b1 = b2.( 在 横 线 上 填 “=”或“≠”) 3 .已知直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 和 l2 : A2x + B2y + C2

=0,(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0).

5.用坐标法解决几何问题的步骤是:第一步建立直角

坐标系,第二步用坐标表示相关的量进行有关代数运算,
第三步把代数运算结果“翻译”成几何关系.

二、解答下列问题 1 .直线l1: x + y - 1= 0 , l2:x-y + 3= 0,l1与 l2 的交

点坐标为 (-1,2)
则k+b=



2.直线l1:y=kx+3与l2:x-y+b=0相交于点A(1,0), . -4 . 3 . 过 点 ( - 1,2) 与直 线 y =- 2x - 3 平行的 直线方程 为 2x-y+4=0

4.两点A(1,2)、B(-3,1)的距离为
线x+ay+2a-3=0在y轴上的截距为 -1 .

.

5.直线ax+2y-1=0与直线2x-3y-1=0垂直,则直

本节学习重点:两条直线的位置关系及两点间距离公
式. 本节学习难点:①含字母系数时两直线位置关系的讨 论. ②两点间距离公式的推导.

1.利用二元一次方程组的系数关系判断解的情况或直 线的交点个数时,应注意系数为零的情况.

2 .经过两相交直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 和 l2 : A2x +
B2y + C2 = 0 的交点的直线可表示为 A1x + B1y + C1 + λ(A2x + B2y + C2) = 0( 不表示 l2 , λ∈R) .此结论反过来也成立.用 它求经过两直线交点的直线方程时,避免了繁杂的计算. 3.两点间距离公式的推导采用的构造三角形的方法,

由于平行于坐标轴的线段长易求.因此构造了直角三角形
P2QP1,从而推导出|P1P2|的距离公式.

[ 例 1]

求经过点 (2,3) ,且经过两条直线 l1 : x + 3y - 4

=0,l2:5x+2y+6=0交点的直线方程.
[解析] 解方程组
? ?x+3y-4=0 ? ? ?5x+2y+6=0 ? ?x=-2 ? 得, ? ?y=2

, 所以 l1 与 l2 的交点是(-

y-3 x-2 2,2),由两点式得所求直线的方程为 = ,即 x-4y 2-3 -2-2 +10=0.

[点评] 上述解法是一般求解方法. 也可设所求直线为(x+3y-4)+λ(5x+2y+6)=0,

7 ∵所求直线过点(2,3),∴λ=- , 22 ∴所求直线方程为:x-4y+10=0.

过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和
原点的直线的方程为 A.19x-9y=0 C.19x-3y=0 [答案] D ( ) B.9x+19y=0 D.3x+19y=0

[解析]

? ?x-3y+4=0 解方程组? ? ?2x+y+5=0

19 ? ?x=- 7 得? ?y=3 ? 7

3 ∴k=- . 19

3 又 3x+19y=0 的斜率为- ,故选 D. 19

[ 点评 ]

(1) 解出交点坐标 x 、 y 以后,可将 x , y 值代入

各选项检验,或用两点式写出方程即可.
(2)可设所求方程方程为(x-3y+4)+λ(2x+y+5)=0, 4 由过原点(0,0)知,λ=-5.

[ 例 2]

已知点 A(1,2) , B(3,4) , C(5,0) 求证:△ ABC 为

等腰三角形.

[解析]

∵|AB|= (4-2)2+(3-1)2=2 2

|AC|= (0-2)2+(5-1)2=2 5 |BC|= (5-3)2+(0-4)2=2 5 ∴|AC|=|BC| 又∵A、B、C 三点不共线,∴△ABC 为等腰三角形.

已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等于10,则 点P的坐标为________. [答案] (-5,0)或(11,0)

[分析]
程求解.

设出点P的坐标,根据两点间距离公式,列方
设点 P 的坐标为 (x,0) ,由 d(P , A) = 10 得

[ 解析 ]

(x-3)2+(0-6)2=10, 解得 x=11 或 x=-5. ∴点 P 的坐标为(-5,0)或(11,0).

[例3]

k为何值时,直线l1:y=kx+3k-2与直线l2:x
? ?x=12-12k 4k+1 ? 得? ? 7k-2 y= ? ? 4k+1

+4y-4=0的交点在第一象限?
[解析]
? ?y=kx+3k-2 由? ? ?x+4y-4=0

∵两直线的交点在第一象限 ? ?12-12k>0 ? 4k+1 ∴? ?7k-2 >0 ? 4 k + 1 ?

2 ∴7<k<1.

2 即当7<k<1 时,两直线的交点在第一象限.
[ 点评 ] 直线 l1 : y = k(x + 3) - 2 过定点 A( - 3 ,- 2) , 故讨论两直线交点在第一象限可用数形结合法.如图,l2:

x+4y-4=0与坐标轴交点B(0,1)、C(4,0).
满足条件时,kAC<k<kAB.

已知直线l1: x + my+6= 0,l2 :(m- 2)x + 3y+ 2m= 0 , 试求m为何值时,l1与l2:(1)重合;(2)平行;(3)垂直;(4)相 交.

[解析]

当l1∥l2(或重合)时,A1B2-A2B1=1×3-(m-

2)m=0,解得m=3或m=-1 (1)当m=3时,l1:x+3y+6=0,l2:x+3y+6=0 l1与l2重合. (2)当m=-1时, l1x-y+6=0,l2:-3x+3y-2=0,∴l1∥l2.

(3)当l1⊥l2时,A1A2+B1B2=0

1 ∴m-2+3m=0 ∴m=2
(4)m≠3且m≠-1时,l1、l2相交. [点评] 要注意表达的准确性;xy=0时,有x=0或y= 0,xy≠0时,有x≠0且y≠0.

[例4]

若某种产品在市场上的需求数量Q与价格P之间

的关系为P-3Q-5=0,供应数量Q与价格P之间的关系为

P+2Q-25=0,单位分别是“万件”和“万元”,试求市
场的供需平衡点(即供应量和需求量相等的点). [解析] 由已知,需求线和供应线的方程分别为P-3Q - 5 = 0 , P + 2Q - 25 = 0 ,它们的图像都是直线 ( 如下图所 示),在经济工作中,习惯上以横轴表示数量,纵轴表示价

格.

供应线与需求线的交点,就是市场供需平衡点,此点 的坐标可由方程组
? ?P+2Q-25=0, ? ? ?P-3Q-5=0, ? ?P=17, 解得? ? ?Q=4.

即当供应数量和需求数量都是4万件时,市场达到供需

平衡,此时每万件商品价格为17万元.
总结评述:一般来说,当供应量大于需求量时,价 格将要下跌,供应量小于需求量时,价格可能上涨,这就 是所谓的供求律.

A、B两个厂距一条河分别为 400m和100m,A、B两厂

之间距离500m,把小河看作一条直线,今在小河边上建一
座提水站,供A、B两厂用水,要使提水站到A、B两厂铺设 的水管长度之和最短,问提水站应建在什么地方? [分析] 这是一个对称问题,点A关于河的对称点A′与 点 B的连线,交小河于点 P ,则 |PA′| + |PB| = |PA| +|PB| ,此

点即为所求(证明略).

[ 解析 ]

如右图,以小河所在直线为 x 轴,过点 A 的垂

线 为 y 轴 , 建 立 直 角 坐 标 系 , 则 点 A(0,400) . 过 点 B 作

BC⊥AO 于点 C. 在△ ABC 中, AB = 500 , AC = 400 - 100 =
300,由勾股定理得BC=400.∴B(400,100).
点 A(0,400) 关 于 x 轴 的 对 称 点 A′(0, -400), 由两点式, 得直线 A′B 5 的方程为 y= x-400.令 y=0 得 x=320. 4 即点 P(320,0).

故提水站(点P)在距O点320m处(如右图)时,到A、B两
厂的水管长度之和最短.

[例5]
[解析]

△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三
如图,以 B 为坐标原点,直线 AC 为 x 轴,建

角形,用坐标法证明|AE|=|CD|.
立直角坐标系,设△ABD 和△BCE 的边长分别为 a、c, a 3 c 3 则 A(-a,0)、C(c,0)、D(- , a)、E( , c), 2 2 2 2

则|AE|=

c 3 2 [2-(-a)] +( 2 c-0)2

= a2+ac+c2, |CD|= a 3 2 (-2-c) +( 2 a-0)2

= a2+ac+c2,∴|AE|=|CD|.

已知 AO 是△ ABC 的边 BC 的中线,证明 |AB|2 + |AC|2 =

2(|AO|2+|OC|2).
[证明] a>0,则 取BC边所在直线为x轴,边BC的中点O为原点 建立直角坐标系如图,设B(-a,0),C(a,0),A(m,n),其中

|AB|2+|AC|2=(m+a)2+n2+(m-a)2+n2

=2(m2+a2+n2),
|AO|2+|OC|2=m2+n2+a2. ∴|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2). 总结评述: 用解析法 ( 坐标法) 解决几何问题的 一个关键环节,就是建立恰当的平面直角坐标系,建系的

原则是:
(1)若题目中出现一个定点,常以定点为原点建立直角 坐标系; (2) 若已知两定点,常以两定点的中点 ( 或其中一个点 ) 为原点,两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系;

(3)若已知两条互相垂直的定直线,则以它们为坐标轴 建立直角坐标系;

(4)若已知一定点和一定直线,常以定点到定直线的垂
线段的中点为原点,该垂线段所在直线为x轴建立直角坐标 系,或以该定点向定直线作垂线的垂足为原点,定直线为x 轴建立直角坐标系; (5)若已知定角,常以定角的顶点为原点,定角的角平

分线为x轴建立直角坐标系;
(6)建系时要使尽可能多的点落在坐标轴上,或充分利 用图形的对称性.

[例6] 已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
求证:直线l过定点. [ 分析 ] [ 解析 ] 该直线方程表示一族直线,过同一定点,求 将直线变形为: y - 1 = k(x + 2) ,由点斜式方 直线系的定点可用分离参数法或赋值法.

程知,不论k为何值,直线l过定点(-2,1).

设直线 l1 : A1x + B1y +C1 = 0 与 l2 : A2x + B2y + C2 = 0 相

交于P点.
求证:方程 A1x + B1y + C1 + λ(A2x + B2y + C2) = 0(λ∈R) 表示过l1与l2交点P的直线. [证明] 设P点坐标为(x0,y0),由题意, A1x0+B1y0+C1=0,A2x0+B2y0+C2=0,

∴A1x0+B1y0+C1+λ(A2x0+B2y0+C2)=0,
即曲线

A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0过P点. ∵直线l1与l2相交,∴A1B2-A2B1≠0,

原方程可变形为 (A1 + λA2)x + (B1 + λB2)y + C1 + λC2 = 0 ,
∵A1B2-A2B1≠0, ∴A1+λA2与B1+λB2不同时为0(否则将有A1B2-A2B1= 0).∴原方程表示过P点的直线. 总结评述:本例给出的方程习惯上称作直线系方程,

在一个直线方程中含有一个参数如 λ ,当λ 变化时,直线也
变化,但无论λ怎样变化,得到的所有直线都具有某种性质 (如平行、过定点等).这样的直线系我们已学过的有:

(1)平行直线系 与Ax+By+C=0平行的直线Ax+By+C1=0(C1≠C),

与Ax+By+C=0垂直的直线Bx-Ay+C1=0,
与直线y=kx+b平行的直线y=kx+b1(b1≠b), 1 与直线 y=kx+b(k≠0)垂直的直线 y=-kx+b1. (2)中心直线系 过定点P(x0,y0)的直线y-y0=k(x-x0)(不包括垂直于x

轴的直线)
过两直线 A1x + B1y + C1 = 0 与 A2x + B2y + C2 = 0 交点的 直线 A1x + B1y + C1 + λ(A2x + B2y + C2) = 0.( 不包括第二条直 线)

一、选择题

1 .若两直线 kx - y + 1= 0 和 x - ky = 0 相交,且交点在
第二象限,则k的取值范围是 A.(-1,0) C.(0,1) [答案] A B.(0,1] D.(1,+∞) ( )

[解析]

? ?kx-y+1=0 解方程组? ? ?x-ky=0

k 1 得交点坐标( , ) 1-k2 1-k2 ? ? 1 2>0, ?1-k 由题意知,? ? k <0. 2 ? ?1-k

∴-1<k<0,故选 A.

2 .过直线2x -y +4=0 与 x -y + 5=0 的交点,且平行 于直线x-2y=0的直线的方程是 ( )

A.x-2y+11=0
C.x-2y+8=0 [答案] A
? ?2x-y+4=0 由? ? ?x-y+5=0

B.2x-y-1=0
D.2x-y+8=0

[解析]

得交点坐标为(1,6),

1 又所求直线斜率 k= ,故所求直线方程为 2 1 y-6=2(x-1)即 x-2y+11=0.

3.已知A(-1,0)、B(1,0)、C(0,-),则△ABC的形状 为 ( )

A.等腰三角形
C.钝角三角形 [答案] D

B.直角三角形
D.等边三角形

[解析] ∵|AB|=|BC|=|AC|=2 ∴△ABC为等边三角形,故选D.

二、填空题 4.直线ax+3y-12=0与直线4x-y+b=0垂直,且相

交于点P(4,m),则b=________.
[答案] -13

[解析]

a 3 由- · 4=-1 得 a= . 3 4

3 由 ×4+3m-12=0 得 m=3. 4 将 x=4,y=3 代入 4x-y+b=0 得 b=-13.

三、解答题 5 .求过两直线 3x +y - 5 = 0 与 2x -3y + 4= 0的交点,

且在两坐标轴上截距相等的直线方程. ?3x+y-5=0, ? [解析] 解法 1: 解方程组? 得交点坐标 ? ?2x-3y+4=0
为(1,2),①若直线不过原点,由题意可设直线方程为 x+y =a.∴a=1+2=3,

∴所求直线方程为x+y-3=0.
②若直线过原点,所求直线方程为y=2x,即2x-y=0. 综上可知所求直线方程为x+y-3=0或2x-y=0.

解法2:设所求直线方程为3x+y-5+λ(2x-3y+4)=0, 即(3+2λ)x+(1-3λ)y+(-5+4λ)=0.

-5+4λ -4λ+5 令 x=0,得 y= ,令 y=0,得 x= . 3λ-1 3+2λ -4λ+5 4λ-5 5 2 由 = 得 λ= 或 λ=- 4 5 3+2λ 3λ-1 ∴所求直线方程为 x+y-3=0 或 2x-y=0.


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