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2013届高考数学压轴题练习29


高考数学压轴题 29
我们知道, 判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别,那么直 线与椭圆的位置关系有类 似的判别方法吗?请同学们进行研究并完成下面问 题。 ( 1 ) 设 F1 、 F2 是 椭 圆 M :
L: 2x ? y ?

x

2

?

y

2

? 1 的 两 个 焦 点 , 点 F1 、 F

2

到直线

25
5 ? 0 的距离分别为

9

d1、d2,试求 d1〃d2 的值,并判断直线 L 与椭

圆 M 的位置关系。 (2)设 F1、F2 是椭圆 M :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的两个焦点,点 F1、F2 到直线

L : mx ? ny ? p ? 0 ( m、n 不同时为 0)的距离分别为 d1、d2,且直线 L 与椭圆 M

相切,试求 d1〃d2 的值。 (3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明。 (4)将(3)中得出的结 论类比到其它曲线,请同学们给出自己研究的有关 结论(不必证明) 。
【解析】 :21. (本题 20 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 6 分,第 4 小题 4 分) (1) d 1 ? d 2 ?
| ?4 2 ? 3 5| |4 2 ? ? 3 5| ? 9 ; ………………2 分

2 ?x2 y ? ?1 ? 2 联立方 程 ? 25 消去 y 可得 59 x ? 50 10 x ? 100 ? 0 ; …………3 分 9 ? 2x ? y ? 5 ? 0 ?

? ? ( 50 10 ) ? 4 ? 59 ? 100 ? 0 , 所以直线 L 与椭圆 M 相交。 …………4 分
2

2 ? x2 y ? 2 ?1 ? , (2)联立方程组 ? a 2 b ? mx ? ny ? p ? 0 ?
[来源:学科网]

消去

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y 可得 ( a m ? b n ) x ? 2 a mpx ? a ( p ? b n ) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(*)
2 2

? ? ? ? 6分
2 2 2 2

? ? ( 2 a mp ) ? 4 ( a m ? b n ) a ( p ? b n ) ? 4 a b n ( a m ? b n ? p ) ? 0 即p ? a m ? b n .
2 2 2 2 n

? ? ? ? 8分
2 2 2

因为椭圆焦点

F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ), 其中 c ? a ? b ;
2 2 2

| ? mc ? p | | mc ? p | | p ?m c | d1 ? d 2 ? ? ? 2 2 2 2 2 2 m ?n m ?n m ?n ? |a m ?b n ?m c |
2 2 2 2 2 2

m ?n
2

2

? b . ? ? ? ? 10 分
2
2 2

(3)设 F1、F2 是椭圆 M :

x a

2 2

?

y b

? 1( a ? b ? 0 ) 的两个焦点,点 F1、F2 到直线

L : mx ? ny ? p ? 0 ( m , n 不同时为 0 ) 的距离分别为 d1、d2,且 F1 、F2 在直线 L 的同侧。那

么直线 L 与椭圆相交的充要条件为: d 1 ? d 2 ? b 2 ;直线 L 与椭圆 M 相切的充要条件为:
d 1 ? d 2 ? b ;直线 L 与椭圆 M 相离的充要条件为: d 1 ? d 2 ? b
2 2 2

……14 分
2 2 2 2
[来源:Zxxk.Com]

证明:由(2)得,直线 L 与椭圆 M 相交 ? (*) 中 ? ? 0 ? p ? a m ? b n
? d1 ? d 2 ? 同理可证 ? mc ? p m ?n
2 2

?

mc ? p m ?n
2 2

?

p ?m c
2 2

2

m ?n
2

2

?
2

a m ?b n ?m c
2 2 2 2 2

2

m ?n
2

2

?b ;
2

: 直线 L 与椭圆 M 相离 ? d 1 ? d 2 ? b
2

直线 L 与椭圆 M 相切 ? d 1 ? d 2 ? b .

? ? ? ? 16 分
[来源:Zxxk.Com]

命题得证。 (写出其他的充要条件仅 得 2 分,未指出“F1、F2 在 直线 L 的同侧”得 3 分) (4)可以类比到双曲线:设 F1、F2 是双曲线 M :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的两个焦点,点 F1、F2

到直线 L : mx ? ny ? p ? 0 ( m , n 不同时为 0 ) 距离分别为 d1、d2,且 F1、F2 在直线 L 的同侧。 那么直线 L 与双曲线相交的充要条件为: d 1 ? d 2 ? b ;直线 L 与双曲线 M 相切的充要条件
2

为: d 1 ? d 2 ? b ;直线 L 与双曲线 M 相离的充要条件为: d 1 ? d 2 ? b ………………20 分
2 2

[来源:学#科#网]

(写出其他的充要条件仅得 2 分,未指出“F1、F2 在直线 L 的同侧”得 3 分) 。
[来源:学科网]

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