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高考专题辅导与测试第1部分 专题七 第一讲 几何证明选讲(选修4-1)


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第1部分

专题七

选修4系列

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质量铸就品牌 品质赢得未来

第一讲

几何证明选讲(选修4-1)

第一讲 几何证明选讲?选修4-1?

考点统计

/>相似三角形 的判定与性 质应用 圆的内接四 边形,相交 弦,切割线 定理及其应 用
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考情分析
1.几何证明选讲内容主要是相似三角形的 判定定理和性质定理、平行线截割定理、三角 形射影定理以及圆周角定理、圆的切线长定理、 切割线定理、割线定理、相交弦定理等. 2.主要考查有: (1)利用三角形相似或圆的切割线定理证明 比例关系,如2013年陕西T15B,2012年辽宁T22. (2)三角形或圆中的角度与长度的求解问题 ,如2013年北京理T11,2013年天津T13.

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第一讲

几何证明选讲(选修4-1)

1. (2013· 陕西高考改编)如图,AB 与 CD 相交于点 E, E 作 BC 的平行 过 线与 AD 的延长线交于点 P,已知∠A=∠C,PD=2DA =2,求 PE 的长. 解: PE∥BC 知, 由 ∠A=∠C=∠PED, 在△PDE 和△PEA

中,∠P=∠P,∠A=∠PED,故△PDE∽△PEA,则 PD∶ PE=PE∶PA.于是 PE2=PA· PD=3×2=6,则 PE= 6.
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第一讲

几何证明选讲(选修4-1)

2.(2013· 北京高考改编)如图,AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的 切线,PB 与圆 O 相交于 D.若 PA=3,PD∶DB=9∶16,求 PD,AB 的长.

解:设 PD=9t,DB=16t,则 PB=25t,根据切割线定理得 1 9 3 =9t×25t,解得 t= ,所以 PD= ,PB=5.在直角三角形 5 5
2

APB 中,根据勾股定理得 AB=4.
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3.(2013· 天津高考改编)如图, △ABC 为圆的内 接三角形, BD 为圆的弦, 且 BD∥AC. 过 点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD= 5,求线段 CF 的长.
解:因为 AE 是圆的切线,且 AE=6,BD=5,由切割线定理可得 EA2=EB· ED, 36=EB· 即 (EB+5), 解得 EB=4.又∠BAE=∠ADB =∠ACB=∠ABC,所以 AE∥BC.又 AC∥BD,所以四边形 AEBC 是平行四边形, 所以 AE=BC=6, AC=EB=4.又由题意可得△CAF CA CF CA2 16 8 ∽△CBA,所以 = ,CF= = = . CB CA CB 6 3
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4.(2012· 辽宁高考)如图,⊙O 和⊙O′相交于 A,B

两点,过

A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长 交⊙O 于点 E.证明: (1)AC· BD=AD· AB; (2)AC=AE.

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证明:(1)由 AC 与⊙O′相切于 A,得∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB. AC AB 从而AD=BD,即 AC· BD=AD· AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于 A,得∠AED=∠BAD. 又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD. AE AD 从而AB=BD,即 AE· BD=AD· AB. 结合(1)的结论,则 AC=AE.

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5.(2012· 新课标全国卷)如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点.若 CF ∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD.

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证明:(1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以 DE∥BC.又 已知 CF∥AB,故四边形 BCFD 是平行四边形,所以 CF=BD =AD.而 CF∥AD, 连接 AF, 所以四边形 ADCF 是平行四边形, 故 CD=AF. 因为 CF∥AB,所以 BC=AF,故 CD=BC. (2)因为 FG∥BC,故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF,所以 GB=BD. 而∠DGB=∠EFC=∠DBC, 由(1)知 CD=BC,∠DBC=∠BDC, 故△BCD∽△GBD.
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1.平行线等分线段定理 (1)定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相 等,那么在其他直线上截得的线段也相等. (2)推论 1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边. (3)推论 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 平分另一腰.

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2.平行线分线段成比例定理 (1)定理: 三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例. (2)推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延 长线)所得的对应线段成比例. 3.相似三角形的判定与性质 (1)判定定理 1:两角对应相等,两三角形相似. 判定定理 2:两边对应成比例并且夹角相等,两三角形相 似.

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判定定理 3:三边对应成比例,两三角形相似. (2)性质定理 1:相似三角形对应边上的高、中线、对应角 平分线和它们周长的比都等于相似比. 性质定理 2:相似三角形的面积比等于相似比的平方. (3)推论: 相似三角形外接圆的直径比、 周长比等于相似比, 外接圆的面积比等于相似比的平方. 4.射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例 中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.
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5.圆周角与圆心角定理 (1)圆周角定理: 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的一半. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等. 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周角 所对的弦是直径.

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6.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质: 定理 1:圆的内接四边形的对角互补. 定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)判定: 定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四 个顶点共圆. 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么 这个四边形的四个顶点共圆.
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7.圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. (2)判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线. 8.弦切角的性质 定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

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9.与圆有关的比例线段 (1)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线 段长的积相等. (2)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等. (3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项. (4)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线 长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
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相似三角形的判定与性质的应用
[例 1] (2013· 辽宁高考)如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD

与⊙O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂 直 AB 于 F,连接 AE,BE.证明:

(1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD· BC.
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[自主解答] EAB.

(1)由直线 CD 与⊙O 相切,得∠CEB=∠

由 AB 为⊙O 的直径,得 AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF π = . 2 π 又 EF⊥AB, 得∠FEB+∠EBF= , 从而∠FEB=∠EAB. 2 故∠FEB=∠CEB.

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(2)由 BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE 是公共 边,得 Rt△BCE≌Rt△BFE,所以 BC=BF. 同理可证 Rt△ADE≌Rt△AFE,得 AD=AF. 又在 Rt△AEB 中,EF⊥AB,故 EF2=AF· BF, 所以 EF2=AD· BC.

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——————————规律· 总结———————————— 判定两个三角形相似的四种常用方法
(1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似; (4)相似三角形的定义. ———————————————————————————

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1.如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A,B 两点,AD 为⊙M 的直径, 直线 BD 交⊙O 于点 C,G 为弧 BD 的中点,连接 AG 分别交 ⊙O,BD 于点 E,F,连接 CE.求证:

(1)AG· EF=CE· GD; GF EF2 (2)AG= 2. CE
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证明:(1)连接 AB,AC,∵AD 为⊙M 的直径, ∴∠ABD=90° ,∴AC 为⊙O 的直径, ∴∠CEF=∠AGD=90° . ∵G 为弧 BD 的中点, ∴∠DAG=∠GAB=∠FDG=∠ECF. CE AG ∴△CEF∽△AGD,∴EF=GD,∴AG· EF=CE· GD. (2)由(1)知∠DAG=∠GAB=∠FDG,∠AGD=∠DGF. ∴△DFG∽△ADG,∴DG2=AG· GF. EF2 GD2 GF EF2 由(1)知 2= 2 ,∴AG= 2. CE AG CE
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圆的内接四边形问题

[例 2]

(2013· 兰州模拟)已知:如图,⊙O 为△ABC 的外

接圆,直线 l 为⊙O 的切线,切点为 B,直线 AD∥l,交 BC 于点 D、交⊙O 于点 E,F 为 AC 上一点,且∠EDC=∠FDC. 求证: (1)AB2=BD· BC; (2)点 A,B,D,F 共圆.

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[自主解答] (1)连接 EC, ∵直线 l 为⊙O 的切线, ∴∠1=∠ACB. ∵AD∥l,∴∠1=∠DAB. ∴∠ACB=∠DAB, 又∵∠ABC=∠DBA, ∴△ABC ∽△DBA. AB BC ∴BD=AB, ∴AB2=BD· BC.
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(2)由(1)可知∠BAC=∠ADB. ∵∠EDC=∠FDC,∠EDC=∠ADB, ∴∠BAC=∠FDC.∴∠BAC+∠FDB=∠FDC+∠FDB =180° . ∴点 A,B,D,F 共圆.

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——————————规律· 总结————————————
(1)在平面几何中求角的大小, 经常考虑用三角形内角和定 理及其推论. (2)在圆中求角的大小经常需要用与圆有关的角的定理.

——————————————————————————

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2.如图,BA 是⊙O 的直径,延长 BA 至 E,使得 AE=AO,过 E 点作⊙O 的割线交⊙O 于 D、C,使得 AD=DC. (1)求证:OD∥BC; (2)若 ED=2,求⊙O 的内接四边形 ABCD 的周长.

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解:(1)证明:连接 AC, ∵OD 是⊙O 的半径,AD=DC, ∴OD⊥AC. 又∵∠BCA=90° ,∴BC⊥AC, ∴OD∥BC.

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(2)由(1)及 EA=AO,ED=2, OD ED EO 2 知 BC = EC=EB = ,∴EC=3. 3 ∵ED· EC=EA· EB=3EA2, ∴3EA2=2×3,即 EA= 2. 3 3 3 2 ∵CD=EC-ED=1,BC= OD= EA= , 2 2 2 7 2 ∴四边形 ABCD 的周长为 AD+CD+BC+BA=2+ . 2

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相交弦、切割线定理及其应用
[例 3] (1)(2013· 深圳模拟改编)如图,直角三角形 ABC 中,

∠B=90° ,AB=4,以 BC 为直径的圆交 AC 边于点 D,AD=2, 求∠C.

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(2)(2013· 新课标全国卷Ⅰ)如图,直线 AB 为圆的切线,切 点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E, DB 垂直 BE 交圆于点 D.

①证明:DB=DC; ②设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求 △BCF 外接圆的半径.

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(1)由切割线定理可得 AB2=AD×AC,则 AC

AB2 AB 1 = AD =8,由∠B=90° ,可得 sin C=AC= ,∴∠C=30° . 2 (2)①证明:如图,连接 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又 DB⊥BE,所以 DE 为直径,∠DCE=90° ,由勾股定理 可得 DB=DC.

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②由①知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 3 故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG= . 2 设 DE 的中点为 O,连接 BO,则∠BOG=60° . 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30° , 3 所以 CF⊥BF,故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 . 2

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——————————规律· 总结———————————— 1.处理与圆有关的比例线段的常见思路有:

(1)利用相似三角形; (2)利用圆的有关定理; (3)利用平行线分线段成比例定理及推论; (4)利用面积关系等. 2.在涉及两圆的公共弦时,通常是作出两圆的公共弦,如果 有过公共点的切线就可以使用弦切角定理,在两个圆内实现角的 等量代换,这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基 本思考方向. ———————————————————————————
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3.如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的平分线,△ACD 的外接 圆交 BC 于点 E,AB=2AC. (1)求证:BE=2AD; (2)当 AC=1,EC=2 时,求 AD 的长.

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解:(1)证明:连接 DE,因为四边形 ACED 是圆的内接四边形, 所以∠BDE=∠BCA,又∠DBE=∠CBA,所以△BDE∽△ BE DE BCA,即有BA= CA,而 AB=2AC,所以 BE=2DE. 又 CD 是∠ACB 的平分线,所以 AD=DE,从而 BE=2AD. (2)由条件得 AB=2AC=2,设 AD=t, 根据割线定理得 BD· BA=BE· BC, 即(AB-AD)· BA=2AD· (2AD+CE), 1 所以(2-t)×2=2t(2t+2),即 2t +3t-2=0,解得 t= 或 t=- 2
2

1 2(舍去),即 AD= . 2
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