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函数的单调性与导数(最终版)


3.3.1 函数的单调性与导数

观察下列图象的单调区间,并求单调区间相应的导数.

观察下列图象的单调区间,并求单调区间相应的导数.

图象是单调上升的

y? ? 1 ? 0

在x∈(-∞,0)内图象是 单调下降的.

y? ? 2 x ? 0

/>在x∈( 0,+∞)内图象是
单调上升的.

y? ? 2 x ? 0

图象是单调上升的.

y? ? 3x ? 0(当x ? 0时)
2

在x∈(-∞,0)内图象是
单调下降的.

1 y? ? ? 2 ? 0 x
在x∈( 0,+∞)内图象是 单调下降的.

1 y? ? ? 2 ? 0 x

函数的单调性与其导函数正负的关系:

当函数y=f (x)在某个区间内可导时,
如果 f ?( x) ? 0 , 则f (x)为增函数;

如果

f ?( x) ? 0 , 则f (x)为减函数。

题型一.应用导数信息确定函数大致图象
例1、已知导函数 f ?( x ) 的下列信息:
当1<x<4时, f

?( x) ? 0

当x>4,或x<1时, f ?( x) ? 0
当x=4,或x=1时, f

?( x) ? 0

试画出函数f(x)图象的大致形状。

解:由题意可知 当1<x<4时,

y
y ? f ( x)

f(x)为增函数
当x>4,或 x<1时,

f(x)为减函数
当x=4,或x=1时,

o

1

4

x

两点为“临界点”
其图象的大致形状如图。

y ? f '( x )的图象如 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数, 右图所示,则 y ? f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y

y ? f ( x)
1 2
x o

y

y

y ? f ( x)
1 2 x

y ? f '( x )
2 x

o

o

(A)
y

(B)
y

y ? f ( x)
2

y ? f ( x)
1 2
x

o

1

x

o

(C)

(D)

题型二.应用导数求函数的单调区间
例2、判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x 解:f ?( x) =3x2+3=3(x2+1)>0 从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上

y

单调递增,见右图。

o

x

f ( x) ? x3 ? 3x

(2) f(x)=x2-2x-3 解:f ?( x) =2x-2=2(x-1)>0 当 f ?( x) >0,即x>1时,函数单调递增; 当 f ?( x)<0,即x<1时,函数单调递减; 图象见右图。

y

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3

o

1

x

(3) f(x)=sinx-x ,x∈(0,π )

解: f ?( x) =cosx-1<0
从而函数f(x)=sinx-x 在x∈(0,?)单调递减,

见右图。

y

o
f ( x) ? sin x ? x

x

(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1
解:f ?( x) =6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0 当

f ?( x)>0,

? 1 ? 17 ? 1 ? 17 或x ? 即 x? 时,函数 2 2 单调递增;

(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1
当 f ?( x)<0,
? 1 ? 17 ? 1 ? 17 ?x? 即 时,函数单 2 2 y 调递减;

图象见右图。

o

x

练习1:确定下列函数的单调区间:

(1)f(x)=x2-2x+4
x<1时,函数单调递减,

x>1时,函数单调递增。 (2) f(x)=3x-x3
x<-1或x>1时,函数单调递减, -1


x < 1时,函数单调递增。

练习2:确定下面函数的单调区间:

1 解: 函数的定义域是R, f ?( x ) ? ? cos x . 2 1 2? 2? ? x ? 2k? ? ( k ? Z ). 令 ? cos x ? 0 ,解得 2k? ? 2 3 3

x f(x)= +sinx; 2

1 2? 4? ? x ? 2k? ? ( k ? Z ). 令 ? cos x ? 0 ,解得 2k? ? 3 3 2

因此,f(x)的递增区间是:

2? 2? ( 2k? ? ,2k? ? )(k ? Z ); 3 3
递减区间是:

2? 4? ( 2k? ? ,2k? ? )(k ? Z ). 3 3

求函数的单调区间的一般步骤:
(1) 求出函数 f(x)的定义域A;

(2) 求出函f(x)数的导数
(3)不等式组

f ?( ; x)

?x? A ? ? f ?( x ) ? 0

的解集为f(x)的单调增区间;
?x? A (4)不等式组 ? ? f ?( x ) ? 0 的解集为f(x)的单调减区间;

题型三.变化率大小对函数图像的影响
例3、水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的 容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。

练习4

如图,直线l和圆c,当l从l0开始在平

面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90o)时,它扫

过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,它的图
象大致是( )。

题型四、求参数的取值范围
3 2

例4.若函数f (x)? ax ? x ? x ? 5在(-?,+?)上单调递增, 求a的取值范围.

1 a? 3

注:在某个区间上, ,f(x)在这个区间上单调 递增(递减);但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而 仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0 也能使 f(x)在这个区间上单调,所以要带上等号.

说明:已知函数的单调性求参数的取值范围: 若函数单调递增,则 f ?( x) ≥ 0 ; 若函数单调递减,则 f ?( x) ≤ 0 . 注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.

1 f x) ? 2ax ? 2 ,x ?(0 ,1],若( f x) 例5.已知函数( x 在x ?(0 ,1]上是增函数,求a的取值范围. 2 解:由已知得 f '(x) ? 2a ? 3 x 因为函数在(0,1]上单调递增

1 ? f '(x)? 0,即a ? ? 3 在x ? (0, 1]上恒成立 x 1
而g(x) ? ? ? g(x)max x ? g(1)=-1.
3

在(0, 1]上单调递增,

? a ? ?1

注:本题用到一个重要的转化:

1.根据导数确定函数的单调性步骤:

(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求出函数的导数. (3)解不等式 f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式 f ′(x)<0,得函数单减区间.

2. 已知函数的单调性求参数的取值范围: 若函数单调递增,则 f ?( x) ≥ 0 ; 若函数单调递减,则 f ?( x) ≤ 0 . 注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.

作业:
1.课本P98 A组1(2)(4)写本上. 2.做优化P76-P79


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