当前位置:首页 >> 数学 >> 函数的单调性与导数(最终版)

函数的单调性与导数(最终版)


3.3.1 函数的单调性与导数

观察下列图象的单调区间,并求单调区间相应的导数.

观察下列图象的单调区间,并求单调区间相应的导数.

图象是单调上升的

y? ? 1 ? 0

在x∈(-∞,0)内图象是 单调下降的.

y? ? 2 x ? 0

/>在x∈( 0,+∞)内图象是
单调上升的.

y? ? 2 x ? 0

图象是单调上升的.

y? ? 3x ? 0(当x ? 0时)
2

在x∈(-∞,0)内图象是
单调下降的.

1 y? ? ? 2 ? 0 x
在x∈( 0,+∞)内图象是 单调下降的.

1 y? ? ? 2 ? 0 x

函数的单调性与其导函数正负的关系:

当函数y=f (x)在某个区间内可导时,
如果 f ?( x) ? 0 , 则f (x)为增函数;

如果

f ?( x) ? 0 , 则f (x)为减函数。

题型一.应用导数信息确定函数大致图象
例1、已知导函数 f ?( x ) 的下列信息:
当1<x<4时, f

?( x) ? 0

当x>4,或x<1时, f ?( x) ? 0
当x=4,或x=1时, f

?( x) ? 0

试画出函数f(x)图象的大致形状。

解:由题意可知 当1<x<4时,

y
y ? f ( x)

f(x)为增函数
当x>4,或 x<1时,

f(x)为减函数
当x=4,或x=1时,

o

1

4

x

两点为“临界点”
其图象的大致形状如图。

y ? f '( x )的图象如 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数, 右图所示,则 y ? f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y

y ? f ( x)
1 2
x o

y

y

y ? f ( x)
1 2 x

y ? f '( x )
2 x

o

o

(A)
y

(B)
y

y ? f ( x)
2

y ? f ( x)
1 2
x

o

1

x

o

(C)

(D)

题型二.应用导数求函数的单调区间
例2、判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x 解:f ?( x) =3x2+3=3(x2+1)>0 从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上

y

单调递增,见右图。

o

x

f ( x) ? x3 ? 3x

(2) f(x)=x2-2x-3 解:f ?( x) =2x-2=2(x-1)>0 当 f ?( x) >0,即x>1时,函数单调递增; 当 f ?( x)<0,即x<1时,函数单调递减; 图象见右图。

y

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3

o

1

x

(3) f(x)=sinx-x ,x∈(0,π )

解: f ?( x) =cosx-1<0
从而函数f(x)=sinx-x 在x∈(0,?)单调递减,

见右图。

y

o
f ( x) ? sin x ? x

x

(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1
解:f ?( x) =6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0 当

f ?( x)>0,

? 1 ? 17 ? 1 ? 17 或x ? 即 x? 时,函数 2 2 单调递增;

(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1
当 f ?( x)<0,
? 1 ? 17 ? 1 ? 17 ?x? 即 时,函数单 2 2 y 调递减;

图象见右图。

o

x

练习1:确定下列函数的单调区间:

(1)f(x)=x2-2x+4
x<1时,函数单调递减,

x>1时,函数单调递增。 (2) f(x)=3x-x3
x<-1或x>1时,函数单调递减, -1


x < 1时,函数单调递增。

练习2:确定下面函数的单调区间:

1 解: 函数的定义域是R, f ?( x ) ? ? cos x . 2 1 2? 2? ? x ? 2k? ? ( k ? Z ). 令 ? cos x ? 0 ,解得 2k? ? 2 3 3

x f(x)= +sinx; 2

1 2? 4? ? x ? 2k? ? ( k ? Z ). 令 ? cos x ? 0 ,解得 2k? ? 3 3 2

因此,f(x)的递增区间是:

2? 2? ( 2k? ? ,2k? ? )(k ? Z ); 3 3
递减区间是:

2? 4? ( 2k? ? ,2k? ? )(k ? Z ). 3 3

求函数的单调区间的一般步骤:
(1) 求出函数 f(x)的定义域A;

(2) 求出函f(x)数的导数
(3)不等式组

f ?( ; x)

?x? A ? ? f ?( x ) ? 0

的解集为f(x)的单调增区间;
?x? A (4)不等式组 ? ? f ?( x ) ? 0 的解集为f(x)的单调减区间;

题型三.变化率大小对函数图像的影响
例3、水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的 容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。

练习4

如图,直线l和圆c,当l从l0开始在平

面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90o)时,它扫

过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,它的图
象大致是( )。

题型四、求参数的取值范围
3 2

例4.若函数f (x)? ax ? x ? x ? 5在(-?,+?)上单调递增, 求a的取值范围.

1 a? 3

注:在某个区间上, ,f(x)在这个区间上单调 递增(递减);但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而 仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0 也能使 f(x)在这个区间上单调,所以要带上等号.

说明:已知函数的单调性求参数的取值范围: 若函数单调递增,则 f ?( x) ≥ 0 ; 若函数单调递减,则 f ?( x) ≤ 0 . 注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.

1 f x) ? 2ax ? 2 ,x ?(0 ,1],若( f x) 例5.已知函数( x 在x ?(0 ,1]上是增函数,求a的取值范围. 2 解:由已知得 f '(x) ? 2a ? 3 x 因为函数在(0,1]上单调递增

1 ? f '(x)? 0,即a ? ? 3 在x ? (0, 1]上恒成立 x 1
而g(x) ? ? ? g(x)max x ? g(1)=-1.
3

在(0, 1]上单调递增,

? a ? ?1

注:本题用到一个重要的转化:

1.根据导数确定函数的单调性步骤:

(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求出函数的导数. (3)解不等式 f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式 f ′(x)<0,得函数单减区间.

2. 已知函数的单调性求参数的取值范围: 若函数单调递增,则 f ?( x) ≥ 0 ; 若函数单调递减,则 f ?( x) ≤ 0 . 注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.

作业:
1.课本P98 A组1(2)(4)写本上. 2.做优化P76-P79


更多相关文档:

函数的单调性与导数(使用)

函数的单调性与导数一. 学习目标 1.了解函数的单调性与导数的关系; 2.能利用导数研究函数的单调性; 3.会求函数的单调区间。 二.学习过程 复习: 1.确定函数 ...

公开课教案——函数的单调性与导数

2015-2016 学年第 1 学期禹王中学公开课 课题:导数的应用——函数的单调性时间:2015 年 12 月 23 日 节次:第四节课 班级:高二文(1)班 教师:邵磊 教学...

高二数学导数-函数的单调性与导数测试题

选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数练习题 一、选择题 1.设 f(x)=ax3...高二数学(人教B版)选修1... 39页 免费 高二数学 3.3.1《函数的... 14页...

函数的单调性与导数(1)

x 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数的导数与函数的单调性的关系:问题: 我们知道, 曲线 y ? f ( x) 的切线的斜率就是函数 y ? f ( x) 的 ...

《函数的单调性与导数》教学设计

函数的单调性与导数》教学设计一、教学设计思路: 现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变,本节可从单调性与 导数的关系的发现到应用都有意识营造一...

函数单调性与导数教案

3.3.1 函数的单调性与导数【三维目标】 知识与技能:1.探索函数的单调性与导数的关系 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间 过程与方法:1.通过本...

函数单调性与导数练习题含有答案

函数单调性与导数练习题含有答案_数学_高中教育_教育专区。函数单调性与导数练习题一、选择题 1.下列说法正确的是 A.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x...

导数与函数单调性的关系

导数与函数单调性的关系教材中导数的应用之一为判断函数的单调性。 若函数 y ...驾考新题抢先版89份文档 应届生求职季宝典 英文个人简历模板 创意简历模板汇集...

1.3函数的单调性与导数(带答案)

1.3 函数的单调性与导数 1.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是(D) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 2.函数 f(x)=x3-3x2+1...

函数的单调性(导数)

函数的单调性(导数)_数学_高中教育_教育专区。gz函数的单调性【主要知识】 (1)如果非常数函数 y = f ( x) 在某个区间内可导,那么若 f ' ( x) ? 0 ...
更多相关标签:
函数的单调性与导数 | 函数单调性与导数教案 | 函数单调性与导数 | 用导数求函数的单调性 | 函数单调性与导数ppt | 函数单调性与导数视频 | 利用导数求函数单调性 | 导数研究函数单调性 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com