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2.4等比数列1


2.4

等比数列

第1课时 等比数列的概念及通项公式
【课标要求】 1.理解等比数列定义,会用定义判断等比数列. 2.掌握等比数列的通项公式. 【重点、难点】 1.等比数列的判定. 2.等比数列的通项公式及应用.





等 差 数 列
一般地,如果

一个数列从第2项起,





每一项与前一项的

差 等于同一个

常数,那么这个数列叫做等差数列。
公差 通项公式

an-an-1=d
an= a1+(n-1)d

比一比
(1) (2) 1,3,9,27,81, ……

1 1 1 1 , , , , …… 2 4 8 16

以上数列有什么 共同特点? 9
7

(3) 1,5,25,125, …… ( 4)

9,92,93,94,95,96,

共同特点: 从第2项起,每一项
与前一项的比都等于同一常数。

等差数列与等比数列的知识类比:
数列 等 差 数 列 等 比 数 列 一般地,如果一个数列 从第2项起,每一项与前 一项的 比 等于同一个 常数,那么这个数列叫 做等比数列。



一般地,如果一个数 列从第2项起,每一 项与前一项的 差 等 义 于同一个常数,那么 这个数列叫做等差数 列。

数学式

an-an-1=d

an ? q,(q ? 0, n ? 2, n ? N *) an?1

等比数列定义
一般的,如果一个数列从第2项起,每一 项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公 比,公比通常用字母q表示。(q≠0) 其定义式为:

an ? q(n ? 2) an?1



注意: 1. 公比是等比数列从第2项起,每一项与前一
项的比,不能颠倒。

an?1 * ? q(n ? N ) an

2.对于一个给定的等比数列,它的公比 是同一个常数。

判定下列数列是否是等比数列? 若是,说明公比;若不是,说出理由. √ 1、 263 ,262 , …,16,8,4,2,1;

2、 5,-25,125,- 625,…; √
3、 1,2,3,6,12,24,48…; ×

4 、 1,0,1,0,1,0; ×
5、 1,1,1,1,……; √

6、 0,0,0,0,0,…….; ×
7、 31,29,27,25,23,21,19,… ×

思考:
(1) 等比数列中有为0的项吗?

(2) 公比为1的数列是什么数列?
(3) 既是等差数列又是等比数列的数列 存在吗? (4) 常数列都是等比数列吗?

注意:(1)公比q≠0,an≠0(n∈N*);
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列;

等差数列与等比数列的知识类比:
数列 等 差 数 列 等 比 数 列 一般地,如果一个数 列从第2项起,每一项 一般地,如果一个数列 与前一项的 差 等于 从第2项起,每一项与 义 前一项的 比 等于同 同一个常数,那么这 个数列叫做等差数列。 一个常数,那么这个数 列叫做等比数列。 an-an-1=d an= a1+(n-1)d



公差 (比)
通项公 式

an ? q,(q ? 0, n ? 2, n ? N *) an?1

等比数列通项公式的推导
方法一: 递推法
1 a1 ? a1 ? q a2 ? a1 ? q 2 a3 ? a2 ? q ? a1 ? q

定义式 :

an ? q(n ? 2) an?1

等比数列 {an }中,有: a 2 ? a 3 ? a4 ? ? ? an ? q (q不为0) a a a a
0
2 3 n ?1

a4 ? a3 ? q ? a1 ? q

3

由此可知,等比数列的通项公式为

?? ??

a5 ? a4 ? q ? a1 ? q 4

an ? a1 ? q

n ?1

n为正整数

等比数列通项公式的推导
累乘法:

an 定义式 : ? q(n ? 2) an ?1

a3 a2 a4 a n ?1 an ? ? q, ? q, ? q , ? ? q, ? q(n ? 2) a1 a2 a3 an ? 2 a n ?1

a 2 a 3 a4 a n ?1 a n n ?1 ? ? ? ??? ? ?q a1 a 2 a 3 a n ? 2 a n ?1

? an ? a1qn?1

当n ? 1时, a1 ? a1q

1?1

? an ? a1q

n?1

(a1 , q ? 0, n ? N* )

等差数列与等比数列对比记忆表
数列 等 差 数 列 等 比 数 列
一般地,如果一个数 列从第2项起,每一项 一般地,如果一个数列 与前一项的 差 等于 从第2项起,每一项与 义 前一项的 比 等于同 同一个常数,那么这 个数列叫做等差数列。 一个常数,那么这个数 列叫做等比数列。 an-an-1=d an= a1+(n-1)d



公差 (比) 通项公 式

an ? q,(q ? 0, n ? 2, n ? N *) an?1
an=a1qn-1

讲解范例: 例3.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与 18,求它的第1项与第2项
解:设这个等比数列的第1项是

16 ? a1 ? 2 ? ? ?a1q ? 12 ? 3 ?? ? 3 ? ?a1q ? 18 ?q ? 3 ? 2 ?

a1 ,公比是 q

,那么

16 3 a2 ? a1q ? ? ? 8 3 2
16 3
与8

答:这个数列的第1项与第2项分别为

完成课本练习题 P52 练习 1;

变式: 求下列各等比数列的通项公式: (1)a1=-2, a3=-8;

q ? 4 ? q ? ?2
2

an ? ?2 n 或an ? (?2) n
(2) a1=5, 且2an+1=-3an.

3 q?? 2 3 n ?1 an ? 5 ? ( ? ) 2

课堂练习
1.在等比数列中,已知首项为 8 ,末项为 3 ,公比为 2 ,则 3 A 项数n为( ) A.4 B.5 C.6 D.7
9 1

2a1 ? a2 2.设a1,a2,a3,a4 成等比数列,其公比为2 ,则 的 2a3 ? a4 值为( C )

1 1 B. C. 1 D.1 8 2 4 3.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=5/4,求 1 a2的值. q ? ,a1 ? 8, a2 ? 4 2
A.

小 结:
1、等比数列定义:一般的,如果一个数列 从第2项起,每一项与它前一项的比等于同 一个常数,这个数列就叫做等比数列。这 个常数叫做等比数列的公比,公比通常用 字母q表示。(q≠0)

2、等比数列通项公式:

a n ? a1 ? q

n ?1

(a1 , q ? 0)

作业:
1、课本P53页3、4(做在课本上) 2、课本P53页A组1、3(做在作业本上)

3、《金版》P34—35页跟踪训练1、3


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