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函数及其表示知识点及练习题


函数及其表示
(一)知识梳理 1.映射:设 A, B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x ,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应

f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.
如果集合 A 中的元素 x 对应集合 B 中元素 y ,那么集合 A 中

的元素 x 叫集合 B 中元素

y 的原象,集合 B 中元素 y 叫合 A 中的元素 x 的象.
映射概念的理解 (1)映射 f : A ? B 包含三个要素:原像集合 A,像集合 B(或 B 的子集)以及从集合 A 到集 合 B 的对应法则 f .两个集合 A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则 f 可用文 字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: ①方向性:映射是有次序的,一般地从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的; ②任意性:集合 A 中的任意一个元素都有像,但不要求 B 中的每一个元素都有原像; ③唯一性:集合 A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一” 。 (2)一一映射:一般地,设 A,B 是两个集合, f : A ? B 是集合 A 到集合 B 的映射, 如果在这个映射下,对于 A 中的不同元素,在集合 B 中有不同的像,而且 B 中每一个元素都 有原像,那么这个映射叫做 A 到 B 的一一映射。 (3)函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射 f : A ? B 集合 A,B 可为任何集合,其元素可以是 物,人,数等 对于集合 A 中任一元素 a ,在集合 B 中都 有唯一确定的像 对集合 B 中任一元素 b ,在集合 A 中不一 定有原像 2.函数的概念 (1)函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对 A 中的 集合 B 中都有 唯一确定 任意数 x,在 函数 y ? f ( x), x ? A, y ? B 函数的定义域和值域均为非空的数集 对函数的定义域中每一个 x , 值域中都 有唯一确定的值与之对应 对值域中每一个函数值 , 在定义域中都 有确定的自变量的值与之对应

的数 y 和它对应, 则这样的对应关系叫做从 A 到 B 的一个函数,

通常记为___y=f(x),x∈A (2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中, x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合{y|y=f(x),x∈A},叫做函数 y=f(x)的值域。

(3)函数的三要素: 定义域 、 值域 和 对应法则 3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 (1) .图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; (2) .列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。 4.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 (二)考点分析 考点 1:判断两函数是否为同一个函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,称这两个函数相等。 考点 2:求函数解析式 方法总结: (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,则用待定系数法; (2)若已知复合函数 f [ g ( x)] 的解析式,则可用换元法或配凑法; (3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f ( x ) 。

1.2 函数及其表示练习题
一、选择题 1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ⑴ y1 ? ⑵ y1 ? )

( x ? 3)( x ? 5) , y2 ? x ? 5 ; x?3

x ? 1 x ? 1 , y2 ? ( x ? 1)(x ? 1) ;

⑶ f ( x ) ? x , g ( x) ? ⑷ f ( x) ?
3

x2 ;

x 4 ? x3 , F ( x) ? x 3 x ?1 ;

⑸ f1 ( x) ? ( 2x ? 5 ) 2 , f 2 ( x) ? 2 x ? 5 . A. ⑴、⑵ B. ⑵、⑶ C. ⑷ D. ⑶、⑸ )

2. 函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是( A.

1

B.

0

C.

0 或1

D.

1或 2

4 2 * 3. 已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? 4, 7, a , a ? 3a ,且 a ? N , x ? A, y ? B

?

?

使 B 中元素 y ? 3x ? 1 和 A 中的元素 x 对应,则 a , k 的值分别为( A.



2, 3

B.

3, 4

C.

3, 5

D.

2,5

? x ? 2( x ? ?1) ? 4. 已知 f ( x) ? ? x 2 ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( ?2 x( x ? 2) ? 3 3 A. 1 B. 1 或 C. 1 , 或 ? 3 D. 3 2 2



5. 为了得到函数 y ? f (?2 x) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图象适当平移, 这个平移是( )

A. 沿 x 轴向右平移 1 个单位 C. 沿 x 轴向左平移 1 个单位 6. 设 f ( x) ? ? A. 10 B. 二、填空题

1 个单位 2 1 D. 沿 x 轴向左平移 个单位 2
B. 沿 x 轴向右平移 )

? x ? 2, ( x ? 10) 则 f (5) 的值为( ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10)
C.

11

12

D.

13

?1 x ? 1( x ? 0), ? ?2 若f (a) ? a. 则实数 a 的取值范围是 1. 设函数 f ( x) ? ? ?1 ( x ? 0). ? ?x
2. 函数 y ?

.

x?2 的定义域 x2 ? 4

.

3. 若二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A(?2, 0), B(4, 0) ,且函数的最大值为

9,
则这个二次函数的表达式是 4. 函数 y ? .

( x ? 1) 0 x ?x

的定义域是_____________________.

5. 函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1的最小值是_________________. 三、解答题 1. 求函数 f ( x) ?
3

x ?1 的定义域. x ?1

2. 求函数 y ?

x 2 ? x ? 1 的值域.

3.

x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2(m ?1) x ? m ? 1 ? 0 的两个实根,又

y ? x12 ? x22 ,求 y ? f (m) 的解析式及此函数的定义域.

b 的值. 4. 已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 3 ? b(a ? 0) 在 [1,3] 有最大值 5 和最小值 2 , 求a、
2

一、选择题

1.

C 2.

C

参考答案(2) 3. D 4. D

∴ f ( x) ? x2 ? 3, x ? ? 3, 而 ?1 ? x ? 2, ∴ x ? 3 ; 5. D 平移前的“ 1 ? 2 x ? ?2( x ? ) ” ,平移后的“ ?2 x ” ,

1 2

用“ x ”代替了“ x ? 6. B

1 1 1 ” ,即 x ? ? ? x ,左移 2 2 2

f (5) ? f ? f (11)? ? f (9) ? f ? f (15)? ? f (13) ? 11 .
当 a ? 0时, f (a ) ?

二、 1. ? ??, ?1? 当 a ? 0时, f ( a ) ? 2. 3.

1 a ? 1 ? a, a ? ?2 ,这是矛盾的; 2

1 ? a, a ? ?1 ; a

?x | x ? ?2, 且x ? 2?
y ? ?( x ? 2)( x ? 4)

x2 ? 4 ? 0
设 y ? a( x ? 2)( x ? 4) ,对称轴 x ? 1 ,

当 x ? 1 时, ymax ? ?9a ? 9, a ? ?1 4.

? ??,0?
? 5 4

? ?x ?1 ? 0 ,x ?0 ? ? ?x ?x?0
1 5 5 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ? ? . 2 4 4

5.

三、 1. 解:∵ x ? 1 ? 0, x ? 1 ? 0, x ? ?1,∴定义域为 ?x | x ? ?1 ?
2 2 2. 解: ∵ x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?

1 2

3 3 3 3 ? ,∴ y ? ,∴值域为 [ , ??) 4 4 2 2

3.

解: ? ? 4(m ?1) ? 4(m ? 1) ? 0, 得m ? 3或m ? 0 , y ? x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1 x2
2

? 4(m ? 1)2 ? 2(m ? 1) ? 4m2 ? 10m ? 2
∴ f (m) ? 4m ?10m ? 2,(m ? 0或m ? 3) .
2

4.

解:对称轴 x ? 1 , ?1,3? 是 f ( x ) 的递增区间,

f ( x)max ? f (3) ? 5,即3a ? b ? 3 ? 5

?3a ? b ? 2 3 1 f ( x)min ? f (1) ? 2,即? a ? b ? 3 ? 2, ∴ ? 得a ? , b ? . 4 4 ??a ? b ? ?1

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