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湖南省衡阳市常宁三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)


湖南省衡阳市常宁三中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)等比数列{an}中,a2=9,a5=243,{an}的前 4 项和为() A.81 B.120 C.168 D.192 2. (5 分)中心在原点、焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则 此椭圆的方程是() A. + =1 B. + =1

C.

+

=1

D.

+

=1

3. (5 分)下列命题中的假命题是() A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=1 C.?x∈R,x >0
3

D.?x∈R,2 >0

x

4. (5 分)已知椭圆 坐标是() A.(±5,0)

+

=1 (a>b>0)有两个顶点在直线 x

y=4 上,则此椭圆的焦点

B.(0,±5)

C . (±

,0)

D.(0,±



5. (5 分)在下列结论中,正确的结论是() ①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件; ②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件; ③“p∨q”为真是“≦p”为假的必要不充分条件; ④“?p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件. A.①② B.①③ C.②④ 6. (5 分)下列函数中,最小值为 4 的函数是() A. C. y=e +4e
x
﹣x

D.③④

B. D.y=log3x+logx81

7. (5 分)若△ ABC 的三边 a,b,c,它的面积为 A.30° B.45° C.60°

,则角 C 等于() D.90°

8. (5 分)设等比数列{an}的前 n 项为 Sn,若 a2006=2S2005+6,a2007=2S2006+6,则数列{ an }的 公比为 q 为() A.2 B. 3 C. 4 D.5

9. (5 分)函数 A. B.
2 2

,则不等式 xf(x)﹣x≤2 的解集为() C. D.∪

10. (5 分)已知椭圆 x sinα﹣y cosα=1(0≤α<2π)的焦点在 y 轴上,则 α 的取值范围是() A.( π,π) B. ( , π) C. ( ,π) D.( , π)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)不等式 的解集为{x|x<1 或 x>2},则 a 的值为.

12. (5 分)在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列的前 13 项之和为. 13. (5 分)在△ ABC 中,若 AB= ,AC=5,且 cosC= ,则 BC=.

14. (5 分)双曲线与椭圆

+y =1 有相同的焦点 F1、F2,P 在双曲线的右支上,且 PF2⊥F1F2,

2

∠PF1F2=30°,则双曲线的方程是. 15. (5 分)把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表(每行比上一行多一 个数) :设 ai,j(i、j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数, 如 a4,2=8.则 a63,54 为.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)若等差数列{an}中,a1=3,a4=12,{bn﹣an}为等比数列,且数列{bn}满足 b1=4, b4=20. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和.

17. (12 分)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知 cosB= ,b =3,求: (Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ)cos(B﹣C)的值. 18. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=nan﹣2n(n﹣1) . (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)设数列 bn=an﹣n+1,且{ }的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn< .

?

=2,

19. (13 分) 已知椭圆的中心在原点, 焦点为 F1 (0, ﹣ (Ⅰ)求椭圆的方程;

) , F2 (0,

) , 且离心率



(Ⅱ) 直线 (与坐标轴不平行) l 与椭圆交于不同的两点 A、 B, 且线段 AB 中点的横坐标为 求直线 l 倾斜角的取值范围.



20. (13 分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台,每批都购入 x 台(x 是正整数) ,且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入 书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元, 现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x) ; (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.

21. (13 分)已知椭圆

的离心率

,过点 A(0,﹣b)和 B(a,

0)的直线与原点的距离为



(1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E(﹣1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点,问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

湖南省衡阳市常宁三中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)等比数列{an}中,a2=9,a5=243,{an}的前 4 项和为() A.81 B.120 C.168 D.192 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等比数列的性质可知 等于 q ,列出方程即可求出 q 的值,利用
3

即可求出

a1 的值,然后利用等比数列的首项和公比,根据等比数列的前 n 项和的公式即可求出{an}的前 4 项和. 解答: 解:因为 = =q =27,解得 q=3
3

又 a1=

= =3,则等比数列{an}的前 4 项和 S4=

=120

故选 B 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前 n 项和的公式化简求值,是 一道中档题. 2. (5 分)中心在原点、焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则 此椭圆的方程是() A. + =1 B. + =1

C.

+

=1

D.

+

=1

考点: 椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 先根据长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,即可确定椭圆的几何量,从而 可求椭圆的方程. 解答: 解:∵长轴长为 18 ∴2a=18,∴a=9, 由题意,两个焦点恰好将长轴三等分 ∴2c= ×2a= ×18=6, ∴c=3, 2 ∴a =81, 2 2 2 ∴b =a ﹣c =81﹣9=72, 故椭圆方程为

故选 A. 点评: 本题重点考查椭圆的标准方程,解题的关键是利用条件,确定椭圆的几何量,属于 基础题. 3. (5 分)下列命题中的假命题是() A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=1

C.?x∈R,x >0

3

D.?x∈R,2 >0

x

考点: 命题的真假判断与应用. 分析: A、B、C 可通过取特殊值法来判断;D、由指数函数的值域来判断. 解答: 解:A、x=1 成立;B、x=
3

成立;D、由指数函数的值域来判断.对于 C 选项 x=﹣

1 时, (﹣1) =﹣1<0,不正确. 故选 C 点评: 本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域,属容易题.

4. (5 分)已知椭圆 坐标是() A.(±5,0)

+

=1 (a>b>0)有两个顶点在直线 x

y =4 上,则此椭圆的焦点

B.(0,±5)

C . (±

,0)

D.(0,±



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出直线的截距,得到 a,b 然后求出椭圆的焦点坐标即可. 解答: 解:直线 x 所以 c= = y=4 在坐标轴上的截距为:4;3,所以 a=4,b=3; ,

所以椭圆的焦点坐标为: (± ,0) . 故选:C. 点评: 本题考查椭圆的基本性质,直线的截距的求法,考查计算能力. 5. (5 分)在下列结论中,正确的结论是() ①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件; ②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件; ③“p∨q”为真是“≦p”为假的必要不充分条件; ④“≦p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件. A.①② B.①③ C.②④

D.③④

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假. 分析: 先判断命题的正误,可知①③是正确的,②④是假命题,然后再根据?p,必要条 件、充分条件和充要条件的定义进行判断. 解答: 解:①③是正确的,②④是假命题, 其中②中,“p∧q”为假是“p∨q”为真的既不充分也不必要条件,

④“≦p”为真,“p”为假, ∴“≦p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件. 点评: 此题主要考查?p、必要条件、充分条件和充要条件的定义,是一道基础题. 6. (5 分)下列函数中,最小值为 4 的函数是() A. C. y=e + 4e
x
﹣x

B. D.y=log3x+logx81

考点: 基 本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式可得 条件. 解答: 解:∵ e >0,4e >0, ∴
x
﹣x

=4,注意检验不等式使用的前提

x

﹣x

=4,

当且仅当 e =4e ,即 x=ln2 时取得等号, ﹣x x ∴y=e +4e 的最小值为 4, 故选 C. 点评: 本题考查基本不等式求函数的最值, 利用基本不等式求函数最值要注意条件: “一正、 二定、三相等”.

7. (5 分)若△ ABC 的三边 a,b,c,它的面积为 A.30° B.45° C.60°

,则角 C 等于() D.90°

考点: 余弦定理;三角形的面积公式. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理列出关系式,表示出 a +b ﹣c ,利用三角形面积表示出面积,根据题 意列出关系式,求出 tanC 的值,即可确定出 C 的度数. 2 2 2 2 2 2 解答: 解:由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC,即 a +b ﹣c =2abcosC, 由三角形面积公式得:S= absinC, ∴ absinC= >0,即 tanC= ,
2 2 2

则角 C 等于 30°. 故选 A 点评: 此题考查了余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 8. (5 分)设等比数列{an}的前 n 项为 Sn,若 a2006=2S2005+6,a2007=2S2006+6,则数列{ an }的 公比为 q 为() A.2 B. 3 C. 4 D.5

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 把题设等式相减,整理可求得 a2007﹣a2006=2a2006,进而整理求得 解答: 解:a2006=2S2005+6,①a2007=2S2006+6 ② ②﹣① a2007﹣a2006=2(S2006﹣S2005) a2007﹣a2006=2a2006 a2007=3a2006 故 =3 答案可得.

即数列的公比 q=3 故选 B 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.考查了演绎推理和分析问题的能力,基本的计算 能力.

9. (5 分)函数 A. B.

,则不等式 xf(x)﹣x≤2 的解集为() C. D.∪

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 当 x 大于 1 时,f(x)=x,代入确定出不等式,求出解集即可;当 x 小于等于 1 时, f(x)=﹣1,代入确定出不等式,求出解集即可,找出两解集的并集即为原不等式的解集. 解答: 解:当 x>1 时,f(x)=x, 2 2 原不等式化为 x ﹣x≤2,即 x ﹣x﹣2≤0, 分解因式得: (x﹣2) (x+1)≤0, 解得:﹣1≤x≤2, 此时不等式的解集为(1,2]; 当 x≤1 时,f(x)=﹣1, 原不等式化为﹣2x≤2, 解得:x≥﹣1, 此时不等式的解集为, 综上,不等式的解集为. 故选 B 点评: 此题考查了其他不等式的解法,利用了分类讨论的思想,是一道基本题型. 10. (5 分)已知椭圆 x sinα﹣y cosα=1(0≤α<2π)的焦点在 y 轴上,则 α 的取值范围是() A.( π,π) B. ( , π) C. ( ,π) D.( , π)
2 2

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 由已知条件推导出

,由此能求出 α 的取值范围.

解答: 解:椭圆 x sinα﹣y cosα=1(0≤α<2π)化为标准方程, 得 ,

2

2

∵它的焦点在 y 轴上,





∴0<﹣cosα<sinα, ∵0≤α<2π, ∴ .

故选:D. 点评: 本题考查 α 的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意三角函数性质 的灵活运用. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)不等式 的解集为{x|x<1 或 x>2},则 a 的值为 .

考点: 不等式的综合. 专题: 综合题;转化思想;综合法. 分析: 把不等式转化为等价的一元二次不等式(x﹣1)<0,即(a﹣1)x +ax﹣1<0,由一 元二次不等式的解集的端点与相应一元二次方程的根之间的关系,建立方程求参数. 解答: 解:不等式 ∵不等式 ∴1+2= 等价于(x﹣1)<0 即(a﹣1)x +(2﹣a)x﹣1<0
2 2

的解集为{x|x<1 或 x>2}, ,1×2= ,解得 a=

故答案为: . 点评: 本题考点是不等式的综合,综合考查了不等式的解集已知的情况下,不等式解集的 端点与不等式相应方程的根的关系,本题解题关键是将不等式转化为等价的一元二次不等式, 借助一元二次不等式与一元二次方程的知识求参数. 12. (5 分)在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列的前 13 项之和为 26. 考点: 等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 在等差数列中,利用“等差中项”的性质与等差数列的求和公式即可解决. 解答: 解:根据题意得:a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3a10, ∴a4+a10=4,∴此数列的前 13 项之和 .

故答案为:26. 点评: 本题考查等差数列的性质与求和,重点在于等差中项性质的灵活应用,属于基础题. 13. (5 分)在△ ABC 中,若 AB=

,AC=5,且 cosC=

,则 BC=4 或 5.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 直接利用余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC,得到 BC 的方程,求出 BC 的值,即可得到 结论. 2 2 2 解答: 解:由余弦定理:c =a +b ﹣2abcosC a=BC,b=AC,c=AB cosC= ,
2 2 2


2



∴10a +200﹣90a=0, 2 即:a ﹣9a+20=0, (a﹣4) (a﹣5)=0, 解得:a=4,a=5, BC=4 或 5. 故答案为:4 或 5. 点评: 本题是基础题,考查三角形中余弦定理的应用,考查计算能力,本题也可以利用正 弦定理求出角 ,然后求解 BC.

14. (5 分)双曲线与椭圆

+y =1 有相同的焦点 F1、F2,P 在双曲线的右支上,且 PF2⊥F1F2,
2

2

∠PF1F2=30°,则双曲线的方程是 x ﹣

=1.

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由椭圆方程可得双曲线的 c= ,设双曲线方程为: =1.又 PF2⊥F1F2,则

令 x=c,求得 y=
2 2

,即 PF2=

,再由∠PF1F2=30°,则 PF2=tan30°F1F2,即可得到 a,b 的方

程,再由 a +b =3,即可解得 a,b,进而得到双曲线方程. 解答: 解:椭圆 +y =1 的焦点 F1(﹣
2

,0) ,F2( =1.

,0) ,

则双曲线的 c=

,设双曲线方程为:

又 PF2⊥F1F2,则令 x=c,求得 y=

,即 PF2=



再由∠PF1F2=30°,则 PF2=tan30°F1F2, 即有 = ?2c=2,且 a +b =3, . =1.
2 2

即可解得,a=1,b= 则双曲线方程为:x ﹣
2

故答案为:x ﹣

2

=1.

点评: 本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性质,特别是双曲线方程的运用,属于基础题. 15. (5 分)把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表(每行比上一行多一 个数) :设 ai,j(i、j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数, 如 a4,2=8.则 a63,54 为 2007.

考点: 数列的应用.

专题: 规律型. 分析: 由题意可知,a63,54=(1+2+3+…+62)+54= =2007.

解答: 解:由题意可知,第一行有一个数,第二行有两个数,第三地有三个数,…,第 62 行有 62 个数,第 63 行有 63 个数, ∴a63,54=(1+2+3+…+62)+54= =2007.

答案:2007. 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)若等差数列{an}中,a1=3,a4=12,{bn﹣an}为等比数列,且数列{bn}满足 b1=4, b4=20. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (2)利用等差数列与等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,∵a1=3,a4=12,∴12=3+3d,解得 d=3. ∴an=a1+(n﹣1)d=3+3(n﹣1)=3n. ∵{bn﹣an}为等比数列,设公比为 q, 又数列{bn}满足 b1=4,b4=20. ∴ ∴
n﹣1

,即=(4﹣3)q ,解得 q=2. ,

3

∴bn=3n+2 . 2 n﹣1 (2)由(1)可得数列{bn}的前 n 项和=3(1+2+…+n)+1+2+2 +…+2 = +
n

=

+2 ﹣1.

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、前 n 项和公式,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.

17. (12 分)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知 cosB= ,b=3,求: (Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ)cos(B﹣C)的值.

?

=2,

考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则化简 ? =2,将 cosB 的值代入求出 ac=6,
2 2

再利用余弦定理列出关系式,将 b,cosB 以及 ac 的值代入得到 a +c =13,联立即可求出 ac 的 值; (Ⅱ)由 cosB 的值,利用同角三角函数间基本关系求出 sinB 的值,由 c,b,sinB,利用正弦 定理求出 sinC 的值,进而求出 cosC 的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将各 自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ? =2,cosB= ,

∴c?acosB=2,即 ac=6①, ∵b=3, 2 2 2 2 2 ∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB,即 9=a +c ﹣4, 2 2 ∴a +c =13②, 联立①②得:a=3,c=2; (Ⅱ)在△ ABC 中,sinB= 由正弦定理 = = = = , ,

得:sinC= sinB= ×

∵a=b>c,∴C 为锐角, ∴cosC= = = ,

则 cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC= × +

×

=



点评: 此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及同角三角函数间的基本 关系,熟练掌握定理是解本题的关键. 18. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=nan﹣2n(n﹣1) . (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)设数列 bn =an﹣n+1,且{ }的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn< .

考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 综合题;综合法;等差数列与等比数列. 分析: (1)根据公式 an=Sn﹣Sn﹣1, (n≥2) ,化简得:当 n≥2 时,an﹣an﹣1=4,判断出等差 数列,运用等差数列的通项公式求解. (2)运用裂项方法求出 Cn= = ( ﹣ ) ,得出 Tn= (1﹣ )根据关于

n 的单调递增函数,求解出范围即可证明. 解答: 解: (1)∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=nan﹣2n(n﹣1) . ∴当 n≥2 时,Sn=nan﹣2n(n﹣1)①,Sn﹣1=(n﹣1)an﹣1﹣2(n﹣1) (n﹣2)②.

∴①﹣②得:Sn﹣Sn﹣1=nan﹣(n﹣1)an﹣1﹣4n+4, 即当 n≥2 时,an﹣an﹣1=4, ∴数列{an}为等差数列,a1=1,d=4 即 an=4n﹣3, 故数列{an}的通项公式 an=4n﹣3 (2)∵数列 bn=an﹣n+1, ∴bn=4n﹣3﹣n+1=3n﹣2,bn+1=3n+1 ∵设 Cn= ∴数列{ ∵Tn= (1﹣ Tn 当 n=1 时,T1= (1 ∴ ≤Tn 点评: 本题综合考查了数列的概念,性质,函数的单调性的运用,裂项求数列的和等思想 方法. )= , = ( ﹣ ) , +…+ ﹣ )= (1﹣ )

}的前 n 项和为 Tn= (1﹣ )是关于 n 的单调递增函数

19. (13 分) 已知椭圆的中心在原点, 焦点为 F1 (0, ﹣ (Ⅰ)求椭圆的方程;

) , F2 (0,

) , 且离心率



(Ⅱ) 直线 (与坐标轴不平行) l 与椭圆交于不同的两点 A、 B, 且线段 AB 中点的横坐标为 求直线 l 倾斜角的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)设椭圆方程为
2 2 2



,由焦点可得 c,由离心率可得 a,再由

b =a ﹣c 可得 b; (II)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0) ,代入椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程 ,则△ >0①, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由中点坐标公式可得 2× k 的方程②,代入①消掉 m 即可; 解答: 解: (I)设椭圆方程为 , =x1+x2,代入韦达定理可得 m,

由题意得 c=2

,e=

,所以 a=3,

b =a ﹣c =1, 所以椭圆的方程为 ;

2

2

2

(II)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0) ,
2 2 2


2 2

得(k +9)x +2kmx+m ﹣9=0,
2 2 2 2

则△ =4k m ﹣4(k +9) (m ﹣9)>0,即 k ﹣m +9>0①, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 因为线段 AB 中点的横坐标为 化简得 k +9=2km,所以 m=
4 2 2

, ,所以 2×(﹣ )=﹣ ②, 或 k> , , ) . ,

把②代入①整理得 k +6k ﹣27>0,解得 k<﹣ 所以直线 l 倾斜角的取值范围为( , )∪(

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解,考查学生分析解决问题的 能力, ( Ⅱ)中由直线交椭圆于不同两点得不等式△ >0,由中点横坐标得一方程,两者联立 即可求得范围,称为“方程不等式法”,解题中注意应用. 20. (13 分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台,每批都购入 x 台(x 是正整数) ,且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入 书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元, 现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x) ; (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 考点: 函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 分析: (1)不妨设题中比例系数为 k,每批购入 x 台,共需分 总费用 f(x)=运费+保管费;由 x=4,y=52 可得 k,从而得 f(x) ; (2)由(1)知, 何值时,f(x)的最小值. 解答: 解: (1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 台,则共需分 元, 由题意,得: 由 x=4 时,y=52 得: 批,每批价值为 20x ,由基本不等式可求得当 x 为 批,每批价值为 20x 元,

∴ (2)由(1)知, ∴ ,当且仅当 ,即 x=6 时,上式等号成立;

故只需每批购入 6 张书桌,可以使 48 元资金够用. 点评: 本题考查了基本不等式 a+b≥2 (a>0,b>0)的应用,解题时,其关键是根据题 意列出函数 f(x)的解析式.

21. (13 分)已知椭圆

的离心率

,过点 A(0,﹣b)和 B(a,

0)的直线与原点的距离为



(1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E(﹣1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点,问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由. 考点: 圆与圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程. 专题: 综合题.

分析: (1)直线 AB 方程为 bx﹣ay﹣ab=0,依题意可得:

,由此能求出椭

圆的方程. (2)假设存在这样的值. ,得(1+3k )x +12kx+9=0,再由根的判别式和
2 2

根与系数的关系进行求解. 解答: 解: (1)直线 AB 方程为 bx﹣ay﹣ab=0,

依题意可得:



解得:a =3,b=1, ∴椭圆的方程为 (2)假设存在这样的值. , .

2

得(1+3k )x +12kx+9=0, 2 2 ∴△=(12k) ﹣36(1+3k )>0…①, 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,

2

2



而 y1?y2=(kx1+2) (kx2+2)=k x1x2 +2k(x1+x2)+4, 要使以 CD 为直径的圆过点 E(﹣1,0) , 当且仅当 CE⊥DE 时, 则 y1y2+(x1+1) (x2+1)=0, 2 ∴(k +1)x1x2+(2k+1) (x1+x2)+5=0…③ 将②代入③整理得 k= , 经验证 k= 使得①成立综上可知,存在 k= 使得以 CD 为直径的圆过点 E. 点评: 本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合 理地进行等价转化.

2


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