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2013届高考数学压轴题练习27


高考数学压轴题 27
已知函数 f ( x) ? ln 1 ? 2 x ? mx (1) f (x ) 为定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围 (2)当 m ? ?1 时,求函数 f (x ) 的最大值

4 f (a) ? f (b) ? ?2 a ?b (3)当 m ? 1 时,且 1 ? a ? b ? 0 ,证明: 3

1 1 ( x ? ? ) f ?( x) ? ?m 2 ∴ 1 ? 2x 【解析】( 1) f ( x) ? ln 1 ? 2 x ? mx , : x?? 1 1 ? (0,?? ) 2 ,有 1 ? 2 x f ?( x) ? 1 1 ?m?0 x?? 1 ? 2x 2 恒成立 ,对

因为对

∴不存在实数 m 使

2分



f ?( x) ? ?

1 1 ?m?0 m?? 1 ? 2x 1 ? 2x , 恒成立,∴

1 ?0 而 1 ? 2x ,所以 m ? 0
经检验 ,当 m ? 0 时,

f ?( x) ?

1 1 ?m?0 x ? ? 1 ? 2x 2 恒成立。 对
4分

∴当 m ? 0 时, f (x ) 为定义域上的单调增函数

(2)当 m ? ?1 时,由

f ?( x) ?

1 ? 2x ?1 ? ?0 1 ? 2x 1 ? 2x ,得 x ? 0

1 x ? (? ,0) 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (0,?? ) 时, f ?( x) ? 0 当

[来源:学科网]

∴ f (x ) 在 x ? 0 时取得最大值,∴此时函数 f (x ) 的最大值为 f (0) ? 0

7分

(3 )由(2)得, ln 1 ? 2x ? x 对

x??

1 2 恒成立,当且仅当 x ? 0 时取等号

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当 m ? 1 时, f ( x) ? ln 1 ? 2 x ? x ,∵ 1 ? a ? b ? 0 , a ? b ? 0

f (b) ? f (a) ? ln


1 ? 2b 2(b ? a) ? (b ? a) ? ln 1 ? ? (b ? a) 1 ? 2a 1 ? 2a

[来源:学|科|网]

?

b?a (a ? b)(2 ? 2a) ? (b ? a) ? ? 1 ? 2a 1 ? 2a

f (a) ? f (b) 2 ? 2a ? a ?b 1 ? 2a ∴ f (a) ? f (b) 2 ? 2a ? a ?b 1 ? 2a 同理可得
2 ? 2b 1 ? 1? ?2 1 ? 2b 1 ? 2b



2 ? 2a 1 4 ? 1? ? 1 ? a ? b ? 0 , 1 ? 2a 1 ? 2a 3



4 f (a) ? f (b) ? ?2 a ?b ∴3

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

法二:当 m ? 1 时(由待证命题的结构进行猜想,辅助函数,求差得 之) f (x ) 在 ,

1 (? ,?? ) 2 上递增

[来源:Zxxk.Com]

4 1 1 g ( x) ? f ( x) ? x ? ln(1 ? 2 x) ? x 3 2 3 令
g ?( x) ? 1 1 2(1 ? x) ? ? 1 ? 2 x 3 3(1 ? 2 x) 在 ?0,1?上总有 g ?( x) ? 0 ,即 g (x) 在 ?0,1?上递增

当 0 ? b ? a ? 1 时, g (a) ? g (b)

4 4 f (a) ? f (b) 4 f (a) ? a ? f (b) ? b ? ? 3 3 a ?b 3 即 1 h( x) ? f ( x) ? 2 x ? ln(1 ? 2 x) ? x 2 令 由(2)它在 ?0,1? 上递减∴ h(a) ? h(b)
即 f (a) ? 2a ? f (b) ? 2b

f (a) ? f (b) ? 2(a ? b) ∵ a ? b ? 0

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f (a) ? f (b) 4 f (a) ? f (b) ?2 ? ?2 a ?b a ?b ∴ ,综上 3 成立,其中 0 ? b ? a ? 1 。

[来源:Z。xx。k.Com]

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