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2014~2015学年度高二第一学期期末全市统考复习数学


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1. 已知向量 a

1 ? (?1, 2, ) ,下列向量中与 a 平行的向量是 ( 3 5 1 5 A. ( ?1, 2, ? ) B. (5, ?10, ? ) C. ( ?5,10, ? ) 3 3 3
2

) D. (3, ?6,1) )

2. 已知抛物线 C: y =x 与直线 l: y=kx+1.“k≠0”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 4. 2x -5x-3<0 的一个必要不充分条件是 A.-
2

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

1 1 <x<3 B.- <x<0 2 2

C.-3<x<

1 2

D.-1<x<10

6.已知 {e1 , e2 , e3} 是空间的一个基底,下列四组向量中,能作为空间一个基底的是 ( ① e1 ,2e2 , e2 ③ 2e1 ? e2 , e2 A.①②



? e3

② 2e2 , e2

? e1, e2 ? 2e1

? e3 , ?e1 ? 5e3
B.②④

④ e3 , e1 ? e3 , e1 ? e3 C.③④ D.①③ )

2 1 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别在 A1D、AC 上,且 A1E= A1D,AF= AC,则( 3 3 A.EF 至多与 A1D、AC 之一垂直 C.EF 与 BD1 相交 B.EF 是 A1D,AC 的公垂线 D.EF 与 BD1 异面 )

9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长是 1,则直线 DA1 与平面 ACB1 间的距离为(

A.

3 3
:

B.

6 3

C.

2 3

D.

2 4

11. 椭圆 C

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在第一象限,且在椭圆 C 上,点 P 在第一象 9 4

限且在椭圆 C 上,满足 PF 1

? 2PF2 ,则点 P 的坐标为(
B.



A.

?3 5 4 5 ? ? ? ? 5 , 5 ? ? ?

?3 ? ? ,1? ?2 ?

C.

? 6 30 ? ? ? ? 2 , 3 ? ? ?

D. ?

? 3 15 1 ? ? ? 4 , 2? ? ?
若 a, b, c 三向 ? ?4,?2,6?, b ? ?? 1,4,?2?, c ? ?4,5, ? ? ,

13.已知 a

量共面,则 ?

? ________

14.正三棱锥 P ?

ABC 的高为 2,侧棱与地面 ABC 成 450 ,则点 A 到

侧面 PBC 的距离为

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15 已知直线 l 与椭圆 x
2

? 2 y 2 ? 2 交于 P1 , P2 两点,线段 P1 P2 的中

点为 P,设直线 l 的斜率为 k 1 (k1≠0),直线 OP 的斜率为 k 2 ,则 k1 k 2 的值等于 16. 已 知 函 数

?x ? 1? ?a ? 0, a ? 1? y ? l o ag

恒 过 抛 物 线

y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦 点 F AF ?BF ? 0 ,直线 AB 的斜率不存在,则弦 AB 的长为

, 若 A,B 是 抛 物 线 上 的 两 点 , 且

17.(本题满分 10 分)如图,在四棱锥 S

? ABCD ,

AB ? AD, AB // CD ,
CD ? 3 AB ? 3 ,平面 SAD ? 平面 ABCD ,E 是线段

AD 上一点,
AE ? ED ? 3, SE ? AD
(1) 证明:平面 SBE (2) 若 SE

? 平面 SEC

? 1 ,求直线 CE 与平面 SBC

所成角的余弦值。

18.(本题满分 12 分)如图所示,在四棱锥 P ? 边三角形,平面 PAD (Ⅰ)求证:

ABCD 中,四边形 ABCD 为菱形,△ PAD 为等

? 平面 ABCD ,且∠ DAB =60°, AB ? 2 , E 为 AD 的中点.

AD ? PB ; (Ⅱ)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值; (Ⅲ)在棱 PB 上是否存在点 F ,使 EF ∥平面 PDC ?并说明理由.
20.(本题满分 12 分)在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD,底面 ABCD 是直角梯形,AB

∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,若 E 为 PC 的中点,且 BE 与平面 PDC 所成的角的正弦值为

2 5 , 5

(1)求 CD 的长 (2)求证 BC

? 平面 PBD

→ → (3)设 Q 为侧棱 PC 上一点,PQ=λ PC,试确定 λ 的值, 使得二面角 Q-BD-P 的大小为 45°.

21.

已 知 椭 圆

C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

经 过 点

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3 M (1, ) ,且其右焦点与抛物线 C2 : y 2 ? 4x 的焦点 F 重合. 2
(1)求椭圆 C1 的方程;

(2)直线 l 经过点 F 与椭圆 C1 相交于 A、B 两点,与抛物线 C2 相交于 C、D 两点.求

AB CD

的最大值.

22.(本题满分 12 分) 如图,已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1的离心率为 2 2 a b

,以该椭圆上

的点和椭圆的左、 右焦点 F 1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4(

2 ?1) .一等轴双曲线的

顶点是该椭圆的焦点, 设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点, 直线 PF1 和 PF2 与椭圆 的交点分别为

A、B 和 C、D .

(1)求椭圆和双曲线的标准方程; (2)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,证明 k1· k2 (3)是否存在常数 ? ,使得 明理由.

?1;

AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说

一,选择题目:
BABDA DBBAB AD13.5 14.

6 5 5

15. ?

1 2

16. 8

2 ?8

17. 解: (Ⅰ)

? 平面 ABCD ,平面 SAD SE ? 平面 SAD , SE ? AD , ? SE ? 平面 ABCD , ????2 分
平面 SAD

平面

ABCD ? AD ,

BE ? 平面 ABCD, ? SE ? BE.
AB ? AD , AB // CD , CD ? 3 AB =3,
AE=ED=

3,
即 BE

??AEB ? 30 , ?CED ? 60 . 所以 ?BEC ? 90
结合 SE

? CE. ????4 分

CE ? E 得 BE⊥平面 SEC,
????5 分

BE ? 平面 SBE ,
z S

? 平面 SBE⊥平面 SEC.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直线 ES,EB,EC 两两垂直. 如图,以 EB 为 x 轴, 以 EC 为 y 轴,以 ES 为 z 轴,建立空间直角坐标系. 则

E(0,0,0), C(0, 2 3,0), S (0,0,1), B(2,0,0) ,
A
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E B

D

x

C

y

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?CB ? (2, ?2 3,0), CS ? (0, ?2 3,1) .
设平面 SBC 的法向量为

n ? ( x, y, z) ,
n ? ( 3,1, 2 3)

则?

? ?n ? CB ? 0, ? ?n ? CS ? 0,

解得一个法向量

设直线 CE 与平面 SBC 所成角为

?



CE ? (0, ?2 3,0),

则 sin

??

1 1 ? . 所以直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值 . 4 4 n ? CE

n ? CE

18. (Ⅰ)证明:连结 EB,在△AEB 中,AE=1,AB=2,∠ EAB =60°,

? BE 2 ? AE 2 ? AB2 ? 2 AE ? AB ? cos 60? =1+4-2=3.
AE 2 ? BE 2 ? AB 2 ,∴AD⊥EB.∵△ PAD 为等边三角形, E 为 AB 的中点,? AD⊥PE. 又 EB∩PE=E,∴ AD ? 平面 PEB,∴ AD ? PB . (Ⅱ) 平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,
∵ 且 PE⊥AD,∴PE⊥平面 ABCD,∴PE⊥EB. 以点 E 为坐标原点,EA,EB,EP 为 x,y,z 轴的正半轴建立空间直角坐标系,如图.则 A(1,0,0),B(0,

3 ,0),P(0,0, 3 ),

D(-1,0,0), DC

? AB ? (?1, 3,0) . n ? ( x, y, z) ,则

设平面 PCD 的一个法向量为

? ? ? ?n ? DC ? 0 ?( x, y, z )(?1, 3, 0) ? 0 ?? x ? 3 y ? 0 ,即 ? ,∴ ? ? ? ? ? ?n ? DP ? 0 ?( x, y, z )(1, 0, 3) ? 0 ? x ? 3z ? 0
令 z=-1,则 x=

3 ,y=1,故 n ? ( 3,1, ?1) .

平面 PAD 的一个法向量为

EB ? (0, 3,0) ,
? 3 5 .又二面角 A ? PD ? C 为钝角, ? 5 3? 5
5 . 5
(Ⅲ)假设棱 PB 上存在点 F,使 EF ∥平面 PDC ,设

∴ cos? EB, n?

?

EB ? n EB ? n

∴二面角

A ? PD ? C 的余弦值为 ?

F(0,m,n), PF

? ? PB ,则:

(0, m, n ? 3) = ? (0, 3, ? 3) ,∴ m ? 3?, n ? 3 ? 3? ,


EF ? (0, 3?, 3 ? 3?) .∵ EF ∥平面 PDC ,
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∴ EF

? n ,即 (0, 3?, 3 ? 3?) ? ( 3,1, ?1) ? 0 .∴ 3? ? 3 ? 3? ? 0 , ? ?

1 . 2

故当点 F 为 PB 的中点时, EF ∥平面 PDC . 20. 解: (1)因为平面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD,所以 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥AD.如图,以 D 为坐标原点,建立空间直 角坐标系 D-xyz.则 D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0), ,P(0,0,1).

C

t ?0, t,0? ,面 PDC 的法向量为 n ? ?1,0,0? BE ? ? ?1,
2 5 , 5
?2

1? ? 1,? ? 2? ? 2

根据题意且 BE 与平面 PDC 所成的角的正弦值为



2 5 ? 5

1 1 ?t ? 1 ? ? ? 1? ? 4 ?2 ?
2

,t

(2)又由 PD⊥平面 ABCD,可得 PD⊥BC,又 PD∩BD=D,

BC ? BD ? 0, BC ? BP ? 0 所以 BC⊥平面 PBD.
→ → → → 因为DB=(1,1,0),DQ=(0,2λ ,1-λ ),由 n·DB=0,n·DQ=0,得

→ (3)由(2)可知,平面 PBD 的一个法向量为BC=(-

→ → → 1,1,0),PC=(0,2,-1),因为PQ=λ PC,λ ∈(0,1),所以 Q(0,2λ ,1-λ ),设平面 QBD 的一个法向量为 n=(a,b,c),

?a+b=0 ? ?2λ b+ -λ

c=0

2λ , 取 b=1, 所以 n=(-1,1, ), λ -1

→ n·BC 所以 cos45°= = → |n||BC| 2

2 2+ 2λ λ -1
2



2 .注意到 λ ∈(0,1),得 λ = 2-1. 2

21. (1)由抛物线方程,得焦点 F (1, 0) ,? c

3 3 ? 1. ? 2a ? (1 ? 1)2 ? ( )2 ? (1 ? 1)2 ? ( ) 2 ? 4, 2 2
x2 y 2 ? ?1 4 3
( Ⅱ )① 当 直 线 l 垂 直于

? a2 ? 4, b2 ? 3.

故 椭 圆的 方程 为

x

轴 时 ,则

AB 3 3 3 A(1, ), B(1, ? ), C (1, 2), D(1, ?2) , ? ? . 2 2 CD 4

②当直线 l 与

x 轴不垂直,设其斜率为

k (k ? 0)







线

l









y ? k ( x ? 1)



? y ? k ( x ? 1), ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 3 ? 4



(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 显 然 ?1 ? 0 , ? 该 方 程 有 两 个 不 等 的 实 数 根 . 设 A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y2 )

.

8k 2 x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2

,

4(k 2 ? 3) x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2







| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

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? 1? k 2 ? ( 8k 2 2 16(k 2 ? 3) 12(1 ? k 2 ) ) ? ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2


? y ? k ( x ? 1), ? 2 ? y ? 4x



k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 显然 ?2 ? 0 ,? 该方程有两个不等的实数根.设 C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) .
k ? 0, ? x3 ? x4 ? 2 ?
4 k2
, 由抛物线的定义,得

| CD |? x3 ? x4 ? 2 ? 4 ?

4 4(1 ? k 2 ) ? . k2 k2

AB 12(1 ? k 2 ) k2 3k 2 3 3 ? ? ? ? ? ? . 2 2 2 3 CD 3 ? 4k 4(1 ? k ) 3 ? 4k 4? 2 4 k
c 2 ? a 2
,得 a

22. (Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为

? 2c ,又 2a ? 2c ? 4( 2 ? 1 )

,所以可解得 a

?2 2,

c ? 2 ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ,所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ;所以椭圆的焦点坐标为( ?2 ,0) ,因为双 8 4

x2 y 2 ? ?1。 曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为 4 4

2014~2015 学年度高二第一学期期末全市统考复习五

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1.空间直角坐标系中,点 P(1, 2,3) 关于 x 轴对称的点的坐标是( A. (?1, 2,3) 2.已知命题 B. (1, ?2, ?3) C. (?1, ?2,3) ) B. ?p : ?x ? R , 2
x

) D.

(?1, 2, ?3)

p : ?x ? R , 2 x ? 0 ,则(
x

A. ?p : ?x ? R , 2

?0

?0

C. ?p : ?x ? R , 2 ≤ 0
x

D. ?p : ?x ? R , 2 ≤ 0
x

3.在空间中,若 ? 、 ? 表示不同的平面, l 、 m 、 n 表示不同直线,则以下命题中正确的有

①若 l ∥

? , m ∥ ? , l ∥ m ,则 ? ∥ ? ;②若 l ⊥ ? , m ⊥ ? , l ⊥ m ,则 ? ⊥ ?
?
, m ∥ n ,则 ? ∥ ? ;④若 ? ∥ ? , m ? ? , n B. ②③ C. ②④

③若 m ⊥ ? , n ⊥

??
D.

,则 m ∥ n ②③④

A. ①④ 4.设点 标是(

A 在 x 轴上,它到点 P(0, 2,3) 的距离等于到点 Q (0,1, ? 1) 的距离的两倍,那么点 A 的坐
) B.(2,0,0)和(-2,0,0) D.( ?

A.(1,0,0)和( -1,0,0) C.(

1 1 ,0,0)和( ? ,0,0) 2 2
2

2 2 ,0,0)和( ,0,0) 2 2
( ) A.1

5 .圆 x B. 2

? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 上的动点 P 到直线 x ? y ? 0 的最小距离为
C.

2

2

D.

2 2 ?1
的一个法向量为 n2

6.设平面 ? 的一个法向量为 n1 若?

? ?1,2, ?2? ,平面 ?

? ? ?2, ?4, k ? ,

/ / ? ,则 k=
B. 4 C.-2 D.-4

A .2

7.如图,ABCD—A1B1C1D1 是正方体,E1、F1 分别在棱 A1B1、C1D1 上,且 B1E1=D1F1=

A1 B1 4
A.

,则 BE1 与 DF1 所成角的余弦值是

15 17

B.

1 2

C. )

8 17

D.

3 2

8.下列选项叙述错误的是( A.命题“若 x B.若

? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”

p ? q 为真命题,则 p 、 q 均为真命题

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C.若命题 D.“ x

p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0

? 2 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件

9.若椭圆的短轴为

AB ,它的一个焦点为 F1 ,则满足 △ABF1 为等边三角形的椭圆的离心率是
B.

A.

1 4

1 2

C.

2 2

D.

3 2
( )

10.设 a, b 为向量,则“ A.充分不必要条件 C.充分必要条件

a ?b ? a b

”是“ a // b ”的

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

12.已知某几何体的三视图(如图) ,其中俯视图和左视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形,主视图为直角 梯形,则此几何体的体积 V 的大小为( )

A. C.

35 3 40 3

B. 12 D. 16

13. 若直线 x ?

3 y ? 1 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? mx ? 0 相切,则实数

m 的值是________
14.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 、 F2 在 x 轴上,离心率为 的直线 l 交椭圆 C 于

2 2
.

.过点 F1

A 、 B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 PF1 F2 为直角三角形,则△ F , F 16 12 1 2 15.设 分别是椭圆 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,若△
PF1 F2 的面积等于__
__.

16.在三棱锥 S?ABC 中, AB⊥BC , AB ? BC ? A、B、C 都在同一球面上,则该球的表面积是

2,SA ? SC ? 2 ,二面角 S?AC?B 的余弦值是


3 ,若 S、 3

17.(本题 10 分)⑴已知命题错误!未找到引用源。 :方程错误!未找到引用源。无实根,命题错误!未找到 引用源。 :方程错误!未找到引用源。是焦点在错误!未找到引用源。轴上的椭圆.若错误!未找到引用源。 与错误!未找到引用源。同时为假命题,求错误!未找到引用源。的取值范围. ⑵已知命题

p : 2x 2 ? 3x ? 1 ? 0 和命题 q : x 2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ,若 ?p 是 ?q 的必要不

充分条件,求实数 a 的取值范围. 18. ( 本 题 12 分 ) 如 图 , 三 棱 锥

P ? ABC 中 , ?ACB ? 90? ,
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PA ? 底面ABC .
(Ⅰ)求证: 平面PAC (Ⅱ) 若

? 平面PBC ;

AC ? BC ? PA , M 是 PB 的中点, 求 AM 与平面 PBC 所成角的正切值
19. (本题 12 分)曲线 C 上任一点到点 E

?? 4,0? ,

F ?4,0? 的距离的和为 12, 曲线 C 与 x 轴的负半轴、
正半轴依次交于 A、B 两点,点 P 在曲线 C 上,且位于 x 轴上方, PA? PF (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)求点 P 的坐标;

? 0.

(Ⅲ)以曲线 C 的中心为圆心,AB 为直径作圆 O,过点 P 的直 线 l 截圆 O 的弦 MN 长为 3

15 ,求直线 l 的方程.

20. (本题 12 分) 如图所示, 在底面为直角梯形的四棱椎 P—ABCD 中, AD//BC,?ABC= 90 , PA?平面 ABCD, PA= 4, AD= 2, AB=2
0

3 ,BC

= 6. (1)求证:BD?平面 PAC ; (2)求二面角 A—PC—D 的正切值; (3)求点 D 到平面 PBC 的距离. 21.(本题 12 分)已知椭圆 C

:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离 a2 b2

心率为

1 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 x-y+ 6 =0 相切,过点 P(4,0)的直线 L 与椭 2
(2).求 OA ? OB 的取值范围.

圆 C 相交于 A、B 两点.(1).求椭圆 C 的方程; 22. (本题 12 分)如图所示,正方形 点E为

AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直, AB ? 2AD ? 2 ,

(2)求证: D1 E ? A1 D ; AB 的中点.(1)求证: BD1 ∥平面 A1 DE ;

(3)在线段

AB 上是否存在点 M ,使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为
BABDC AC

? ?若存在,求出 AM 的长; 6

若不存在,请说明理由. 1 题—12 题:BCBAD 一、 填空题:

13 题:

2 或?2; 3
16 题:

14 题:

x2 y 2 ? ? 1; 16 8

15 题:6;



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PA ? 底面ABC ,所以 BC ? PA
?ACB ? 90? ,即 BC ? AC

18 题:解:(Ⅰ)因为

又因为

AC ? 平面PAC ? ? 所以 PA ? 平面PAC ? ? BC ? 平面PAC AC I PA ? A ? ?
(Ⅱ)取



BC ? 平面PBC ,所以 平面PAC ? 平面PBC

PC 中点 D ,连 AD ,则 AD ? PC



平面PAC ? 平面PBC ,所以 AD ? 平面PBC ,连结 DM
?AMD 就是 AM
与平面



AM ,
10 分



PBC 所成的角



AC ? BC ? PA ? a ,则 AD ?
AD ? 2 DM

1 1 2 a , DM ? BC ? a , 2 2 2

tan ?AMD ?

19 题:解: (Ⅰ)设 G 是曲线 C 上任一点,依题意,

GE ? GF ? 12 ∴曲线 C 是以 E、F 为焦点的椭圆,且椭圆的
x2 y2 ? ? 1; 36 20

长半轴 a=6,半焦距 c=4,∴短半轴 b= (Ⅱ)由已知

62 ? 42 ? 20 ,∴所求的椭圆方程为

A(?6,0) , F (4,0) ,设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则
2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0 , 解 之 得

? x2 y2 ? ? ?1 AP ? ( x ? 6, y), FP ? ( x ? 4, y), 由 已 知 得 ? 36 20 2 ? ?( x ? 6)( x ? 4) ? y ? 0



x?

3 3 或x ? ?6 ,由于 y ? 0 ,所以只能取 x ? 2 2

,于是

y?

5 3 ,所以点 2

P 的坐标为 ?

?3 5 ? , 3? ; ?2 2 ?

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(Ⅲ) 圆 O 的圆心为 (0, 0) , 半径为 6, 其方程为 x
2

则直线 l 的方程为 x ? ? y 2 ? 36 ,若过 P 的直线 l 与 x 轴垂直,

3 2



这时,圆心到 l 的距离 d

?

3 3 2 2 2 ?3? 15 ? 3 15 ,符合题意; ,∴ AB ? 2 r ? d ? 2 6 ? ? ? ? 2 ? 2 2 ?2?

若过 P 的直线 l 不与 x 轴垂直, 设其斜率为 k, 则直线 l 的方程为

y?

5 3? ? 即 2kx ? 2 y ? 5 3 ? 3k ? 0 , 3 ? k? x ? ? , 2 2? ?

这时,圆心到 l 的距离 d

?

5 3 ? 3k 4k ? 4
2



MN

2

? 4 r2 ? d2

?

?

2 ? ? 5 3 ? 3k ? ? ? ? ? ? ? 4?6 2 ? ? ? ? ? 3 15 2 ? 4k ? 4 ? ? ? ? ? ? ?

?

?,
2

化简得, 10

3k ? 22 ? 0 ,∴ k ?

11 5 3
l

?

11 3 15


,∴直线 l 的方程为 11

3x ? 15 y ? 21 3 ? 0 , 11 3x ? 15 y ? 21 3 ? 0















线







x?

3 2



21 题:解:(1)由题意知 e ?

c 1 ? a 2


,∴ e

2

?

c 2 a 2 ? b2 1 ? ? 4 a2 a2


,即 a

2

?

4 2 b 3
的 方 程 为



b?

6 1?1

? 3



a 2 ? 4, b2 ? 3





y2 x2 ? ?1 4 3

(2)由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为

y ? k ( x ? 4)

? y ? k ( x ? 4) ? 2 (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 y2 ?x ? ? 1 ? 3 ? 4
得: k
2

?

1 4

设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1

? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
9分





y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2

第 11 页 共 11 页

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∴ OA ? OB ∵ 0≤k ∴ OA
2

? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) ?
1 4
,∴ ?

64 k 2 ? 12 32k 2 87 2 ? 4 k ? ? 16k 2 ? 25 ? 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k ? 3
,-------------------------------11 分

?

87 87 87 ≤? 2 ?? 3 4 4k ? 3
∴ OA

13 ? OB ? [?4, ) 4

? OB

的取值范围是 [ ?4,

13 ) .------------------4

12 分

22 题:解: (1)连结

AD1 交 A1 D 于 F ,连结 EF ,因为四边形 AA 1 D1 D 为正方形,所以 F 为 AD1 的中点,又



E 为 AB 的中点,在 ?ABD1 中,有中位线定理有 EF // BD1 ,而 BD1 ? 平面 A1 DE , EF ? 平面

A1 DE ,所以, BD1 // 平面 A1 DE . ( 2 )因为正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直,所以

AD1 ? A1 D , AE ? A1D ,而 AD1 ? AE ? A ,所以 A1D ? 平面 A1 DE ,又 D1E ? 平面 A1 DE ,
所以 D1 E

? A1 D (3)存在满足条件的 AM ? 2 ?

3 3

.

依题意,以 D 为坐标原点, DA 、

因为 AB ? 2 AD ? 2 , 则 D(0,0,0) , C (0,2,0) , DC 、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,

D1 (0,0,1) , A1 (1,0,1) ,所 DD1 ? (0,0,1) , D1C ? (0,2,?1)
MCD 的法向量,设 M (1, a,0)(a 易知 DD 1 为平面


? 0) ,所以 MC ? (?1,2 ? a,0) 平面 D1MC 的法向量

? ?z ? 2 y ?( x, y, z ) ? (?1,2 ? a,0) ? 0 ?n ? D1C ? 0 ,即 ? ,所以 ? ,取 n ? ( x, y, z) , 所 以 ? x ? (2 ? a) y ( x, y, z ) ? (0,2,?1) ? 0 ? ? ? n ? MC ? 0 ? ? y ? 1 , 则 n ? (2 ? a,1,2) , 又 二 面 角 D1 ? MC ? D 的 大 小 为 , 所 以 , 6

cos

?
6

?

| DD1 ? n | | DD1 | ? | n |

?

| (0,01) ? (2 ? a,1,2) | 12 ? (2 ? a) 2 ? 1 ? 2 2

解得 a

? 2?

3 . 3

故在线段

AB 上是存在点 M ,使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为

3 ? ,且 AM ? 2 ? 3 6

.

12 分.

2014~2015 学年度高二第一学期期末全市统考复习六
1.设抛物线 A.4 2. 已知命题

y 2 ? 8 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是(
B.6 C.8 D.12 )

)

p 、 q ,“非 p 为真命题”是“ p 或 q 是假命题”的(

A. 充分而不必要条件

B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

第 12 页 共 12 页

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3.已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为 2 的正 三角形,俯视图是直径为 2 的圆,则此几何体的外接球的

2
表面积为 A. 正(主)视图

2
侧(左)视 图

4 ? 3

B.

8 ? 3

C.

16 ? 3

D.

32 ? 3

4. 已知点 O 是以角 B 为直角顶点的 ?ABC 的外心,且 |

AB |? 2 ,
6
D.

俯 视

| AC |? 4 ,则 AO ? BC ? A. 2

B.

4

C.

2 3



5. 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,若 E 是 A.

AD 的中点,则异面直线 A1 B 与 C1E 所成角的大小是

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

6.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点分别 F1 , F2 ,O 为双曲线的中心,P 是双曲线右支上的 ?PF 1 F2 a 2 b2

的内切圆的圆心为 I ,且⊙I 与 x 轴相切于点 A,过 F2 作直线 PI 的垂线,垂足为 B ,若 e 为双曲线 的率心率,则 A. | OB |? e | OA | B. | OA |? e | OB | 7.设定点 F 1 迹是( C. | OB |?| OA | D. | OB |,| OA | 关系不确定

? 0, ?3? , F2 ? 0,3? ,动点 P ? x, y ? 满足条件 PF1
).A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在

? PF2 ? a ?a > 0 ? ,则动点 P 的轨
D.椭圆或线段或不存在

x2 y2 ? ?1 F F 9 8..已知椭圆 16 的左、右焦点分别是 1 、 2 ,点 P 在椭圆上.
角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( )

若 P、

F1 、 F2 是一个直角三

A.

9 5

B.

9 7 7

C.

9 4

D.

9 4

9 7 或 7
B 1E =
1 4

9.如图, 在空间直角坐标系中, 正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1,

A1B1,则BE等于(
1 A.?0, ,-1? ? 4 ? 1 C.?0,- ,1? 4 ? ?



). 1 B.?- ,0,1? 4 ? ? 1 D.? ,0,-1? ?4 ?

10.如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,四边形 ABCD 是正方形,四边形 ABEF 1 是矩形,且 AF= AD=a, G 是 EF 的中点,则 GB 与平面 AGC 所成角的正 2

第 13 页 共 13 页

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弦值为 A. 6 6
2

B.

3 3

C.

6 3

D.

2 3

x2 y 2 11.抛物线 y ? ?12 x 的准线与双曲线 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形的面积等于( 9 3
A. 3

)

3

B. 2

3

C.

2

D.

3
F2 内切圆

12.已知 F1,F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 P 是椭圆上的点,I 是△F P a2 b2
1

的圆心,直线 PI 交 x 轴于点 M,则∣PI∣:∣IM∣的值为 A.

( D.



c a
2

B.

a c

C.

a b

b a

13.过抛物线 x

? 2 py ? p ? 0? 的焦点 F 作倾斜角为 30°的直线,与抛物线分别交于 A、B 两点(点 A 在
AF FB


y 轴左侧),则

14. 椭圆中有如下结论:椭圆

x y y2 ? 2 ? 0 上,类比 上斜率为 1 的弦的中点在直线 ? ? 1( a ? b ? 0) 2 a b a 2 b2

x2

上述结论得到正确的结论为:双曲线

y2 ? ? 1(a, b ? 0) 上斜率为 1 的弦的中点在直线 a 2 b2

x2



15. 若中心在原点 , 以坐标轴为对称轴的圆锥曲线 C , 离心率为 ________.

2 , 且过点 (2,3) , 则曲线 C 的方程为

16. 如图,直三棱柱 ABC?A1B1C1 中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D 为 BB1 的中点,则异面直线 C1D 与 A1C 所成角的余弦值为__________.
2 Q: ? ax ? 1 ? 0 恒成立; 关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根.如果 P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

17.给定两个命题, 对任意实数 x 都有 ax P:

2

18.已知三棱锥 P ?

ABC 中, PA ? 面 ABC , AB ? AC ,


S

PA ? AC ?

1 AB , N 2

AB 上一点, AB ? 4 AN , M , S
? SN ;
C

N

分别为 PB, BC 的中点.(Ⅰ)证明: CM (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

B M

19.在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点 都在圆 C 上.(1)求圆 C 的方程;

A

(2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥ OB,求 a 的值. 第 14 页 共 14 页

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20.(12 分) 在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC, SA ? SC

?2 3 ,M 、

N 分别为 AB 、 SB 的中点.
(1)求二面角 N

? CM ? B 的余弦值;

(2)求点 B 到平面 CMN 的距离. 21.设 M、N 为抛物线 C:y=x2 上的两个动点,过 M、N 分别作抛物线 C 的切线 l1、 l2,与 x 轴分别交于 A、B 两点,且 l1 与 l2 相交于点 P,若|AB|=1. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)求证:△MNP 的面积为一个定值,并求出这个定值. 22.已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

,以原点为

圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? (Ⅰ )求椭圆 C 的方程;

y ? 2 ? 0 相切.

(Ⅱ )若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点

A, B ,设 P 为椭圆

上一点,且满足 OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原点) ,当

| PA ? PB |?
BBCCD

2 5 3

时,求实数 t 取值范围.

CDCCC

AB

13..

1 3

14.

x a
2

?

y b
2

?0

15. x ? y ? 5 16.
2 2

15 15

17.解:所以实数

1 ? a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ? ? ,4 ? . ?4 ?

18.证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系如图。 则 P(0,0,1) ,C(0,1,0) ,B(2,0,0) ,M(1,0,

1 2

) ,N(

1 2

,0,0) ,S(1,

1 2

,0).

(Ⅰ) CM

所以

1 1 1 1 1 ? (1, ?1, ), SN ? (? , ? , 0) ,因为 CM ? SN ? ? ? ? 0 ? 0 , 2 2 2 2 2 1 , 1 , 0, ) CM ⊥ SN ( Ⅱ ) NC ? ( ? 设 a= ( x , y , z ) 为 平 面 CMN 的 一 个 法 向 量 , 则 2

1 ? x ? y ? z ? 0, ? ? 2 令x ? 2,得a=(2,1,-2). ? 1 ?? x ? y ? 0. ? ? 2
所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45°。

1 2 ? 2 因为 cos a, SN ? 2 2 3? 2 ?1 ?

19.【解析】(1)曲线 y=x2 -6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 2,0) , (3-2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2,[来源:学解得 t=1.则圆 C 的半径为 32+t- 2=3. 所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:

x ? y ? a ? 0, ? 消去 y,得到方程 2x2+ (2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判别式 Δ=56-16a-4a2>0. ? 2 2 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9. ?

第 15 页 共 15 页

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从而 x1+x2=4-a,x1x2=
2

a2-2a+1 . 2 ②

① 由于 OA⊥ OB,可得 x1x2+y1y2=0.又 y1=x1+a,y2=x2+a, 由① ,② 得 a=-1,满足 Δ>0,故 a=-1.

所以 2x1x2+a(x1+x2)+a =0. 20.【答案】⑴取 ∴

AC 中点 O ,连结 OS ? OB .∵ SA ? SC , AB ? BC ,
,

AC ? SO

AC ? BO

.∵ 平 面

SAC ?

平面

ABC

,平面

SAC

平面

ABC ? AC

,∴

SO ?

平面

ABC ,∴ SO ? BO .

如图所示建立空间直角坐标系 O ?

xyz ,则 A(2,0,0) , B (0, 2 3,0) ,
S
z

C (?2,0,0) , S (0,0, 2 2 ) ,∴ M (1, 3,0) , N (0, 3, 2 ) ,
∴ CM

? (3, 3,0) , MN ? (?1,0, 2 ) .
x
的一个法向量,

O
A

C
M

N
B y

设n

? ( x, y, z ) 为平面 CMN
则 ?CM

? ? n ? 3 x ? 3 y ? 0 ,取 z ? ? ? MN ? n ? ? x ? 2 z ? 0

? 1 , x ? 2 , y ? ? 6 ,∴ n ? ( 2 , ? 6 ,1) .

又 OS

? (0,0, 2 2 ) 为
n ? OS | n | ? | OS |

平面

ABC 的一个法向量, ? CM ? B 的余弦值为

∴ cos ? n, OS

??

?

1

,即

3

二面角 N

1 . 3


(2) 由⑴得

MB ? (?1, 3,0) , 又 n ? ( 2 , ? 6 ,1) 为平面 CMN

一个法向量, | n |? 3 ,

∴点
2 2

B 到平面 CMN

的距离 d

?

| n ? MB | |n|

?
2

|? 2 ?3 2 | 3
2

?

4 2 3

m n 21. (1)解:设 M(m,m ),N(n,n ),则依题意知,切线 l1,l2 的方程分别为 y=2mx-m ,y=2nx-n ,则 A( ,0),B( , 2 2 m+n 2 ?y=2mx-m , ?x= 2 , 0).设 P(x,y),由? 得 ? ?y=2nx-n2, ?y=mn.

①因为|AB|=1,所以|n-m|=2,

即(m+n)2-4mn=4,将①代入上式,得 y=x2-1.∴点 P 的轨迹方程为 y=x2-1.

?y=kx+b, (2)证明: 设直线 MN 的方程为 y=kx+b(b>0). 联立方程? 消 ?y=x2,
去 y,得 x2-kx-b=0.所以 m+n=k,mn=-b.② m+n |k? ?-mn+b| 2 点 P 到直线 MN 的距离 d= ,|MN|= 1+k2|m-n|,∴S 1+k2
△ MNP

1 = d· |MN| 2

1 m+n 1 = |k( )-mn+b|· |m-n|= ·(m-n)2· |m-n|=2.即△MNP 的面积为定 2 2 4 值 2.

21. 解;故椭圆

C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. (Ⅱ) 由题意知直线 AB 的斜率存在.设 AB :y ? k ( x ? 2) ,A( x1 , y1 ) , 2
第 16 页 共 16 页

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? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 . B( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,由 ? x 2 2 ? ? y ? 1. ?2

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ?

8k 2 1 . x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 2

, x1

x2 ?

8k 2 ? 2 . 1 ? 2k 2




OA ? OB ? t OP





( x1 ? x2 , y ? 1

y )2?

x ?x 8k 2 ( t , , xx ? )y 1 2 ? t t (1 ? 2k 2 )


y?

y1 ? y2 1 ?4k ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? t t t (1 ? 2k 2 )

.



P













(8k 2 )2 (?4k )2 ? 2 ?2 t 2 (1 ? 2k 2 )2 t 2 (1 ? 2k 2 )2
1 ? k 2 x1 ? x2 ?
∴ (1 ? k
2





∵ | PA 1 k 62 ? t 2 ?( 1 k 22 ) ? PB |?

2 5 3





20 2 5 2 2 ,∴ (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? 9 3

)[

64k 4 8k 2 ? 2 20 1 2 2 2 ,∴ (4k ? 1)(14k ? 13) ? 0 ,∴ k ? . ? 4 ]? 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 9 4




1 1 16k 2 8 ? k 2 ? ,∵ 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) ,∴ t 2 ? ? 8? 2 4 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
∴ ?2

?t ??

2 6 3



2 6 2 6 2 6 ? t ? 2 ,∴实数 t 取值范围为 (?2,? )?( ,2) 3 3 3

2014~2015 学年度高二第一学期期末全市统考复习七
1、已知两条直线 A. 2

y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于
B. 1 C. 0 D.





?1

2、已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足 A. ? B.8 ? C.4 ?

PA ? 2 PB 则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于
D.9 ?

3、已知 ? 、 ? 是不重合的平面, a 、 b 、 c 是不重合的直线,给出下列命题:



a ??? a ? b? a // ? ? ? ? ? ? ? ;② ? ? a // c ;③ ??b ?? 。 a ? ?? c ? b? b ? a?
) B.2 C.1 ) D.0

其中正确命题的个数是( A.3

4、一空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为(

2 2 2
正视图

2

第 17 页 共 17 页

2
左视图

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2 3 3 3 C. ? ? 3
A. ?

?

2 3 3 3 D. 2? ? 3
B. 2?

?

5、下列说法中正确的是 A.若 p ? q 为真命题,则 B.命题“ ?x0 ? R, 2 C.“ a
x0

p, q 均为真命题.

? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 2x ? 0 ”.

? 5 ”是“ ?x ?[1, 2], x2 ? a ? 0 恒成立“的充要条件. ? b ”是“ sin A ? sin B ”的必要不充分条件.

D.在△ ABC 中,“ a

x2 y 2 0 6、已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的 a b
右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A. (1, 2] 7、已知球的直径 B. (1, 2) C. [2, ??) 、 ) D. (2, ??)

PQ ? 4 , A 、 B

C

是该球球面上的三点,

?ABC

是正三角形,

?APQ ? ?BPQ ? ?CPQ ? 30? ,则棱锥 P ? ABC 的体积为
A.

3 3 4

B.

9 3 4
2

C.

3 3 2

D.

27 3 4

8、过 (2, 2) 点且与曲线 x

? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 相交所得弦长为 2 3 的直线方程为
B. 3x ? 4 y ? 2 ? 0 或 x

A. 3x ? 4 y ? 2 ? 0 C. 3x ? 4 y ? 2 ? 0 或 9、经过点 M (2,?1) 作圆 x A.
2

?2

y?2

D. x

? 2或 y ? 2
( D. 2 x ? )

? y 2 ? 5 的切线,则切线的方程为
C. 2 x ?

2x ? y ? 5

B.

2x ? y ? 5 ? 0

y ?5 ? 0

y ?5 ? 0

10、已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF 1 ? MF 2 值范围是 A. (0,1) B. (0,

? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取
( )

1 2 2 ] ,1) ) C. (0, D. [ 2 2 2 2 2 11、已知圆 C : ( x ? a) ? ( y ? 2) ? 4(a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,当直线 l 被 C 截得的弦
长为 2 A

3 时,则 a ?

( B

) D

2

2? 2

C

2 ?1

2 ?1

12、曲线 y=1+ 4-x2(|x|≤2)与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点时,实数 k 的取值范围是( ) 5 3 5 1 3 5 A. 12,4 B. 12,+∞ C. 3,4 D . 0,12

(

]

(

)

( )

(

)

第 18 页 共 18 页

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13、如图,平面 ABCD

? 平面 ABEF ,四边形 ABCD 是正方形,四边形 1 ABEF 是矩形,且 AF ? AD ? a , G 是 EF 的中点,则 GB 与平面 2 AGC 所成角的正弦值为___________。

14、下列四个命题: ①命题“若 a ②若命题

? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” ;

p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ;

③若命题“ ?p ”与命题“ ④命题 “若 0 ? 题.其中真命题为 15、椭圆

p 或 q ”都是真命题,则命题 q 一定是真命题;

1 a ? 1, 则 log a (a ? 1) ? log a (1 ? ) ”是真命 a

1 x2 y2 + =1 的离心率 e = , 则 k 的值是 k ?8 9 2

16、已知点 p(x, y)在椭圆 最大值为

x2 ? y 2 ? 1上,则 x2 ? 2 x ? y 2 的 4

17、已知命题 p:方程 a2x2+ax-2=0 在[-1,1]上有解;命题 q: 只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围. 18、 如图,三棱锥 (1)求证: CD (2)若

A ? BCD 中, AB ? 平面 BCD, CD ? BD .

? 平面 ABD ;

AB ? BD ? CD ? 1 , M 为 AD 中点,求三棱锥 A ? MBC 的体积.
, C 上每一点到点 F ((1,0) 的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1。 (1) y 轴右侧 ...

19、已知一条曲线 C 在

求曲线 C 的方程; (2)设直线 l 交曲线 C 于 式方程

A, B 两点,线段 AB 的中点为 D(2, ?1) ,求直线 l 的一般

? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA ? 底面 ABCD , AB 垂直于 AD 和 BC , SA ? AB ? BC ? 2 , AD ? 1 , M 是棱 SB 的中点. (Ⅰ )求证: AM // 面 SCD ; (Ⅱ )求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值.
20、如图,在四棱锥 S

21 、已知以 点

A(?1, 2) 为圆心 的圆 与 直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切, 过点
的中

B(?2, 0) 的动直线 l 与圆 A 交于 M 、N 两点, Q 是 MN
点,直线 l 与 l1 相交于点 P .

y
Q

l

P
x

第 19 页 共 19 页

A1

O

F

A2

D
n

加油!为期末考试全力以赴!等待你成功的那一刻!
①求圆 A 的方程, ②当 MN

? 2 19 时求直线 l 的方程,

③ BQ ? BP 是否为定值,如是,求出定值,如不是,说明理由.

22、如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 2 a b 2
C
的右焦点。点



A1 , A2 分别是椭圆 C 的左、右两
A2
右侧的一点,且满足

个顶点,点

F

是椭圆

D



x

轴上位于

1 1 2 ? ? ?2。 A1D A2 D FD
(1)求椭圆 C 的方程以及点 D 的坐标; (2)过点 D 作 x 轴的垂线 n ,再作直线 l :

y ? kx ? m

与椭圆 C 有且仅有一个公共点 P ,直线 l 交直线 n 于点 Q 求证:以线段 PQ 为直径的圆恒过定点,并求 出定点的坐标。

DCCBC

CBCCC

CA

13.

6 14 . 3

②③

15、 4 或-

5 ; 4

16、8

2 1 2 1 17、由 a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,显然 a≠0,∴x=- 或 x= ,∵x∈[-1,1],故| |≤1 或| |≤1,∴|a|≥1. a a a a 只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0.即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0 或 a=2.又命题“p 或 q”是假命题,故 a 的取值范围为-1<a<0 或 0<a<1.

S ?ABM ?
18、∴

1 1 S ?ABD ? 2 4 .由(1)知, CD ? 平面 ABD,

1 1 VA? MBC ? VC ? ABM ? S?ABM ? h ? 3 12 ∴三棱锥 C-ABM 的高 h ? CD ? 1 ,因此三棱锥 A ? MBC 的体积
.19、解: (1)设 P ( x,

y ) 是曲线 C 上任意一点,那么点 P ( x, y ) 满足:

( x ? 1) 2 ? y 2 ? x ? 1( x ? 0) ,化简得 y 2 ? 4x( x ? 0) 。 (或由定义法)

? y12 ? 4 x1 ① (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? , 2 ? y2 ? 4 x2 ② ①? ② 得: ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ,由于易知 l 的斜率 k 存在,
故 ( y1

? y2 )

y1 ? y2 ? 4 ,即 ?2k ? 4 ,所以 k ? ?2 ,故 l 的一般式方程为 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 x1 ? x2
A(0,0,0) , B(0,2,0) , C (2,2,0) , D(1,0,0) ,

20、解: (Ⅰ )以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则

S (0,0,2) , M (0,1,1) .则 AM ? ? 0,1,1? , SD ? ?1, 0, ?2 ? , CD ? ? ?1, ?2, 0 ? .

第 20 页 共 20 页

加油!为期末考试全力以赴!等待你成功的那一刻!
设平面 SCD 的法向量是 n

? ?SD ? n ? 0, ? x ? 2 z ? 0, 即? ? ? x, y, z ? , 则? ? ? ?? x ? 2 y ? 0. CD ? n ? 0 , ?



z ? 1 ,则 x ? 2, y ? ?1 ,于是 n ? (2,?1,1) .? AM ? n ? 0 ,? AM ? n .
AM∥ 平面 SCD. (Ⅱ )易知平面 SAB 的法向量为 n1

?

? ?1, 0, 0 ? .设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 ? ,
? 2 1? 6 ? 6 3



cos? ?

n1 ? n n1 ? n

?

?1, 0, 0 ? ? ? 2, ?1,1?
1? 6

,即 cos

??

6 3



21、解:①设圆 A 的半径为 程为 ( x ? 1)
2

R ,由于圆 A 与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切,
①当直线 l 与 x 轴垂直时, 易知 x ? ?2 符合题意

圆 A 的方

? ( y ? 2)2 ? 20 ②

②当直线 l 与

x 轴不垂直时,

设直线 l 的方程为

y ? k ( x ? 2) ,即

kx ? y ? 2k ? 0 ,连结 AQ ,则 AQ ? MN ∵ MN ? 2 19 ,


AQ ? 20 ?19 ? 1 ,
: 3x ? 4 y ? 6 ? 0 .

则由

AQ ?

k ?2 k 2 ?1

? 1 ,得 k ?

3 , ∴直 4

线l

故直线 l 的方程为

x ? ?2 或

3x ? 4 y ? 6 ? 0 ???????8 分
(III)∵

AQ ? BP ,∴ BQ ? BP ? (BA ? AQ) ? BP ? BA ? BP ? AQ ? BP ? BA ? BP 当 l 与 x 轴垂直
5 5 ) ,则 BP ? (0, ? ) ,又 BA ? (1, 2) ,∴ BQ ? BP ? BA ? BP ? ?5 ②当 l 的斜率存在 2 2

时,易得 P ( ?2, ?

时,设直线 l 的方程为

y ? k ( x ? 2) ,

则由 ?

? y ? k ( x ? 2) 4k ? 7 5k 5 5k ,? ) ,则 BP ? (? ,? ) ,得 P ( ? 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k ?x ? 2 y ? 7 ? 0
? BA ? BP ? ?5 ?10k ? ? ?5 综上所述, BQ ? BP 是定值,且 BQ ? BP ? ?5 . 1 ? 2k 1 ? 2k

∴ BQ ? BP

20. (本小题满分 12 分)解: (1)

A1 (?a,0), A2 (a,0), F (c,0) ,设 D ( x , 0) ,由
第 21 页 共 21 页

1 1 ? ?2有 A1D A2 D

加油!为期末考试全力以赴!等待你成功的那一刻!
1 1 1 1 ? ? 2 ,又 FD ? 1 ,? x ? c ? 1,? x ? c ? 1 ,于是 ? ?2 x?a x?a c ?1? a c ?1? a

? c ? 1 ? (c ? 1 ? a)(c ? 1 ? a)

c 2 ? ? a ? 2c ,?c ? 1 ? (c ? 1 ? 2c)(c ? 1 ? 2c) a 2
x2 ? y 2 ? 1 ,且 D (2, 0) 。 2

? c 2 ? c ? 0 ,又 c ? 0 ,?c ? 1,?a ? 2, b ? 1 ,椭圆 C :

(2)

? y ? kx ? m x2 ? Q(2, 2k ? m) ,设 P( x0 , y0 ) ,由 ? x 2 ? ? (kx ? m)2 ? 1 2 2 ? ? y ?1 ?2

? x2 ? 2(kx ? m)2 ? 2 ? (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,
由于 ? , ? 16k 2m2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m2 ? 2) ? 0 ? 2k 2 ? m2 ? 1 ? 0 ? m2 ? 2k 2 ? 1 (*)

而由韦达定理: 2 x0

?

?4km ?2km 由(*)?2km 2k ? x ? ? ?? 0 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 m m



2k 1 2k 2 1 ? y0 ? kx0 ? m ? ? ? m ? ,? P (? , ) , m m m m
设以线段 PQ 为直径的圆上任意一点 M ( x,

y) ,由 MP ? MQ ? 0 有

(x ?

2k 1 2k 1 2k )( x ? 2) ? ( y ? )( y ? (2k ? m)) ? 0 ? x 2 ? y 2 ? ( ? 2) x ? (2k ? m ? ) y ? (1 ? ) ? 0 m m m m m

由对称性知定点在

x 轴上,令 y ? 0 ,取 x ? 1 时满足上式,故过定点 K (1,0) 。
2014~2015 学年度高二第一学期期末全市统考复习八

1.k 为何值时,直线 y=kx+2 和椭圆 2x A.—

2

? 3 y 2 ? 6 有两个交点
?k?



) D.k ?

6 <k< 6 B.k> 6 或 k< — 6 C.— 6 3 3 3 3 3

6 3

6 或 k? — 6 3 3

2 2 2 2 2.若椭圆 x ? y ? 1(m>n>0)和双曲线 x ? y ? 1 (a>b>0)有相同的焦点 F1,F2,P 是两条曲 m n a b

线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值是 A. m-a B. 1 ( m ? a )

( C. m -a
2 2



2

D.

m? a

2 2 3.已知 F1、F2 是双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,M 为双曲线上的点,若 2 2 a b

MF1⊥MF2,∠MF2F1 = 60°,则双曲线的离心率为 A.





3 ?1

B.

6 2

C.

3 ? 1 D.

3 ?1 2

4.长方体 ABCD—A B C D , AB ? 2 , AD ? 2 , AA1 1 1 1 1

? 6 ,则点 D 到平面 ACD1 的距离是(



第 22 页 共 22 页

加油!为期末考试全力以赴!等待你成功的那一刻!
A. 1

2
2

B.

3 2

C.

6 2

D.2

5. 从圆 x A. 4 3

则两切线夹角的正切值为( ? 2 x ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ? 3, 2 ? 向这个圆作两条切线, B. 3 C.

)

5

3 2

D. 0

7.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为 A. 4

3

B. 8

3

C. 12

3

D. 24

3

9 .对于平面 ? 和两条不同的直线 m 、n , 下列命题是真命题的是 ( (A)若 )

m, n 与 ?所 成 的 角 相 等 , 则 m// n

(B)若

m // ? ,n // ? ,则 m// n
(C)若 m ,则 n//? ? ,m ? n 10 . 已 知 球 的 直 径

?

(D)若 m ,则 m// n ? ? ,n ? ? 、

PQ ? 4 , A 、 B

C

是该球球面上的三点,

?ABC

是正三角形,

?APQ ? ?BPQ ? ?CPQ ? 30? ,则棱锥 P ? ABC 的体积为
A.

3 3 4

B.

9 3 4

C.

3 3 2

D.

27 3 4

11. 设 e 1 、 e 2 分别为具有公共焦点 F 1 、 F 2 的椭圆和双曲线的离心率, P 是两曲线的一个公共点,且

满足

P F P F F F 1? 2? 1 2 ,则
2 2
2

e1 e 2 e 12 ? e 22

的值为

A.

B.2

C.

2

D.1

12.已知P是抛物线 x 之和的最小值是( A.1 B.2

? 4 y 上的一个动点,则点P到直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 和 l2 : y ? 2 ? 0 的距离
) C.3 ,侧棱长为 D.4 的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,则此球的体积

13 .若一个底面边长为 为 14.圆 x
2

.

? y2 ? 2x ? 4y ? 3 ? 0 上到直线 4x-3y=2 的距离为

的点数共有__________ 个。

第 23 页 共 23 页

加油!为期末考试全力以赴!等待你成功的那一刻!
2 2 15 .设双曲线 x ? y ? 1(0 ? a ? b) 的半焦距 为 c ,直线 l 过 2 2 a b

(a,0), (0, b) 两点,已知原点到直线 l 的距离为
为 。

3 ,则此双曲线的离心率 c 4

17.已知 p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0(a>0),若 p 是 q 的充分 不必要条件,求实数 a 的取值范围. 18. 如 图 , 在 三 棱 锥

V ? ABC

中,

VC ?

底面

ABC

,

AC ? BC , D 为 AB 的中点, AC ? BC ? VC ? a .
(1)求证:

AB ? 平面 VCD ;(2)求点 C 到平面 VAB 的距离。

19.已知圆 M 过两点 C(1,-1) 、D(-1,1)且圆心 M 在直线 x+y-2=0 上。 (1) 、求圆 M 的方程 (2) 、设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 M 的两条切线,A、B 为切点,求四边形 PAMB 的面积的最小值。 20.如图, 在直三棱柱中 A1 B1C1 -ABC 中, AB 点 D 是 BC 的中点. (1) 求异面直线 (2 ) 求平面 ADC1 与 ABA1 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值;

?

AC, AB=AC=2,AA1 =4,

所成二面角的正弦值.

21.已知双曲线 C 与椭圆
(1)求双曲线 C 的方程; (2) 若 直 线 l

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,实半轴长为 3 . 8 4

: y ? kx ? 2 与 双 曲 线 C 有 两 个 不 同 的 交 点 A 和 B , 且

OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围.
22. 已 知 圆 C : (x - 1)2 + (y - 1)2 = 2 经 过 椭 圆

Γ ∶

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

(a>b>0)的右焦点 F 和上顶点 B.(1)求

椭圆 Γ 的方程; (2)如图,过原点 O 的射线 l 与椭圆 Γ 在第一象限的交点为 Q,与圆 C 的交点为 P,M 为 OP 的中点, 求 OM

? OQ 的最大值.

BAACA CABDB AC 13. 14.4 15.2 16.3 17.0<a≤3.18.解: (1)因为 VC ? 平面 ABC , AB ? 平面 ABC ,所以 VC ? AB
又因为在

?ABC 中, AC ? BC , D 为 AB 的中点,所以 CD ? AB
第 24 页 共 24 页

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VC ? 平面 VCD , CD ? 平面 VCD ,且 VC CD ? C , 所以 AB ? 平面 VCD (2)法一:因为 AB ? 平面 VCD 且 AB ? 平面 VAB ,所以平面 VCD ? 平面 VAB , 又因为平面 VCD 平面 VAB ? VD 所以点 C 到 VD 的距离 h 即为点 C 到平面 VAB 的距离, 在直角三角形


VCD 由 VD ? h ? VC ? DC 得 h ?

VC ? DC ? VD

a?

2 a 2 ? 3 a 所以点 C 到平面 VAB 的距离 3 6 a 2
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2
2 a r ) ?? b ? 2 ? 0

19.



1







M















( ? 1a

2

)?

? ( b? 12
2

2 r )? (? 1 ? a

2

2 ) ? (b ? 1

解 得 :

a ? 1, b ? 1,r ? 2

所以圆 M 的方程为 ( x ? 1)

? ( y ? 1) 2 ? 4

(2)因为 PA 为圆的切线,所以 PA⊥AMS 四边形 PAMB=2S△APM= 2 ? 当 PM 垂直于直线 3x ? 4 y ? 8 ?
? ?

1 2 AM ? AP ? AM ? AP ? 2 PM ? 4 2
所以四边形 PAMBR 的面积的最小值为

0 时, PM

min

?3

2 5


20. 解 :( 1 ) 以

{ AB, AC , AA1 }

?

为 单 位 正 交 基 底 建 立 空 间 直 角 坐 标 系
?

A ? xyz

,

A(0,0,0) , B(2,0,0) , C (0,2,0) , A1 (0,0,4) , D(1,1,0) , C1 (0,2,4) ? A1 B ? (2,0,?4) .

C1 D ? (1,?1,?4)

?

A B? C1 D ? cos ? A1 B, C1 D ?? 1 ? A1 B C1 D
? ?

?

?

18 20 18

?

3 10 10

? 异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值为
? ?

3 10 10

. (2)

AC ? (0, 2, 0) 是平面 ABA1 的的一个法向量,设平面
?

ADC1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,? AD ? (1,1,0) AC1 ? (0,2,4)
, ,
?

由m

? ? ? ?x ? y ? 0 ,取 z ? 1 ,得 y ? ?2 , x ? 2 , ? AD , m ? AC1 得 ? ?2 y ? 4 z ? 0

所以平面

ADC1 的法向量为 m ? (2,?2,1) .
?

?

设平面

ADC1 与 ABA1 所成二面角为 ?
5 3

.

? cos ? ? cos ? AC , m ??

AC ? m AC m
?

?

?

?4 2 ? , 2?3 3

得 sin

??

.所以平面

ADC1 与 ABA1 所成

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