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河北省正定中学高二数学下学期期中试题 文-课件


高二年级第二学期期中考试 数学试题(文)
一、选择题(本题共 12 个小题,每题只有一个正确答案 ,每题 5 分,共 60 分) 1. 已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则 b ? ( A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 )

2. 若命题“ p 且 q ”为假,且“ ?p ”为假,则

A. “ p 或 q ”为假 B. q 假 C. q 真 ) D. p 假

3. “ x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 若向量 AB ? (2, 4) , AC ? (1,3) ,则 BC =( A. (1,1) B. (?1, ?1) C. (3, 7)

??? ?

??? ?

??? ?

) D. (?3, ?7)
开始

5. 阅读下侧程序框图, 为使输出的数据为 31, 则①处应填的数字为 ( )

S ? 1, i ? 1
A.7 B.6 C.5 D.4
i? ①
是 否

6. ?ABC 的 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 是 a、b、c , 若

B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,则 c ?
A. 2 3 7.函数 f ? x ? ? B.2 C. 2

S ? S ? 2i
( D.1 )

输出 S

i ? i ?1

结束

sin x 的图象大致为( ) x2 ? 1

8. 已知 a, b 大于零, a ? b ? ab ,求 a ? b 的最小值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6
1

9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. 8? B.

20? 3

C.

22? 3

D.

28? 3
)

10. 若函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | 的最小值是 3, 则实数 a 的值为 ( A.2 或-4 11. 已知双曲线: B.4 或-2 C.2 或 4 D.-2 或-4

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

焦距为 2 c , 直线 y ? 3( x ? c) 与双曲线的一个交点 M 满足 ?MF 1F 2 ? 2?MF 2F 1 , 则双曲 线的离心率为 A. 2 ( B. 3 ) C. 2 ? 1 D. 3 ? 1 )

12.已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( A. (??, 0)
1 B. (0, ) 2

C. (0, 1)

D. (0, ? ? )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 己知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 1 ,则数列 {an } 的通项公式为 an =.

? y ? 0, ? 14. 已知不等式组 ? y ? x, 表示的平面区域为 D .若直线 y ? a ? x ? 1? 与区域 D 有公共 ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?
点,则实数 a 的取值范围是. 15. 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点, AH : HB ? 1: 2 , AB ? 平面 ? , H 为垂足, ? 截球 O 所得 截面的面积为 ? ,则球 O 的表面积为_______. 16. 如图所示点 F 是抛物线 y ? 8x 的焦点, 点 A、B 分别在抛物线 y ? 8x
2 2

及圆 ( x ? 2) ? y ? 16 的实线部分上运动,且 AB 总是平行于 x 轴, ,则
2 2

?FAB 的周长的取值范围是_______________.
三、解答题(本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? c .已知

2

1 BA ? BC ? 2, cos B ? , b ? 3 .求: 3
(1) a 和 c 的值; (2) cos(B ? C ) 的值.

18.(本小题满分 12 分)长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康,某校为了解 A 、B 两 班学生手机上网的时长,分别从这两个班中随机抽取 5 名同学进行调查,将他们平均每周手机 上网的时长作为样本,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字) . (Ⅰ)分别求出图中所给两组样本数据的平均值,并据此估计,哪个班的学生平均上网时间较 长; (Ⅱ)从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 19 的数据记为 a ,从 B 班的样本数据中随机抽 取一个不超过 21 的数据记为 b ,求 a ? b 的概率.

19.(本小题满分 12 分)如图,平行四边形 ABCD 中, CD ? 1 , ?BCD ? 60O , BD ? CD , 正方形 ADEF ,且面 ADEF ? 面 ABCD . (I)求证: BD ? 平面 ECD . (II)求 D 点到面 CEB 的距离.

F

E

A
20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

D B C

x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别为 F1 , F2 . 4 2

(Ⅰ)求以线段 F1 F2 为直径的圆的方程; (Ⅱ)过点 P (4, 0) 任作一条直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N .在 x 轴上是否存在点 Q ,使 得 ?PQM ? ?PQN ? 180? ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
3

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a)e x ? (a ? 1) x ? a , a ? R 。 (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)设 g ( x) 是 f ( x) 的导函数,证明:当 a ? 2 时,在 (0,??) 上恰有一个 x0 使得 g ( x0 ) ? 0 ;

请考生在第 22-24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲 如图, 已知 AB 为圆 O 的一条直径, 以端点 B 为圆心的圆交直线 AB 于 CD 两点, 交圆 O 于 E , F 两点,过点 D 作垂直于 AD 的直线,交直线 AF 于 H 点. (Ⅰ)求证: B, D, H , F 四点共圆; (Ⅱ)若 AC ? 2, AF ? 2 2 ,求 ?BDF 外接圆的半径.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为:

? 2 ? 4 ? (cos ? ? sin ? ) ? 6 .若以极点 O 为原点,极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求圆 C 的参数方程; (Ⅱ) 在直角坐标系中, 点 P( x, y ) 是圆 C 上动点, 试求 x ? y 的最大值, 并求出此时点 P 的 直角坐标.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 m, n 都是实数, m ? 0 , f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 . (I)若 f ( x) ? 2 ,求实数 x 的取值范围; (II)若 m ? n ? m ? n ? m f ( x) 对满足条件的所有 m, n 都成立,求实数 x 的取值范围.

4

15—16 学年度第二学期第二次月考高二年级数学试卷 (文科)答案 1-5 DBBBC 13. n
2

6-10 BABCB 14. [ 0, ]

11-12 15.

DB 16.(8,12)

3 4

9? 2

1 → → 17.解:(1)由BA·BC=2,得 c·acos B=2,又 cos B= ,所以 ac=6. 3 2 2 2 2 2 由余弦定理,得 a +c =b +2accos B,又 b=3,所以 a +c =9+2×2=13. ?ac=6, ?a=2, ? ?a=3, ? ? 联立? 2 2 得? 或? ?a +c =13, ? ?c=3 ?c=2. ? ? 因为 a>c,所以 a=3,c=2. 2 ?1? 2 2. 2 (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos B= 1-? ? = 3 ?3?

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= × = . b 3 3 9
因为 a=b>c,所以 C 为锐角,因此 cos C= 1-sin C=
2

?4 2?2 7 1-? ? = . ? 9 ? 9

1 7 2 2 4 2 23 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= × + × = . 3 9 3 9 27 18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)A 班样本数据的平均值为 (9 ? 11 ? 14 ? 20 ? 31) ? 17 ??????3 分 由此估计 A 班学生每周平均上网时间 17 小时;B 班样本数据的平均值为

1 5

1 (11 ? 12 ? 21 ? 25 ? 26) ? 19 5
由此估计 B 班学生每周平均上网时间较长. ???????6 分 (Ⅱ)A 班的样本数据中不超过 19 的数据 a 有 3 个,分别为:9,11,14, B 班的样本数据中不超过 21 的数据 b 也有 3 个,分别为:11,12,21, 从 A 班和 B 班的样本数据中各随机抽取一个共有:9 种不同情况,分别为: (9,11) , (9,12) , (9,21) , (11,11) , (11,12) , (11,21) , (14,11) , (14,12) , (14,21) ,???9 分 其中 a ? b 的情况有(14,11) , (14,12)两种,

2 .???????2 分 9 19(I)证明:∵四边形 ADEF 为正方形
故 a ? b 的概率 p ? ∴ ED ? AD 又∵平面 ADEF ? 平面 ABCD ,平面 ADEF ? 平面 ABCD = AD , ∴ ED ? 平面 ABCD ????????????????3 分
5

∴ ED ? BD 又∵ BD ? CD , ED ? CD ? D ∴ BD ? 平面 ECD ????????????????6 分 (II)解: CD ? 1 , ?BCD ? 60 , BD ? CD ,
O

又∵ 正方形 ADEF

∴ CB ? 2 , CE ? 5 , BE ?

7

∴ cos ?BCE ?

4?5?7 5 ? 2 ? 2 ? 5 10

∴ S?CEB ?

1 95 19 ??????????8 分 ? 2? 5 ? ? 2 10 2
1 3 ???????9 分 ? 1? 3 ? 2 2

Rt ? BCD 的面积等于 S?BCD ?

由得(I) ED ? 平面 ABCD ∴点 E 到平面 BCD 的距离为 ED ? 2 ??????????10 分 ∴ VD ?CEB ? VE ?CDB ? . .1. 3.2 ?

1 1 3 2

3 1 19 ? ? ?h 3 2 3

∴h ?

2 57 19

即点 D 到平面 CEB 的距离为

2 57 . ???????????12 分 19

20 解: (I)因为 a 2 ? 4 , b2 ? 2 ,所以 c 2 ? 2 . 所以以线段 F1 F2 为直径的圆的方程为 x2 ? y 2 ? 2 .???????????3 分 (II)若存在点 Q(m, 0) ,使得 ?PQM ? ?PQN ? 180? , 则直线 QM 和 QN 的斜率存在,分别设为 k1 , k2 . 等价于 k1 ? k2 ? 0 . 依题意,直线 l 的斜率存在,故设直线 l 的方程为 . y ? k( x? 4 )
y

? y ? k ( x ? 4) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 ,得 (2k ? 1) x ?16k x ? 32k ? 4 ? 0 . ?1 ? ? ? 4 2
因为直线 l 与椭圆 C 有两个交点,所以 ? ? 0 .
2 2 2 2 即 (16k ) ? 4(2k ? 1)(32k ? 4) ? 0 ,解得 k ?
2

M N A O Q B P(4,0) x

1 . 6
6

16k 2 32k 2 ? 4 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) . ( x1 ? m) y2 ? ( x2 ? m) y1 ? 0,

令 k1 ? k2 ?

y1 y2 ? ? 0, x1 ? m x2 ? m

( x1 ? m)k ( x2 ? 4) ? ( x2 ? m)k ( x1 ? 4) ? 0 ,
当 k ? 0 时, 2 x1 x2 ? (m ? 4)( x1 ? x2 ) ? 8m ? 0 , 所以 2 ?

8( m ? 1) 32k 2 ? 4 16k 2 ? 0 ,所以 m ? 1 . ? ( m ? 4) ? ? 8m ? 0 ,化简得, 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

当 k ? 0 时,也成立. 所以存在点 Q(1, 0) ,使得 ?PQM ? ?PQN ? 180? .???????????14 分 21. (12 分) 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ?1)e x ? 1, f '( x) ? xe x -----------------2 分 当 f '( x) ? 0 时, x ? 0 ;当 f '( x) ? 0 时, x ? 0 所以函数 f ( x ) 的减区间是 ( ??, 0) ;增区间是 (0, ??) -------------------4 分 (2) g ( x) ? f '( x) ? e x ( x ? a ? 1) ? (a ?1), g '( x) ? e x ( x ? a ? 2) ---------5 分 当 g '( x) ? 0 时, x ? a ? 2 ;当 g '( x) ? 0 时, x ? a ? 2 因为 a ? 2 ,所以函数 g ( x) 在 (0, a ? 2) 上递减;在 (a ? 2, ??) 上递增---------6 分 又因为 g (0) ? 0, g (a) ? ea ? a ?1 ? 0 , 所以在 (0, ??) 上恰有一个 x0 使得 g ( x0 ) ? 0 .------------------8 分 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲 证明:(I)

? AB 为圆 O 的一条直径 ? BF ? FH , DH ? BD

? B, D, H , F 四点共圆 ???????4 分
解:(II) AH 与圆 B 相切于点 F , 由切割线定理得 AF 2 ? AC ? AD ,即 2 2

?

?

2

? 2 ? AD ,解得 AD ? 4 ,
7

所以 BD ?

1 ? AD ? AC ? ? 1, BF ? BD ? 1 , 2

又 ?AFB ? ?ADH , 则

DH AD ? ,得 DH ? 2 ,??????????????7 分 BF AF

连接 BH ,由(1)知 BH 为 ?BDF 的外接圆直径,

D F 的外接圆半径为 BH ? BD2 ? DH 2 ? 3 ,故 ?B
10 分 (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)因为 ? ? 4 ? (cos ? ? sin ? ) ? 6 ,
2

3 .?????????????? 2

所以 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 6 ,
2 2

所以 x ? y ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 ,
2 2

即 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 为圆 C 的普通方程.?????????????4 分
2 2

所以所求的圆 C 的参数方程为 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)可得,

? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

( ? 为参数) .?????????6 分

x ? y ? 4 ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 4 ? 2sin(? ? ) 4


?

??????????7 分

??

?

4

时,即点 P 的直角坐标为 (3,3) 时, ???????????9 分 ?????????????10 分

x ? y 取到最大值为 6.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

?3 ? 2 x, x ? 1 ? 解:(I) f ( x) ? ?1,1 ? x ? 2 ?2 x ? 3, x ? 2 ?
由 f ( x) ? 2 得 ?

?3 ? 2 x ? 2 ? x ? 2 1 5 或? ,解得 x ? 或 x ? . 2 2 ?x ? 1 ?2 x ? 3 ? 2

故所求实数 x 的取值范围为 ( ?? , ) ? ( ,?? ) .??5 分

1 5 2 2 (II)由 m ? n ? m ? n ? m f ( x) 且 m ? 0 得

8

m?n ? m?n m
又∵

? f ( x) ,

m?n ? m?n m

?

m?n?m?n m

? 2 , ??????????7 分

∴ f ( x) ? 2 , ∵ f ( x) ? 2 的解集为 ( ?? , ) ? ( ,?? ) , ∴ f ( x) ? 2 的解集为 [ , ] , ∴所求实数 x 的取值范围为 [ , ] .??10 分

1 2

5 2

1 5 2 2

1 5 2 2

9


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