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2013届高三9月摸底考试试题(数学理)


广东省深圳市宝安区 2013 届高三 9 月摸底考试试题


符合题目要求的. 1. 已知集合, A

学 (理 科)

2012.9

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

? ?x x ? 1?,

B ? ? x x 2 ? 2 x ? 0? ,则 A ? B ?
B. x ?1 ? x ? 0? D. x ?1 ? x ? 2?

A. x 0 ? x ? 1? C. x ?1 ? x ? 1?

?

?

?

?

2. 若复数

a?i 是实数 ( i 是虚数单位 ) ,则实数 a 的值为 1? i
B. ?1 C. 1 D. 2

A. ?2

3. 已知向量 p ? ? ?2,1? , q ? ? x, ?3? ,且 p // q ,则 p ? q 的值为 A. 2 5 B. 5 C. 2 17 D. 13

? x? y ?0 y ? 4.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值是 x ?1 ?2 x ? y ? 1 ? 1 1 A.1 B. C. 4 2
5.程序框图如下:

D.2

如果上述程序运行的结果为 s=132,那么判断框中应填入

A.

B.

C.

D.

6..已知 a, b 是实数,则“ a ? 0 且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”的
·1·

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件

.

D.既不充分也不必要条件

7. 如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的 直角边长为 1,那么这个几何体的全面积为 ...

A.

3 2

B.

3? 3 2

正视图

左视图

C. 3 ? 2 2

D. 2 俯视图

8.定义函数集合 M 函数, ②

? ? f ? x ? f ?? x ? ? 0?, N ? ? f ? x ? f ??? x ? ? 0?, (其中 f ?? x ? 为 f ? x ? 的导


f ??? x ? 为 f ?? x ? 的导函数), D ? M ? N ,以下 5 个函数中

f ?x ? ? e x ,

1 f ? x ? ? ln x ,③ f ?x ? ? x ?2 , x ? ?? ?,0?,④ f ? x ? ? x ? , x ? ?1,?? ? , x



? ?? f ?x ? ? cos x, x ? ? 0, ? ? 2?
A.①④⑤ B.①②④

属于集合 D 的有 C.②③④ D.①③④

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽 取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 0.040 率分布直方图如图 3 所示, 若月均用电量在 0.035 区间 ?110,120 ? 上共有 150 户, 则月均用电 量在区间 ?120,150 ? 上的居民共有
0.030 0.025 0.020 频率 组距

户. 0.015
0.010 0.005

0
2

100

110

120

130

140

150

月均用电量(度)

图3 10. 以抛物线 C : y ? 16 x 上的一点 A 为圆心作圆,若该圆经过抛物线 C 的顶点和焦点,

那么该圆的方程为

.
·2·

11. 已知数列 ? an ? 是等差数列, 若 a3 ? 2a5 ? a7 ? 8 , 则该数列前 9 项的和为 12.二项式 (2 x ?

.

1 6 ) 展开式中含 x 2 项的系数是 x



13. 甲、乙等五名医生被分配到四川灾区 A、B、C、D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少一名医 生,则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有________种(用数字做答) . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (参数方程与极坐标)在极坐标系中,点 A 和点 B 的极坐标分别为 (2, 则三角形 OAB 的面积=_____. 15.(几何证明选讲)如图, P 是圆 O 外的一点, PD 为切线, D 为 切 点 , 割 线 PEF 经 过 圆 心 O , PF ? 6, PD ? 2 3 , 则
P E O D

?
3

) 和 (3,0) ,O 为极点,

F

?DFP ? __________.
骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (2 cos ,1), n ? (sin (1)求函数 f ( x) 的值域; (2)已知锐角 ?ABC 的三个内角分别为 A, B, C , 若 f ( A) ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步

x 2

u r r x ,1) ,设函数 f ( x) ? mgn ? 1. 2

5 3 , f ( B) ? , 求 f (C ) 的值。 13 5

17.(本题满分 12 分) 在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中,已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位 同学都只选了一个科目,第一小组选《数学运算》的有 1 人,选《数学解题思想与方法》的有 5 人, 第二小组选《数学运算》的有 2 人,选《数学解题思想与方法》的有 4 人,现从第一、第二两小组 各任选 2 人分析选课情况. (Ⅰ)求选出的 4 人均选《数学解题思想与方法》的概率; (Ⅱ)设 ? 为选出的 4 个人中选《数学运算》的人数,求 ? 的分布列和数学期望. 18. (本小题满分 14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 , AA1 ? 4 , 点 D 是 AB 的中点.
⑴ ⑵ 、 、 求 求 二 证 面 : 角

C1

B1
平 的 面 正

AC1 / /

C1 ? AB ? C
·3·

A1

C


1

D


; .

B

C A D

B

19. (本题满分 14 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 0 ? n ? 2, n ? N ? . (1)写出 a2、a3 的值(只写结果)并求出数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 1 1 ,若 bn ? ? ? ??? ? an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n

? m 恒成立,

求实数 m 的取值范围。

20. (本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e = a2 b2

3 ,点 A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两 2

焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 P

? m, n (m > 0,n ? 0)为 椭 圆 C 上 一 动 点 , 直 线 L : mx ? 4ny ? 4 ? 0 与 圆 ?

C ? : x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A、B 两点,求三角形 OAB 面积的最大值及此时直线 L 的方程。
21. (本小题满分 14 分) 已知函数

f ? x? ?

a 3 1 1 x ? ? a ? 1? x 2 ? x ? ( a ? R). 3 2 3

(1) 若 a ? 0 ,求函数 f ? x ? 的极值; (2)是否存在实数 a 使得函数 f ? x ? 在区间 不存在,说明理由。

? 0, 2? 上有两个零点,若存在,求出 a 的取值范围;若

·4·

广东省深圳市宝安区 2013 届高三摸底考试试题

数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

A

C

A

B

B

C

B

D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 说明:第 10 小题写对一个答案给 3 分. 9. 325 10.

? x ? 2?

2

? y?4 2
14。

?

?

2

? 36

11. 18
?

12. -192

13. 72

3 3 .; 2

15. 30 ,

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识, 考查化归与转化的数学思想方法, 以及运算求解能力)

n 1 ? 1 解: (1) f ? x ? ? m ? ? 1 ? ? 2 cos , ?? sin , ? ? 1

x ?? x ? ? 2 ?? 2 ? ? x x ? 2cos sin ? 1 ? 1 ? sin x . ????????????3分 2 2
????????????6分
·5·

∵ x? R ,

1 ∴函数 f ? x ? 的值域为 ? -1,? .

5 3 5 3 , f ? B ? ? ,∴ sin A ? , sin B ? . 13 5 13 5 12 4 ∵ A, B 都为锐角,∴ cos A ? 1 ? sin 2 A ? , cos B ? 1 ? sin 2 B ? .???9分 13 5
(2)∵ f ? A ? ? ∴ f ? C ? ? sin C ? sin ?? ? ? A ? B ? ? ? sin ? A ? B ? ? ?

? sin A cos B ? cos Asin B 5 4 12 3 56 . ? ? ? ? ? 13 5 13 5 65 56 ∴ f ? C ? 的值为 . 65

????????????12 分

17.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设“从第一小组选出的 2 人选《数学解题思想与方法》”为事件 的 2 人选《数学解题思想与方法》 ”为事件 B.由于事 件 A、B 相互独立, 且 p ( A) ?

A, “从第二小组选出

C52 2 ? , C62 3

P( B) ?

2 C4 2 .? ? C62 5

????????????4 分

所以选出的 4 人均考《数学解题思想与方法》的概率为

2 2 4 ??????????? 6 分 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? ? ? 3 5 15 (Ⅱ)设 ? 可能的取值为 0,1,2,3.得 P(? ? 0 ) ?
p(? ? 3) ? C 2 C1 ? 1 C1 C 2 22 C 4 , P(? ? 1) ?? 5 ? 2 2 4 ? 5 ? 4 ? , 2 2 2 C6 C6 C6 C6 45 15
1 c5 1 1 . 2 ? 2 c6 c6 45

p(? ? 2) ? 1 ? p(? ? 0) ? p(? ? 1) ? p(? ? 3) ?

? 的分布列为 ? 0
P

2 9
3

????? 9 分

1

2

4 15

22 45

2 9

1 45
????12 分

∴ ? 的数学期望 E? ? 0 ?

4 22 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 15 45 9 45

18.(本小题满分 14 分) 证明:⑴连接 C1 B ,设 CB1 与 C1 B 的交点为 E , 连结 DE ,由四棱柱侧面为平行四边形知 A1 C1 E B1

E 是 BC1 的中点,
C
·6·

B D

A

∵ D 是 AB 的中点,∴ DE / / AC1 ????3 分 ∵ DE ? 平面CDB1 , AC1 ? 平面CDB1 , ∴ AC1 / / 平面CDB1 . ??????6 分 ⑵ 由直棱柱知 C1C 垂直平面 ABC, 过点 C 作 CF⊥AB 于 F,连接 C1F 则 C1F⊥AB ?????????????9 分

∴∠C1FC 为二面角 C1 ? AB ? C 的平面角. 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

∵底面三边长 AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 ,∴ AC ? BC , 在 Rt△ABC 中, CF

???????11 分

?

AC ? BC 12 ? , AB 5
C1C 4 5 ? ? , CF 12 3 5
???????????13 分

又 CC1 ? AA1 ? 4 ,∴ tan ?C1 FC ?

∴二面角 C1 ? AB ? C 的正切值为

5 . 3

?????????????????14 分

(另:可以建立空间直角坐标系用向量方法完成,酌情给分,过程略) 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 0 ? n ? 2, n ? N ? ∴

a2 ? 6, a3 ? 12

?????2 分

当 n ? 2 时, an ? an ?1 ? 2n, an ?1 ? an ? 2 ? 2 ? n ? 1? , ???, a3 ? a2 ? 2 ? 3, a2 ? a1 ? 2 ? 2 , ∴

an ? a1 ? 2 ? n ? ? n ? 1? ? ??? ? 3 ? 2? , ? ?

∴ an ? 2 ? n ? ? n ? 1? ? ??? ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 ? ?

n ? n ? 1? 2

? n ? n ? 1?

???????5 分 ????6 分 ????7 分

当 n ? 1 时, a1 ? 1? ?1 ? 1? ? 2 也满足上式, ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? n ? 1? (2) bn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? an ?1 an ? 2 a2 n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ? 2 ?? n ? 3? 2n ? 2n ? 1?

·7·

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 2n ? 2n ? 1? ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? n ? 2 ? ? n ? 3?

1 1 n 1 ???????10 分 ? ? 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1? 2n ? 3n ? 1 (2n ? 1 ) ? 3 n 1 1 令 f ? x ? ? 2 x ? ? x ? 1? ,则 f ? ? x ? ? 2 ? 2 , 当 x ? 1时, f ? ? x ? ? 0 恒成立 x x ?


f ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上是增函数,故当 x ? 1 时, f ? x ? min ? f ?1? ? 3 ?12 分

即当 n ? 1 时,

(bn )max ?

1 6

bn ? m 恒成立,则 m ?

1 6

??14 分

另解: bn ?1 ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? n ? 2 2n ? 3 n ? 1 2 n ? 1 n ? 2 2 n ? 1 ? 2 n ? 3 n ? 1 ?

3n ? 3 3n ? 4 ? 2 ?0 2n ? 5n ? 2 2n ? 5n ? 3 1 ∴ 数列 ?an ? 是单调递减数列,∴ (bn )max ? b1 ? 6 ?
2

bn ? m 恒成立,则 m ?
20. (本小题满分 14 分)

1 6

解: (1)由椭圆定义知 2a ? 4,? a ? 2 ,又 e ?

c a 2 ? b2 3 得 b ? 1, ? ? a a 2
?????????????4 分

x2 ?所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1 4
(2)设圆心 O 到直线 L 的距离为 d ,则 d

?

4 m 2 ? ? 4n ?
2

m2 ? n2 ? 1 , ,又有 4
?????7 分

所以 d

?

4 m ? ? 4n ?
2 2

?

4 4 ? 12n
2

,? n ?

? 0,1?,? d ? ?1,2 ?
2

S? OAB

? d2 ? 4 ? d2 ? 1 2 2 2 ? AB d ? 4 ? d ?d ? d ? 4 ? d ? ? ? ? ?2 2 2 ? ?
·8·

(当 d

2

? 4 ? d 2 即 d ? 2 时 S? OAB 最大) S? OAB 最大值为 2 ,

?????11 分

d? 2?

4 4 ? 12n2

? ??? ? ? 2 ? ? ? ?? n ?

?n?0

3 3
???????13 分



8 2 6 m 2 ? 4 ? 4n 2 ? ,? m ? 0,? m ? 3 3
所以直线 L 的方程为

2 6 4 3 x? y ? 12 ? 0 即 x ? 2 y ? 6 ? 0 。????14 分 3 3

21. (本小题满分 14 分) 解:(1)

1? ? f ? ? x ? ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? 1 ? a ? x ? 1? ? x ? ? a? ?

??????2 分

1 ? a ? 0,? ? 1, a
1? ? ? ??, ? a? ?
f ?? x ? f ? x?

1 a
0 极小值

?1 ? ? ,1? ?a ?

1

?1, ?? ?
递减

递减

+
递增

0 极大值

??????????4 分
2 1 ? 1 ? ?2a ? 3a ? 1 f ? x ?极小值 =f ? ? = , f ? x ? 极大值 =f ?1? = ? ? a ? 1? ????6 分 2 6a 6 ?a? 2 1 ? 1 ? ?2a ? 3a ? 1 ? ? a -1?? 2a -1? f ? ?= = , f ?1? = ? ? a ? 1? 6a 2 6a 2 6 ?a?

(2)

f ? 2? =

1 ? 2a ? 1? , 3

1 f ? 0 ? = ? <0 3

?????8 分

① 当a?

1 2

时,

f ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数,在 ?1,2? 上为减函数, f ? 0 ? = ?

1 <0 , 3

·9·

f ?1? = ?

1 1 ? a ? 1? >0 , f ? 2 ? = ? 2a ? 1? ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 ? 0,1? , ?1,2? 上各有一个 6 3

零点,即在

? 0, 2? 上有两个零点;

??????????10 分

② 当

1 ? 1? ?1 ? <a ? 1 时, f ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数,在 ?1, ? 上为减函数, ? ,2 ? 上为增函数, 2 ? a? ?a ?


1 f ? 0 ? = ? <0 3 f ? 2? =
个零点; ③ 当 a >1 时,

f ?1? = ?

1 ? a ? 1? >0 6



? 1 ? ? ? a -1?? 2a -1? f ? ?= >0 6a 2 ?a?



1 ? 2a ? 1? >0 ,所以 f ? x ? 只在区间 ? 0,1? 上有一个零点,故在 ? 0, 2? 上只有一 3
??????????12 分

? 1? ?1 ? f ? x ? 在 ?0, ? 上为增函数,在 ? ,1? 上为减函数, ?1,2 ? 上为增函数, ? a? ?a ?
? 1 ? ? ? a -1?? 2a -1? f ? ?= <0 6a 2 ?a?
所以 ,

1 f ? 0 ? = ? <0 3 f ? 2? =
点;



f ?1? = ?

1 ? a ? 1? <0 6



1 ? 2a ? 1? >0 , 3

f ? x ? 只在区间 ?1,2? 上有一个零点,故在 ? 0, 2? 上只有一个零
??????????13 分

故存在实数 a ,当 a ?

1 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, 2 ? 上有两个零点。???????14 分 2

绝密★启用前

海珠区 2012 学年高三综合测试(一)

数 学(理科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在
·10·

答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新 的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡一并交回。 参考公式:柱体体积公式 V ? Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高. 锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.

1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7? , A ? ?2, 4,5? , B ? ?1,3,5, 7? ,则 A ? ? CU B ? ?
B. ?2 , ?4 C. ?2, 4,5, 6? 2 的四个命题: 2 .下面是关于复数 z ? 1? i
p1 : z ? 2 , p3 : z 的共轭复数为 ?1 ? i
其中真命题为

A. ?5?

D. ?1, 2,3, 4,5, 7?

p2 : z 2 ? 2i
p4 : z 的虚部为1

A. p2 , p3 A. y ? ? x 3

B. p1 , p2 B. y ? cos x

C. p2 , p4 C. y ? x x

D. p3 , p4 D. y ? e x
函 开始 数

3 .下列函数中,既是奇函数又是增函数的是

?? ? 要得到函数 y ? sin ? x ? ? 的图象可将 4. 6? ?

?? ? y ? s ? x ? ? 的图象上的所有点n i 6? ?
? 6 ? B. 向左平行移动 6 ? C. 向右平行移动 3 ? D. 向左平行移动 3
A. 向右平行移动
个长度单位 个长度单位 个长度单位 个长度单位

i ? 1, s ? 0

s ? s ? 2i ?1 i

i ? i ?1

s ? 100?
否 输出 i
·11·



5 .执行如图 1所示的程序框图,输出的 i
值为

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

结束 图1

6 .已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

的离心率为

2 2 2 ,双曲线 x ? y ? 1的 2

渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个 交点为顶点的四边形的面积为 16 ,则 椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 A. 8 4

x2 y2 ? ?1 B. 12 6

x2 y2 ? ?1 C. 16 8

x2 y 2 ? ?1 D. 20 5

7 .在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 C .现作一矩形,邻边长分别等于
线段 AC , CB 的长,则该矩形面积大于 9cm 的概率为
2

A.

1 10

B.

1 5

C.

3 10

D.

4 5

8 .已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 2 x, g ? x ? ? ax ? 2 ? a ? 0 ? , 对任意的 x1 ? ? ?1, 2?
都存在 x0 ? ? ?1, 2 ? ,使得 g ? x1 ? ? f ? x0 ? , 则实数 a 的取值范围是

? 1? A. ? 0, ? ? 2?

?1 ? B. ? ,3? ?2 ?

C. ?3, ?? ?

D. ? 0, 3?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)

9 . 在 ? a ? x ? 展开式中 x 4 的系数为 35 ,则实数 a 的值为
7

.

?x ? 0 ? 10 .设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ?2 x ? y ? 3 ?

.

11.一个几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的体积为
1 2 1 0.5 2 0.5 1 1 正视图 侧视图

.

图2
俯视图 ·12·

12 .不 等 式 2 x ? 1 ? 1 的 解 集 为

? a, b ? , 计

算 定 积 分

??
b a

x ? x2 d x ?

?

.

13 .将石子摆成如图 3 的梯形形状.称数列 5,9,14, 20,? 为“梯形数”.根据图形的构成,数列第 6 项
a6 ?

;第 n 项 an ?

.

图3 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

? 2 t ?x ? ? 2 (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),圆 C 的参数 14 . ? y ? 1? 2 t ? ? 2
方程为 ?

? x ? cos ? ? 2 ( ? 为参数), 则圆心 C 到直线 l 的距离为 ? y ? sin ?

.

( 15 . 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 ) 如 图 4 , 在 ?ABC 中 , DE // BC , EF // CD , 若

B C ? 4 , D E? 2 , D F ,则 AB 的长为__________ . ? 1
A F D E

B

C

图4 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16 .(本小题满分 12 分)
?? ? 且m ? n.

在锐角 ?ABC 中, A 、 、 所对的边长分别为 a 、 、 , 向量 m ? ?1, cos B ?, n ? sin B,? 3 , 角 b c B C

?

?

(1)求角 B 的大小;

·13·

(2)若 ?ABC 面积为

3 3 2 , 3ac ? 25 ? b ,求 a, c 的值. 2

17 .(本小题满分 12 分)
电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行 调查,如图 5 是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图,其中收看时间 分组区间是: ? 0,10 ? , ?10, 20 ? , ? 20,30 ? , ?30, 40 ? , ? 40,50 ? , ? 50, 60 ? .

频率 组距
0.028 0.025 0.020 0.012

x

0.005 O 将日均 分钟的观众称为“体育迷”. (1)求图中 x 的值; (2)从“体育迷”中随机抽取 2 人,该 2 人中日均收看该类体育节目时间在区间 ? 50, 60 ? 内的人 10 20 30 40 50 60 分钟 收看该类体育节目时间不低于 40

图5

数记为 X ,求 X 的数学期望 E ? X ? .

18 .(本小题满分 14 分)
0 如图 6 ,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱与底面垂直, ?BAC ? 90 , AB ? AC ? AA1 ? 2 ,点

M , N 分别为 A1B 和 B1C1 的中点. (1)证明: A1M ? MC ;
(2)证明: MN / / 平面 A1 ACC1 ; (3)求二面角 N ? MC ? A 的正弦值.

A1 N B1 M
·14·

C1

C A
图6

B

19 .(本小题满分 14 分)

3bn ? bn ?1 ? 0 ? n ? N ? ? .

已 知 等 差 数 列 ?a n ?满 足 a3 ? 5, a5 ? 2a 2 ? 3, 又 数 列 ?bn ? 中 , b1 ? 3 且

(1)求数列 ?a n ?, ?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?a n ?, ?bn ? 的前 n 项和分别是 S n , Tn ,且 cn ? (3)若 M n ? 9log m

Sn ? 2Tn ? 3? n

. 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 M n ;

3 ? m ? 0, 且m ? 1? 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

20 .(本小题满分 14 分) 2 设抛物线 C : x ? 2 py ? p ? 0 ? 的焦点为 F , A ? x0 , y0 ?? x0 ? 0 ? 是抛物线 C 上的一定点.
(1)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点 F ,且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 Q, R 两点, S 为 C 的准 线上一点,若 ?QRS 的面积为 4 ,求 p 的值; (2) 过 点 A 作 倾 斜 角 互 补 的 两 条 直 线 AM , AN , 与 抛 物 线 C 的 交 点 分 别 为

M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? .若直线 AM , AN 的斜率都存在,证明:直线 MN 的斜率等于抛物线 C 在点

A 关于对称轴的对称点 A1 处的切线的斜率.

21 .(本小题满分 14 分) 2 已知函数 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? x ? x 在 x ? 0 处取得极值.
(1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? ? 围; (3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 2 ?

5 x ? b 在区间 ? 0, 2 ? 上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取值范 2 3 4 n ?1 ? ? ? ? 2 ? ln ? n ? 1? 都成立. 4 9 n

海珠区 2012 学年高三综合测试(一)

理科数学参考答案与评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供 参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标
·15·

准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确 解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 C 5 A 6 B 7 D 8 A

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。其中 14~15 题是选做题, 考生只能选做一题. 9. 1 10. 0 11. 12 ? ? 12.

1 3

13. 35 ;

? n ? 1?? n ? 4 ?
2

14.

3 2 2

15. 4

(第 13 题第一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查向量数量积、三角特殊值的运算,三角函数的基本关系,解三角形 1 等知识,考查化 归与转化、方程的数学思想方法,以及运算求解能力) 解(1) : (1) m ? n ? ?1, cos B ? ? sin B,? 3

? 1 ? sin B ? cos B ? ? 3

?

?

?

?

????1 分

? sin B ? 3 cos B ?? ? ?? ? ? m ? n,? m ? n ? 0
????2 分 ? sin B ? 3 cos B ? 0 ????3 分 ? ?ABC 为锐角三角形,?cos B ? 0 ????4 分 ? tan B ? 3 , ? ?0 ? B ? 2 ? ????5 分 ?B ? . 3 (2)由 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? ac , ????6 分 2 2 2 代入 3ac ? 25 ? b 得 3ac ? 25 ? a ? c ? ac ,得 a ? c ? 5 . ????7 分 1 1 ? 3 ac ????9 分 ? S?ABC ? ac sin B ? ac ? sin ? 2 2 3 4 3 3 3 由题设 ,得 ac ? 6 ????10 分 ac ? 4 2
·16·

联立 ?

?a ? c ? 5 , ?ac ? 6
?a ? 2 ?a ? 3 ,或 ? . ?c ? 3 ?c ? 2
????12 分

解得 ?

17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查排列、组合的运算,频率分布,超几何分布,数学期望等知识,考查或然与必然, 以及数据处理能力、抽象思维能力、运算求解能力和应用意识) 解:(1)由题设可知 ? 0.005 ? x ? 0.012 ? 0.02 ? 0.025 ? 0.028? ? 10 ? 1 , 解之得 x ? 0.01. 3分 ????2 分 ????1 分

(2)由题设可知收看该类体育节目时间在区间 ? 50, 60 ? 内的人数为 0.005 ?10 ?100 ? 5 人, ???? “体育迷”的人数为 ? 0.01 ? 0.005? ?10 ?100 ? 15 , 所以 X 的可能取值为 0,1, 2 , ????4 分 ????5 分 ????7 分 ????9 分 ??11 分

p ? X ? 0? ? p ? X ? 1? ? p ? X ? 2? ?

C C 3 ? , 2 C15 7
1 1 C5C10 10 ? 2 C15 21 0 C52C10 2 ? 2 C15 21

0 5

2 10

3 10 2 2 ? X 的数学期望 E ? X ? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? .????12 分 7 21 21 3
18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法, 以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解 :证明(1)证法一:由题设知, AC ? AA1 ,

A1 P B1 M A B N

C1

? AC ? AB AA1 ? 平面 AA1 BB1 , AB ? 平面 AA1 BB1 , AA1 ? AB ? A ? AC ? 平面 AA1 BB1 , A1M ? 平面 AA1 BB1 ????1 分 ? A1M ? AC . 又 四边形 AA1 BB1 为正方形, M 为 A1 B 的中点, ? ????2 分 ? A1M ? MA AC ? MA ? A , AC ? 平面 MCA , MA ? 平面 MCA
? A1M ? 平面 MCA

又 ?BAC ? 900 ?

C

????3 分
·17·

又 MC ? 平面 MCA

????4 分 ????5 分

? A1M ? MC .
证法二:(向量法) 以点 A 为坐标原点,分别以直线

AB, AC , AA1 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 A ? xyz ,如图所示. ????1 分
于是 C ? 0, 2, 0 ? , A1 ? 0, 0, 2 ? , M ?1, 0,1? , N ?1,1, 2 ? . ????2 分

????? ???? ? ? A1M ? ?1, 0, ?1? , MC ? ? ?1, 2, ?1?

????3 分

????? ???? ? ? A1M ? MC ? ? ?1? ?1 ? 0 ? 2 ? ? ?1? ? ? ?1? ? 0 ????4 分

? A1M ? MC .
(2)证法一: 连接 AB1 , AC1 , 由题意知,点 M , N 分别为 AB1 和 B1C1 的中点,

????5 分 ????6 分

? MN / / AC1 .
又 MN ? 平面 A1 ACC1 , AC1 ? 平面 A1 ACC1 ,

????7 分 ????8 分 ????9 分

? MN / / 平面 A1 ACC1 .
证法二:取 A1 B1 中点 P ,连 MP, NP ,而 M , N 分别为 AB1 与 B1C1 的中点,

? MP / / AA1 ,

MP ? 平面 A1 ACC1 , AA1 ? 平面 A1 ACC1 ? MP / / 平面 A1 ACC1 ,
同理可证 NP / / 平面 A1 ACC1 又 MP ? NP ? P ????6 分

?平面 MNP / / 平面 A1 ACC1 .

????7 分 ????8 分 ????9 分

? MN ? 平面 MNP ,
? MN / / 平面 A1 ACC1 .

·18·

证法三(向量法): 以点 A 为坐标原点,分别以直

z
A1 P B1 N C1

线 坐标

AB, AC , AA1 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角


A ? xyz

, 如 图 所 示 . 于 是

A ? 0 , ?0 B ,? 0

?,

M ?1 ,, ? 0N ,?, 10 ? , , 2 0

1 , 1 , 2 M
A

.

? AB ? AC , AB ? AA1 , AC ? AA1 ? A

? AB ? 平面 A1 ACC1
??? ? ? 向量 AB ? ? 2, 0, 0? 是平面 A1 ACC1 的一个
量 ????6 分

C

y

x

B
法向

???? ? MN ? ? 0,1,1?

??? ???? ? ? AB ? MN ? 2 ? 0 ? 0 ?1 ? 0 ?1 ? 0

? AB ? MN
又 MN ? 平面 A1 ACC1

????7 分 ????8 分 ? ??9 分

? MN / / 平面 A1 ACC1
(3)解法一:以点 A 为坐标原点,分别以直线

AB, AC , AA1 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 A ? xyz ,如图所示.
于是 A ? 0, 0, 0 ? , B ? 2, 0, 0 ? , C ? 0, 2, 0 ? ,

B1 ? 2, 0, 2 ? , C1 ? 0, 2, 2 ? , A1 ? 0, 0, 2 ? , M ?1, 0,1? , N ?1,1, 2 ? . ????10 分
由 (1) 知

???? ? MA1







M

C 的A









量, MA1 ? ? ?1, 0,1? . 设平面 NMC 的法向量为 n ? ? x, y , z ? ,

???? ?

????11 分

?

???? ? ???? ? MN ? ? 0,1,1? , MC ? ? ?1, 2, ?1?

? ???? ? ?n ? MN ? 0 ? y ? z ? 0 ? y ? ?z ? ?? ?? ? ? ? ???? ?n ? MC ? 0 ?? x ? 2 y ? z ? 0 ? x ? ?3z ?
·19·

? ? n ? ? 3,1, ?1?
设向量 MA1 和向量 n 的夹角为 ? ,则

????12 分

???? ?

?

???? ? ? MA1 ? n cos ? ? ???? ? ? ? MA1 ? n

? ?1? ? 3 ? 0 ?1 ? 1? ? ?1? 2 2 ? ?1? ? 02 ? 12 ? 32 ? 12 ? ? ?1?


??

4 22
弦 值 为

?





N ? MC ? A

????13 分 的 的 正 ????14 分

1 ? cos 2 ? ? 1 ?

8 3 11 ? . 11 11

解 法 二 ( 几 何 法 ): 如 图 , 将 几 何 体 补 形 成 一 个 正 方 体 , 连 DC1 , CD1 交 于 点 O , 连 B1 A, B1O , 显 然, A, M , C , B1 , D1 , O 都在同一平面 ACB1 D1 上. 易证 B1O / / MC , C1O ? CD1 ,

A1 N B1 H M
Q

C1 D1 O
P

? B1 D1 ? 平面 CC1 DD1 , C1O ? 平面 CC1 DD1 ,
?C1O ? B1D1 ,又 B1D1 ? D1C ? O

? C1O ? 平面 ACB1 D1 .
取 B1O 中点 H ,连 NH ,

A B
B1

C D
D1

? N , H 分别是 B1O, B1C1 的中点

H M
Q

? NH / / C1O ,

O

? NH ? 平面 ACB1 D1 ,

????10 分

A

P

C

且 H 为垂足,即 NH ? 平面 AMC ,过点 O 作 OP ? MC 于 P , 过 H 作 HQ / /OP 交 MC 于 Q ,连 NQ , 则 ?NQH 即是所求二面角 N ? MC ? A 的补角. ????11 分 在 Rt ?MAC 中, CM ?

AC 2 ? AM 2 ? 22 ?

? 2?

2

? 6,

sin ?MCA ?

AM 2 1 1 6 ?? ? ? ? , , sin ?OCP ? sin ? ? ?MCA ? ? cos ?MCA ? 1 ? ? MC 3 3 6 3 ?2 ?
·20·

在 Rt ?OPC 中, sin ?OCP ?

OP 6 2 3 , ? OP ? 2 ? ? 3 3 2

? HQ ? OP ?

2 3 . 3

又 MH ?

1 2 C 1O ? . 2 2

?在 Rt ?NHQ
中, NQ ?

NH 2 ? HQ 2 ?

1 4 11 ? ? , 2 3 6

????12 分

2 NH 3 11 ? 2 ? . ? sin ?NQH = NQ 11 11 6

????13 分

? 所求二面角 N ? MC ? A 的正弦值为 sin ?? ? ?NQH ? ? sin ?NQH ?
14 分 19.(本小题 14 分)

3 11 . 11

????

(本小题主要考查数列通项、错位求和与不等式等知识,考查化归与转化、方程的数学思想方法, 以及运算求解能力) 解: ( 1)设等差数列 ?a n ?的公差为 d ,则由题设得:

? a1 ? 2d ? 5 ? ? ? a1 ? 4d ? 2 ? a1 ? d ? ? 3 ?
即?

? an ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1? n ? N ? ?

? a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 ,解得 ? ?d ? 2 ? ? a1 ? 2d ? 3

????1 分 ????2 分

? 3bn ? bn ?1 ? 0
? bn ?1 ? 3, ? n ? N ? ? bn

?数列 ?bn ? 是以 b1 ? 3 为首项,公比为 3 的等比数列. ????3 分
·21·

? bn ? 3 ? 3n ?1 ? 3n ? n ? N ? ? .
(2)由(1)可得 S n ?

????4 分

n ?1 ? 2n ? 1? 2

? n2 ,

????5 分

3 ? 3n ? 3 1 n ?1 ? ? 3 ? 3? . 1? 3 2 2 n ?1 n ? 3 ? 3 ? 3? ? n ? 3n ?1. ? cn ? n Tn ?
? M n ? c1 ? c2 ? c3 ? ?? ? cn?1 ? cn

????6 分 ??7 分

M n ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ?? ? ? n ? 1? ? 3n ? n ? 3n ?1 ???1?
1 3M n ? 1 3 ? ? 43 ?3 5? ?? ? ? n ? ? ? 1n ? ? n ? ? 3 2 ? 3 3 n? 2 ??? 3

?

2
????9 分

?1? ? ? 2 ? 得:
?

????8 分

?2M n ? 3 ? 3 ? 3 ? ?? ? 3
2 3 4

n ?1

? n?3

n ?2

32 ? 3n?1 ? 3 ? n ? 3n? 2 1? 3

?Mn ?

9 ?? 2n ? 1? ? 3n ? 1? ? n ? N ? ? . ????10 分 ? 4? 9 9 (3) M n ?1 ? M n ? ?? 2n ? 1? ? 3n ?1 ? 1? ? ?? 2n ? 1? ? 3n ? 1? ? ? 4? ? 4 n ? 9 ? n ? 1? ? 3 ? 0
M n ?1 ? M n , ? n ? N ? ?

?当 n ? 1 时, ? M n 取最小值, M1 ? 9 , 3 ?9 ? 9log m 4 3 即 log m ? 1 4 3 当 m ? 1时, log m ? 1 恒成立; 4 3 当 0 ? m ? 1 时,由 log m ? 1 ? log m m , 4 3 得m ? , 4 3 ?0 ? m ? . 4
3 ? ? ?实数 m 的取值范围是 ?m 0 ? m ? 或m ? 1? . 4 ? ?

????11 分

????12 分

????13 分

????14 分

·22·

20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识,考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法,考 查数学探究能力以及运算求解能力) 解: (1)由题设 F ? 0,

? ?

p? p? p? ? ? ? ,设 Q ? x1 , ? , 则 R ? ? x1 , ? ????1 分 2? 2? ? 2? ?
2

QR ?

? x ? ? ? x ??
1 1

? p p? ?? ? ? ?2 2?

2

? 2 x12 ? 2 2 p ?

p ? 2p. 2

????2 分

1 ?由 ?QRS 的面积为 4 ,得: ? 2 p ? p ? 4 ,得: p ? 2. ????4 分 2
(2)由题意 A1 ? ? x0 , y0 ? ????5 分 首先求抛物线 C 在点 A 关于对称轴的对称点 A1 处的切线的斜率. 解法一:设抛物线在 A1 处的切线的斜率为 k ,则其方程为

y ? k ? x ? x0 ? ? y0
联立 ?

????6 分

? y ? k ? x ? x0 ? ? y0 ?
2 ? x ? 2 py ?

得 x 2 ? 2 pkx ? 2 px0 k ? 2 py0 ? 0 将 2 py0 ? x0 2 代入上式得: x 2 ? 2 pkx ? 2 px0 k ? x0 2 ? 0 ????7 分

? ? ? ?2 pk ? ? 4 ? 2 px0 k ? x0 2 ? ? 0
2

????8 分

即 p 2 k 2 ? 2 px0 k ? x0 2 ? 0 即 ? pk ? x0 ? ? 0
2

得k ? ?

x0 . p x0 . ????9 分 p

即抛物线 C 在点 A 关于对称轴的对称点 A1 处的切线的斜率为 ?

解法二:由 x ? 2 py 得 y ?
2

1 2 x , 2p

????6 分

·23·

? y' ?

x p

????7 分

? 抛 物 线 C 在 点 A 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 A1 ? ? x0 , y0 ? 处 的 切 线 的 斜 率 为
? x0 . p
????9 分

再求直线 MN 的斜率. 解 法 一 : 设 直 线 AM 的 斜 率 为 k1 , 则 由 题 意 直 线 AN 的 斜 率 为 ????10 分

?k1 .

直线 AM 的的方程为 y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? ,则直线 AN 的的方程为 y ? y0 ? ? k1 ? x ? x0 ? . 联立 ?

? x 2 ? 2 py ? ? y ? k1 ? x ? x0 ? ? y0 ?
????11 分

得 x 2 ? 2 pk1 x ? 2 pk1 x0 ? x0 2 ? 0 ????(1)
2

2 ?方程(1)有两个根 x0 , x1 ,? ? ? ? ?2 pk1 ? ? 4 ? 2 px0 k1 ? x0 ? ? 0

? x0,1 ?

2 pk1 ? ? 2

x0 ? x1 ? 2 pk1 ,即 x1 ? 2 pk1 ? x0 ,同理可得 x2 ? ?2 pk1 ? x0 ????12 分
直线 MN 的

斜率 k MN

x2 2 x12 ? x y2 ? y1 2 p 2 p x1 ? x2 ?2 x0 ? ? ? ? ? ? 0 . ????13 分 x2 ? x1 x2 ? x1 2p 2p p

? 直 线 MN 的 斜 率 等 于 抛 物 线 C 在 点 A 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 A1 处 的 切 线 的 斜
率. 解法二:? k AM ? ?k AN ????14 分 ???10 分

?

y0 ? y1 y ? y2 ?? 0 x0 ? x1 x0 ? x2

????11 分

·24·

x0 2 x12 x0 2 x2 2 ? ? x0 2 x12 x2 2 2p 2p 2p 2p , y1 ? , y2 ? 将 y0 ? 分别代入上式得: , ?? x0 ? x1 x0 ? x2 2p 2p 2p
整理得 2x0 ? x1 ? x2 . ????12 分

?直线 MN 的
x2 2 x12 ? x y2 ? y1 2 p 2 p x1 ? x2 ?2 x0 ? ? ? ? ? ? 0 . ????13 分 x2 ? x1 x2 ? x1 2p 2p p

斜率 k MN

? 直 线 MN 的 斜 率 等 于 抛 物 线 C 在 点 A 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 A1 处 的 切 线 的 斜
率. ???14 分

21. (本小题满分 14 分)
(本小题主要考查导数、函数的单调性、不等式、最值、方程的根等知识,考查化归转化、分类讨 论、数形结和的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力) 解:(1) f ' ? x ? ?

1 ? 2 x ? 1, x?a

????1 分

? x ? 0 时, f ? x ? 取得极值,
? f ' ? 0 ? ? 0, ????2 分 1 故 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0, 解得 a ? 1. 经检验 a ? 1 符合题意. ????3 分 0?a
(2)由 a ? 1 知 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x,
2

5 3 x ? b ,得 ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? b ? 0, ????4 分 2 2 3 5 令 ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? b, 则 f ? x ? ? ? x ? b 在区间 ? 0, 2 ? 上恰有两个不同的实数根等价于 2 2
由 f ? x? ? ?

? ? x ? ? 0 在区间 ? 0, 2 ? 上恰有两个不同的实数根.
?' ? x? ?
1 3 ? ? 4 x ? 5 ?? x ? 1? ? 2x ? ? , x ?1 2 2 ? x ? 1?
'

????5 分

????6 分

当 x ? ? 0,1? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增; ????7 分 当 x ? ?1, 2? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?1, 2 ? 上单调递减.????8 分
'

·25·

?? ? 0 ? ? ?b ? 0 ? 3 ? 依题意有 ?? ?1? ? ln ?1 ? 1? ? 1 ? ? b ? 0 , 2 ? ?? ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? b ? 0 ? 1 解得, ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . 2
2

????9 分

????10 分

' (3) f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x 的定义域为 x x ? ?1 ,由(1)知 f ? x ? ?

?

?

? x ? 2 x ? 3?

? x ? 1?

,

令f

'

? x ? ? 0 得, x ? 0 或 x ? ?

3 (舍去), 2

????11 分

' ?当 ?1 ? x ? 0 时, f ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增;

当 x ? 0 时, f

'

? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减.

? f ? 0 ? 为 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上的最大值. ? f ? x ? ? f ? 0?
立) 对任意正整数 n ,取 x ? , 故

ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 0

(



且 仅 当

x?0



,

等 号



????12 分

1 ?0 n
????13 分

得, ln ?

?1 ? 1 1 ? 1? ? ? 2 , ?n ? n n

? n ?1 ? n ?1 ? ln ? ?? 2 . ? n ? n
故2?

3 4 n ?1 3 4 n ?1 ? ? ? ? 2 ? ln 2 ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln ? n ? 1? . 4 9 n 2 3 n
????14 分

试卷来源: “高中试卷网” http://sj.smez.net

广东省揭阳一中、潮州金山中学 2013 届高三上学期联合摸底考试

数学(理)试题
·26·

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求。 ) 1.若集合 M ? {x | ?2 ? x ? 3}, N ? { y | y ? x ? 1, x ? R}, 则集合M ? N =
2

A. (?2, ??)

B. (—2,3)

C.[1,3)

D.R

2.设 i 是虚数单位,复数 A.2 3.设 f ( x) ? ? A.8 C.6

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 的值为 2?i 1 B.—2 C. ? 2

D.

1 2

x ? 10 ?x ? 3 , 则f(6) 的值为 ? f [ f ( x ? 5)]x ? 10
B.7 D.5
2 2

4. " m ? n ? 0" 是方程 mx ? ny ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.1 B.3 C.6 D.2 6.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值为 A.1 C.

1 4

1 2 1 D. 8
B.

7.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,且

b2 ? a 2 ? ac ? c 2 , C ? A ? 90?, 则 cos A cos C ?

A.

1 4

B.—

1 4

C.

2 4

D.—

2 4

8 . 对 于 非 空 集 合 A , B , 定 义 运 算 : A ? B ? {x | x ? A ? B, 且x ? A ? B} , 已 知 M= {x | a ? x ? b}, N ? {x | c ? x ? d}, 其中 a、b、c、d 满足 a+b=c+d,ab<cd<0,则 M ? N=
·27·

A.(a,d) ?(b, c)

B. (c, a] ? [b, d )

C. (c, a) ? (b, d )

D. (a, c] ? [d , b)

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 ) (一)必选题(第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答) 9.若函数 f ( x) ? 1 ? log 2 x , 则f ( x) 的定义域是 .

?x ? y ? 5 ? 0 ? , 则z ? 2 x ? 4 y 10.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ?y ? 0 ?
的最小值是 11.如图, O : x ? y ?
2 2

.

?2
4

内的余弦函数 y ? cos x 的图像与 x 轴围成的区域记为 M(图中阴影部 .

分) ,随机向圆内投一个点 A,则点 A 落在区域 M 内的概率是 12.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点与抛线线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 5 , a 2 b2
.

则该双曲线的方程的

13.已知正项等比数列 {an } 满足: a7 ? a6 ? 2a5 , 若存在两项 am , an 使得 an an ? 4a, 则

1 4 ? 的 m n

最小值为 . (二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题,两道题都做的,只记第一题的分) 14. (内何证明选讲选做题)如图,A、E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC=3,AD⊥BC,垂足为 D,BE 与 AD 相交于点 F,则 AF 的长为 . 15. (坐标系与参数方程选做题)已知直线

? x ? ?4 ? t , ? x ? ?1 ? 2 cos ? l:? (t为参数)与圆C : ? ( ? 为参数) ?y ? 3? t ? y ? 2 ? 2sin ?
的公共点个数为 个 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (4,5cos ? ), b ? (3, ?4 tan ? ), ? ? (0,

?

?

? ?
2

? ), a ? b ,求:

? ? (1) | a ? b | ;
(2) cos(2? ?

?
4

) 的值.

17.某市为办好一次文化旅游节,组委会准备在 A 高校和 B 高校分别招募 8 名和 12 名志愿者,将送
·28·

20 名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位:cm) ,若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为 “高个子” ,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子” ,且只有 B 高校的“高个 子”才能担任“兼职导游” 。 (1)根据志愿者的身高编成茎叶图,指出 B 高校身高的中位数。 (2)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人, 那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (3)若从所有“高个子”中选 34 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者能担任“兼职导游”的人数, 试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.

18.如图所示的长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,O 为 AC 与 BD 的 交点, BB 1 ?

2, M 是线段B1 D1 的中点。

(1)求证:BM//平面 D1AC; (2)求证:D1O⊥平面 AB1C; (3)求二面角 B—AB—C 的大小。

·29·

19.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且S1 ? 1 ? an (n ? N *). (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 , cn ? log 1 an
2

bn bn ?1 n ?1 ? n

, 记Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn , 证明 : Tn ? 1.

20. (1)求圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(4,4) ,试探究斜率为 k 的直线 PF1 与圆 C 能否相切,若能,求出椭圆 E 和直线 PF1 的方程,若不能,请说明理由。

21.已知函数 f ( x) ? b( x ? 1) ln x ? x ? 1, 斜率为l 的直线与函数 f ( x) 的图象相切于(1,0)点。 (Ⅰ)求 h( x) ? f ( x) ? x ln x 的单调区间; (Ⅱ)当实数 0 ? a ? 1 时,讨论 g ( x) ? f ( x) ? (a ? x) ln x ?

1 2 ax 的极值点. 2

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试卷来源: “高中试卷网” http://sj.smez.net
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