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2013届高考数学压轴题练习25


高考数学压轴题练习 25
椭圆 x
a
2 2

?

y b

2 2

右焦点分别为 ? 1( a ? b ? 0 ) 的左、

F1、 2, F1 的直线 l 与椭圆交于 A、 F 过

B 两点 . (1)如果点 A 在圆 x 2 心率; (2)若函数 y a) , 求 F 2 A ? F 2 B 的取值范围。
【 解析】 : (1)∵点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? c 2 上 ,? ? AF 1 F 2 为一直角三角形
?| F1 A |? c , | F1 F 2 |? 2 c ?| F 2 A |? | F1 F 2 | ? | AF 1 |
2 2

? y

2

?c

2

(c 为椭圆的半焦距)上,且|F1A|=c,求椭圆的离

?

2 ? log

m

x ( m ? 0 且 m ? 1) 的图象,无论

m 为何值 时恒过定点(b,



?

3c

由椭圆的定义知:|AF1|+|A F2|=2a,
?c? 3c ? 2 a ?e ? c a ? 2 1? 3
2)

?

3 ?1
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

(2)∵函数 y ? ∴a ?

2 ? log m x的 图 象 恒 过 点 (1,

2 , b ? 1, c ? 1,

点 F1(-1,0) 2(1,0) ,F , ①若 AB ? x 轴 , 则 A ( ? 1,
???? ?
2 2 ), B ( ? 1, ? 2 2 ),

∴ F2 A ? ( ? 2,

2 2

???? ? ), F2 B ? ( ? 2, ?

???? ???? ? ? 1 7 ), F2 A ? F 2 B ? 4 ? ? 2 2 2 2

[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k,则 AB 的方程为 y=k(x+1)
? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 由? 2 消去 y 得 (1 ? 2 k ) x ? 4 k x ? 2 ( k ? 1) ? 0 …………(*) 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0
? ? ? 8 k ? 8 ? 0 ,? 方程(*)有两个不同的实根.
2

设点 A(x1,y1 ) ,B(x2,y2) ,则 x 1 ,x2 是方程(*)的两个根
x1 ? x 2 ? ? 4k
2 2

1 ? 2k

, x1 x 2 ?

2(k

2

? 1)
2

1 ? 2k

F 2 A ? ( x 1 ? 1, y 1 ), F 2 B ? ( x 2 ? 1, y 2 ),
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F 2 A ? F 2 B ? ( x 1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y 1 y 2 ? (1 ? k ) x 1 x 2 ? ( k
2

2

? 1)( x 1 ? x 2 ) ? 1 ? k
2

2

? (1 ? k )
2

2(k

2

? 1)
2

1 ? 2k

? (k

2

? 1)( ?

4k

2 2

1 ? 2k

) ?1? k

2

?

7k

?1
2

1 ? 2k

?

7 2

?

9 2 (1 ? 2 k )
2
[来源:学。科。网][来源:学科网]

? 1 ? 2k

2

? 1,? 0 ? 7 2

1 1 ? 2k ?
2

? 1, 0 ? 9 ?

9 2 (1 ? 2 k )
2

?

9 2

? 1 ? F2 A ? F2 B ?

7 2

2 (1 ? 2 k )
2

,

由①②知 ? 1 ? F 2 A ? F 2 B ?

7 2

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