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2010届高三数学一轮复习必备精品:数列


第九章
考纲导读

数列

1、理解数列的概念,了解数列通项公式的意义.了解递推公式是给出数列的一种方法,并能 根据递推公式写出数列的前几项. 2、理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式,并能解决简单的实际 问题. 3、理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际问 题.

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定义 项,通项 数列基础知识 数列表示法 数列分类 数列 等差数列 等比数列 特殊数列 定义 通项公式 前n项和公式 性质 其他特殊数列求和

高考导航 纵观近几年高考试题,对数列的考查已从最低谷走出,估计以后几年对数列的考查的比 重仍不会减小,等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式的应用是必考内容, 数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点. 从解题思想方法的规律着眼,主要有:① 方程思想的应用,利用公式列方程(组),例如等差、 等比数列中的“知三求二”问题;② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题;③ 待 定系数法、分类讨论等方法的应用.

第 1 课时
基础过关

数列的概念

1.数列的概念:数列是按一定的顺序排列的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数 N*或其子集{1,2,3,……n}的函数 f(n).数列的一般形式为 a1,a2,…,an…,简记为{an}, 其中 an 是数列{an}的第 项. 2.数列的通项公式 一个数列{an}的 与 之间的函数关系,如果可用一个公式 an=f(n)来表示,

我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式. 3.在数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系为:
? ? aa n n?? ? ? ? n ?1 n?2

4.求数列的通项公式的其它方法 ⑴ 公式法:等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法. ⑵ 观察归纳法:先观察哪些因素随项数 n 的变化而变化,哪些因素不变;初步归纳出公式, 再取 n 的特珠值进行检验,最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明. ⑶ 递推关系法:先观察数列相邻项间的递推关系,将它们一般化,得到的数列普遍的递推关 系,再通过代数方法由递推关系求出通项公式 典型例题 例 1. 根据下面各数列的前 n 项的值,写出数列的一个通项公式. ⑴ -
2 4 8 16 , ,- , …; 3? 5 5? 7 7?9 1? 3

⑵ 1,2,6,13,23,36,…; ⑶ 1,1,2,2,3,3, 解: ⑴ an=(-1)n
1 2

2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1)

⑵ an= (3n 2 ? 7n ? 6) (提示:a2-a1=1,a3-a2=4,a4-a3=7,a5-a4=10,…,an-an-1=1+3(n-2)=3n-5.各 式相加得
a n ? 1 ? [1 ? 4 ? 7 ? 10 ? ? ? (3n ? 5)] ? 1? ? 1 (n ? 1)(3n ? 4) 2

1 (3n 2 ? 7n ? 6) 2
1?1 2 ? 0 3 ?1 , , , 2 2 2

⑶ 将 1,1,2,2,3,3,…变形为
4 ? 0 5 ?1 6 ? 0 , , , ?, 2 2 2

∴ an ?

n?

1 ? (?1) n ?1 2 2

?

2n ? 1 ? (?1) n ?1 4

变式训练 1.某数列{an}的前四项为 0, 2 ,0, 2 ,则以下各式: ① an=
2 [1+(-1)n] 2
?0 ( n为奇数)

② an= 1 ? (?1)n

? ③ an= ? 2 (n为偶数)

其中可作为{an}的通项公式的是 A.① B.①② C.②③ D.①②③

( )

解:D 例 2. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求通项. ⑴ Sn=3n-2 ⑵ Sn=n2+3n+1 解 ⑴ an=Sn-Sn-1 (n≥2) a1=S1 解得:an= ? 2 ? 3
?1 ?
n ?1

(n ? 2) (n ? 1)

⑵ an= ?

(n ? 1) ?5 2 n ? 2 (n ? 2) ?

变式训练 2:已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 满足关系式 lg(Sn-1)=n,(n∈N*),则数列{an}的 通项公式为 . 解:lg(S n ?1) ? n ?S n ?1 ? 10 n ?S n ? 10n ? 1, 当 n=1 时,a1=S1=11;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=10n -10n 1=9· 10 n 1.故 an= ?
- -

( n ? 1) ?11 ? n ?1 ?9 ? 10 ( n ? 2) ?

例 3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系,探求其通项公式. ⑴ a1=1,an=2an-1+1 (n≥2) ⑵ a1=1,an= a n ?1 ?3 n ?1 (n≥2) ⑶ a1=1,an=
n ?1 a n ?1 n

(n≥2)

解:⑴ an=2an-1+1 ? (an+1)=2(an-1+1)(n≥2),a1+1=2.故:a1+1=2n,∴an=2n-1. - - ⑵an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=3n 1+3n 2+…+33+ 3+1= (3n ? 1) . (3)∵
an n ?1 ? a n?1 n a n a n?1 a n?2 a n ?1 n ? 2 ? ? ? ?? 2 ?a1 ? ? ? a n?1 a n?2 a n?3 a1 n n ?1
1 2

∴an=

n?3 1 1 ? ? ? ?1 ? n?2 2 n

变式训练 3.已知数列{an}中,a1=1,an+1= 解:方法一:由 an+1=
2a n 得 a n ?2

2a n (n∈N*),求该数列的通项公式. a n ?2

1 1 1 1 1 1 }是以 ? 1 为首项, 为公差的等差数列. ? ? ,∴{ 2 a n?1 a n 2 an a1



1 2 1 =1+(n-1)· ,即 an= n ?1 2 an
2 ,然后用数学归纳证明. n ?1

方法二:求出前 5 项,归纳猜想出 an=


例 4. 已知函数 f ( x) =2x-2 x,数列{an}满足 f (log 2 an ) =-2n,求数列{an}通项公式. 解: f (log 2 an ) ? 2log 2 an ? 2 ? log 2 an ? ?2n
an ? 1 ? ?2n 得 an ? n 2 ? 1 ? n an

变式训练 4.知数列{an}的首项 a1=5.前 n 项和为 Sn 且 Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*) . (1) 证明数列{an+1}是等比数列; (2) 令 f (x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数 f (x)在点 x=1 处导数 f 1 (1). 解:(1) 由已知 Sn+1=2Sn+n+5,∴ n≥2 时,Sn=2Sn-1+n+4,两式相减,得: Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即 an+1=2an+1 从而 an+1+1=2(an+1) 当 n=1 时,S2=2S1+1+5,∴ a1+a2=2a1+6, 又 a1=5,∴ a2=11 ∴
an ?1 ? 1 =2,即{an+1}是以 a1+1=6 为首项,2 为公比的等比数列. an ? 1

(2) 由(1)知 an=3× 2n-1 ∵ f ( x) =a1x+a2x2+…+anxn - ∴ f ' ( x) =a1+2a2x+…+nanxn 1 从而 f ' (1) =a1+2a2+…+nan =(3× 2-1)+2(3× 22-1)+…+n(3× 2n-1) =3(2+2× 22+…+n× 2n)-(1+2+…+n) =3[n× 2n 1-(2+…+2n)]-


n(n ? 1) 2

=3(n-1)· 2 n 1-


n(n ? 1) +6 2

归纳小结 1.根据数列的前几项,写出它的一个通项公式,关键在于找出这些项与项数之间的关系,常 用的方法有观察法、通项法,转化为特殊数列法等 2.由 Sn 求 an 时,用公式 an=Sn-Sn-1 要注意 n≥2 这个条件,a1 应由 a1=S1 来确定,最后看二 者能否统一. 3.由递推公式求通项公式的常见形式有:an+1-an=f(n), 累加法、累乘法、迭代法(或换元法) .
an?1 =f(n),an+1=pan+q,分别用 an

第 2 课时
基础过关

等差数列

1.等差数列的定义: - =d(d 为常数) . 2.等差数列的通项公式: ⑴ an=a1+ × d ⑵ an=am+ × d 3.等差数列的前 n 项和公式: Sn= = . 4.等差中项:如果 a、b、c 成等差数列,则 b 叫做 a 与 c 的等差中项,即 b= 5.数列{an}是等差数列的两个充要条件是: ⑴ 数列{an}的通项公式可写成 an=pn+q(p, q∈R) ⑵ 数列{an}的前 n 项和公式可写成 Sn=an2+bn (a, b∈R)



6.等差数列{an}的两个重要性质: ⑴ m, n, p, q∈N*,若 m+n=p+q,则 . ⑵ 数列{an}的前 n 项和为 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成 典型例题 例 1. 在等差数列{an}中, (1)已知 a15=10,a45=90,求 a60; (2)已知 S12=84,S20=460,求 S28; (3)已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8.
82 ? a ?? ? ?a15 ?a1 ?14d ? 10 ? 1 3 解:(1)方法一: ? ?? ?a 45 ?a1 ?44d ? 90 ?d ? 8 ? 3 ?

数列.

∴a60=a1+59d=130.
d? 方法二: a n ?a m a 45 ?a15 8 8 ? ? , 由 an=am+(n-m)d ? a60=a45+(60-45)d=90+15× =130. n?m 45 ? 15 3 3

(2)不妨设 Sn=An2+Bn, ∴? ?
?12 2 A ? 12B ? 84
2 ? ?20 A ? 20B ? 460

?A ? 2 ?? ?B ? ?17

∴Sn=2n2-17n ∴S28=2× 282-17× 28=1092 (3)∵S6=S5+a6=5+10=15, 又 S6= ∴15= 而 d=
6(a1 ? a 6 ) 6(a1 ?10) ? 2 2 6(a1 ?10) 即 a1=-5 2 a 6 ?a1 ?3 6 ?1

∴a8=a6+2 d=16 S8=
8(a1 ?a 8 ) ? 44 2

变式训练 1.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10= 解:∵d=a6-a5=-5, ∴a4+a5+…+a10=
7(a 4 ?a10 ) ? 7(a 5 ?2d ) ? ?49 2



例 2. 已知数列{an}满足 a1=2a, an=2a- ⑴ 求证:数列{bn}是等差数列. ⑵ 求数列{an}的通项公式. 解:∵ ⑴ an=2a-
a2 an ?1

a2 1 (n≥2) .其中 a 是不为 0 的常数,令 bn= . an ?1 an ? a

(n≥2)

∴ bn=

1 ? an ? a

1 a2 a? an ?1

?

an ?1 a (an ?1 ? a )

(n≥2)

∴ bn-bn-1=

an ?1 1 1 ? ? a(an ?1 ? a) an ?1 ? a a
1 的等差数列. a

(n≥2)

∴ 数列{bn}是公差为 ⑵ ∵ b1=
1 1 = a a1 ? a

故由⑴得:bn= 即:
n 1 = a an ? a

1 1 n +(n-1)× = a a a

得:an=a(1+

1 ) n
a

变式训练 2.已知公比为 3 的等比数列 ?bn ? 与数列 ?an ? 满足 bn ? 3 n , n ? N * ,且 a1 ? 1 , (1)判断 ?an ? 是何种数列,并给出证明; (2)若 C n ?

1 ,求数列 ?C n ? 的前 n 项和 a n a n ?1

解:1)

bn ?1 3an?1 ? a ? 3an?1 ? an ? 3,? an ?1 ? an ? 1 ,即 bn 3n

?an ? 为等差数列。

(2) Cn ?

1 1 1 1 1 1 n ? ? ,? S n ? ? ? 1? ? 。 an an ?1 an an ?1 a1 an ?1 an ?1 n ? 1
Sn } n

例 3. 已知{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{ 前 n 项和。求 Tn. 解:设{an}首项为 a1 公差为 d,由
7?6 ? S ? 7a1 ? d ?7 ? ? a1 ? ?2 ? 7 2 ?? ? ? d ?1 ? S ? 15a ? 15 ?14 d ? 75 15 1 ? 2 ?

∴ Sn= n 2 ? n ∴
S1 ? ?3 1

1 2

5 2

Sn 1 5 ?? n? n 2 2
1 4 11 n 4

∴Tn= ? n 2 ?

变式训练 3.两等差数列{an}、{bn}的前 n 项和的比 A.

S n 5n ? 3 a ? ,则 5 的值是 ' S n 2n ? 7 b5





28 17

B.

48 25

C.

53 27

D.

23 15

9 (a1 ? a9 ) ? a5 2a5 2 ? S9 ? 48 。 解:B 解析: ? ? 9 b5 2b5 (b ? b ) ? S9 25 1 9 2

例 4. 美国某公司给员工加工资有两个方案:一是每年年末加 1000 美元;二是每半年结束时 加 300 美元.问: ⑴ 从第几年开始,第二种方案比第一种方案总共加的工资多? ⑵ 如果在该公司干 10 年,问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元? ⑶ 如果第二种方案中每半年加 300 美元改为每半年加 a 美元. 问 a 取何值时,总是选择第二种方案比第一种方案多加工资? 解:⑴ 设工作年数为 n(n∈N*) ,第一种方案总共加的工资为 S1,第二种方案总共加的工资 为 S2.则: S1=1000× 1+1000× 2+1000× 3+…+1000n =500(n+1)n S2=300× 1+300× 2+300× 3+…+300× 2n =300(2n+1)n 由 S2>S1,即:300(2n+1)n>500(n+1)n 解得:n>2 ∴ 从第 3 年开始,第二种方案比第一种方案总共加的工资多. ⑵ 当 n=10 时,由⑴得:S1=500× 10× 11=55000 S2=300× 10× 21=63000 ∴ S2-S1=8000 ∴ 在该公司干 10 年,选第二种方案比选第一种方案多加工资 8000 美元. ⑶ 若第二种方案中的 300 美元改成 a 美元. 则 S1 2 =an(2n+1) ∴ a> =
1000 3

n∈N*

500(n ? 1) 250 250 =250+ ≥250+ 2n ? 1 2n ? 1 3

变式训练 4.假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计在 今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房 的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方 米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%? 解:(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中 a1=250,d=50,则 Sn=250n+

n( n ? 1) ? 50 =25n2+225n, 2

令 25n2+225n≥4750,即 n2+9n-190≥0,而 n 是正整数, ∴n≥10. 到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列, 其中 b1=400,q=1.08,则 bn=400· (1.08)n-1· 0.85. 由题意可知 an>0.85 bn,有 250+(n-1)· 50>400· (1.08)n-1· 0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6. 到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 归纳小结

1.欲证{an}为等差数列,最常见的做法是证明:an+1-an=d(d 是一个与 n 无关的常数). 2.a1,d 是等差数列的最关键的基本量,通常是先求出 a1,d,再求其他的量,但有时运算较 繁. 3.对等差数列{an}的最后若干项的求和,可以把数列各项的顺序颠倒,看成公差为-d 的等差 数列进行求和. 4.遇到与等差数列有关的实际问题,须弄清是求项的问题还是求和的问题.

第 3 课时
基础过关 1.等比数列的定义:
( (

等比数列

) =q(q 为不等于零的常数) . )

2.等比数列的通项公式: - - ⑴ an=a1qn 1 ⑵ an=amqn m 3.等比数列的前 n 项和公式: Sn= ?
? ? ? ? ( q ? 1) ( q ? 1)

4.等比中项:如果 a,b,c 成等比数列,那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项,即 b2= b= ) . 5.等比数列{an}的几个重要性质: ⑴ m,n,p,q∈N*,若 m+n=p+q,则 . ⑵ Sn 是等比数列{an}的前 n 项和且 Sn≠0,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成 数列. ⑶ 若等比数列{an}的前 n 项和 Sn 满足{Sn}是等差数列,则{an}的公比 q= . 典型例题

(或

例 1. 已知等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求项数 n 和公比 q 的值. 解:∵{an}是等比数列, ∴a1· an=a2· an-1, ∴?
?a1 ? a n ? 66 ?a ? 2 ?a ? 64 ,解得 ? 1 或? 1 ?a n ? 64 ?a n ? 2 ?a1 ?a n ? 128


若 a1=2,an=64,则 2· qn 1=64 ∴qn=32q 由 Sn=
a1 (1 ? q n ) 2(1 ? 32q) ? ? 126 , 1? q 1? q

解得 q=2,于是 n=6 - 若 a1=64,an=2,则 64· qn 1=2 ∴qn=
1 q 32

a (1 ? q n ) 由 Sn= 1 ? 1? q

64(1 ?

1 q) 32 ? 126 1? q

解得 q= ,n=6 变式训练 1.已知等比数列{an}中,a1· a9=64,a3+a7=20,则 a11= 解:64 或 1 .

1 2

由? ?

a1 ? a9 ? 64 ? a a ? 64 ?? 3 7 ? a3 ? a7 ? 20 ? a3 ? a7 ? 20

a3 ? 4 ? a ? 16 或? ?? 3 ? a ? 16 a ? 4 ? 7 ? 7

∴ q2= 或 q2=2,∴ a11=a7 q2,∴ a11=64 或 a11=1

1 2

例 2. 设等比数列{an}的公比为 q(q>0),它的前 n 项和为 40,前 2n 项和为 3280,且前 n 项中 数值最大项为 27,求数列的第 2n 项.
? a1 (1 ? q n ) ? 40 ? 1? q 解:若 q=1,则 na1=40,2na1=3280 矛盾,∴ q≠1.∴ ? ? 2n ? a1 (1 ? q ) ? 3280 ? 1? q ?

两式相除得:qn=81,q=1+2a1 又∵q>0,∴ q>1,a1>0 ∴ {an}是递增数列. ∴ an=27=a1qn 1=


a1 ? 81 1 ? 2a1

解得 a1=1,q=3,n=4 变式训练 2.已知等比数列{an}前 n 项和 Sn=2n-1,{an2}前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. 解:(1) ∵a1+2a22=0,∴公比 q= 又∵S4-S2= , 将 q=- 代入上式得 a1=1, ∴an=a1qn 1=(- ) n


a2 1 ?? a1 2

1 8

1 2

1 2

-1

(n∈N*)

(2) an≥
? n≤5

1 1 n-1 1 4 ≥( ) ? (- ) 16 2 2

∴原不等式的解为 n=1 或 n=3 或 n=5. 例 3. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数 的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数. 解:设这四个数为 a-d,a,a+d,
? (a ? d ) 2 ? 16 ? a?d ? 依题意有: ? a ? a ? a ? d ? 12 ?

(a ? d ) 2 a

解得: ?

? a?4 ? a?9 或 ? d ? 4 ? ? d ? ?6

∴ 这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 变式训练 3.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S6 ? 36, Sn ? 324, Sn?6 ? 144(n ? 6) ,则 n 等于 ( ) A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

答案: D。解析:由 Sn ? 324, Sn ?6 ? 144 得 an ? an ?1 ? an ?2 ? an ?3 ? an ? 4 ? an ?5 ? 180 ,再由

n(a1 ? an ) ? 324,? n ? 18 。 2 例 4. 已知函数 f(x)=(x-1)2,数列{an}是公差为 d 的等差数列,数列{bn}是公比为 q 的等比数 S6 ? 326,? a1 ? an ? 36,? Sn ?

列(q≠1),若 a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q-1),b3=f(q+1), (1) 求数列{an},{bn}的通项公式; (2) 设数列{cn}对任意的自然数 n 均有: 解:(1) a1=(d-2)2,a3=d2,a3-a1=2d 即 d2-(d-2)2=2d,解之得 d=2 ∴a1=0,an=2(n-1) 又 b1=(q-2)2,b3=q2,b3=b1q2 即 q2=(q-2)2 q2,解之得 q=3 - ∴b1=1,bn=3n 1 (2)
Cn ? (n ? 1)a n?1?na n ? 4n, c n ? 4n ? 3n?1 bn c c1 c 2 ? ? ? ? n ? (n ? 1)a n?1 ,求数列{cn}前 n 项和 Sn. b1 b 2 bn

Sn=C1+C2+C3+…+Cn - =4(1× 3° +2× 31+3× 32+…+n× 3 n 1)
' ? 1× 设 Sn 3° +2× 3? +3× 32+…+n× 3n
-1

' ? 1× 3 Sn 31+2× 32+3× 33+…+n× 3n

2 3 n 1 ' ? 1+3+3 +3 +…+3 -2 S n -n× 3 n=


1(3n ? 1) -3 n· n 2

' Sn ?

n n 3n ? 1 ?3 ? 2 4

∴Sn=2n· 3n-3n+1 变式训练 4.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是 等比数列{bn}的第二项,第三项,第四项. ⑴求数列{an}与{bn}的通项公式; ⑵设数列{cn}对任意正整数 n,均有

c c1 c2 c3 ? ? ? ?? ? n ? an?1 ,求 c1+c2+c3+…+c2007 b1 b2 b3 bn

的值. - 解:⑴由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0) 解得 d=2,∴an=2n-1,bn=3n 1. ⑵当 n=1 时,c1=3 当 n≥2 时,∵

cn ?3(n ? 1) 故 cn ? 2 ? 3n?1 ? an ?1 ? an , ∴ cn ? ? n ?1 bn ?2 ? 3 (n ? 2)

? c1 ? c2 ??? c2007 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ??? 2 ? 32006 ? 32007

归纳小结 1.在等比数列的求和公式中,当公比 q≠1 时,适用公式 Sn=
a1 (1 ? q n ) ,且要注意 n 表示项数; 1? q

当 q=1 时,适用公式 Sn=na1;若 q 的范围未确定时,应对 q=1 和 q≠1 讨论求和. 2.在等比数列中,若公比 q > 0 且 q≠1 时,可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最 小项. 3.若有四个数构成的函数,前三个成等差数列,后三个成等比数列时,关键是如何巧妙地设

这四个数,一般是设为 x-d,x,x+d,

(x ? d )2 再依题意列出方程求 x、d 即可. x

4.a1 与 q 是等比数列{an}中最活跃的两个基本量.

第 4 课时
基础过关

等差数列和等比数列的综合应用

1.等差数列的常用性质: ⑴ m,n,p,r∈N*,若 m+n=p+r,则有 . * ⑵ {an}是等差数列, 则{akn} (k∈N ,k 为常数)是 数列. ⑶ Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成 数列. 2.在等差数列中,求 Sn 的最大(小)值,关键是找出某一项,使这一项及它前面的项皆取正(负) 值或 0,而它后面的各项皆取负(正)值.
an ? 0 ⑴ a1> 0,d <0 时,解不等式组 ? 可解得 Sn 达到最 ? ? an ?1 ? 0

值时 n 的值.

⑵ a1<0,d>0 时,解不等式组 ?

? ? ? ?

可解得 Sn 达到最小值时 n 的值.

3.等比数列的常用性质: ⑴ m,n,p,r∈N*,若 m+n=p+r,则有
1 ⑵ {an}是等比数列,则{a 2 }是 n }、{ an

. 数列. 数列.

⑶ 若 Sn≠0,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成 典型例题

例 1. 是否存在互不相等的三个实数 a、b、c,使它们同时满足以下三个条件: ① a+b+c=6 ② a、b、c 成等差数列. ③ 将 a、b、c 适当排列后成等比数列. 解:设存在这样的三位数 a,b,c. 由 a+b+c=6,2b=a+c 得:b=2,a+c=4 ① 若 b 为等比中项,则 ac=4,∴ a=c=2 与题设 a≠c 相矛盾. ② 若 a 为等比中项,则 a2=2c,则 a=c=2(舍去)或 a=-4,c=8. ③ 若 c 为等比中项,则 c2=2a,解得 c=a=2(舍去)或 c=-4,a=8. ∴存在着满足条件的三个数:-4,2,8 或 8,2,-4.
1 1 1 变式训练 1.若 a、 b、 c 成等差数列, b、 c、 d 成等比数列, , , 成等差数列, 则 a、 c、 e成 ( c d e



A.等差数列 C.既成等差数列又成等比数列

B.等比数列 D.以上答案都不是

a?c 2 1 1 2c 2 2 答案:B。解析:由 2b ? a ? c,? b ? ,由 c ? bd ,? d ? ,由 ? ? , 2 d c e a?c


a?c c?e ? ,? c 2 ? ae ,即 a , c , e 成等比数列。 c2 ce

例 2. 已知公差大于 0 的等差数列{ 求数列{an}的通项公式 an. 解:设{ ∴( ∴(

1 }满足 a2a4+a4a6+a6a2=1,a2,a4,a8 依次成等比数列, an

1 1 1 1 }的公差为 d(d>0),由 a2,a4,a8 成等比数列可知 , , 也成等比数列, an a2 a4 a8

1 2 1 1 )= · a4 a 2 a8 1 1 1 +3d)2=( +d)( +7d) a1 a1 a1 d 1 ,∴ =d a1 a1

化简得 d2=

又 a2a4+a4a6+a6a2=1 化简为
1 1 1 1 + + = a2 a4 a6 a2 a4 a6

∴3· = ∴

1 a4

1 1 · a2 a6 a4

1 1 1 1 · =3,即( +d)( +5d)=3 a2 a6 a1 a1
1 2 1 1 = 2 a1

2d· 6d=3 ∴d= , ∴

n 1 1 = +(n-1)d= 2 an a1

∴an=

2 n

1 1 1 b?c a?c a?b , , 成等差数列,求证: , , 也成等差数列。 a b c a b c 1 1 1 2 1 1 解析:由 , , 成等差数列,则 ? ? ,? 2ac ? b(a ? c), a b c b a c
变式训练 2.已知 ∴ 即
b ? c a ? b (b ? c) ? c ? a(a ? b) bc ? c2 ? a2 ? ab b(a ? c) ? a 2 ? c2 (a ? c)2 2(a ? c) ? ? ? ? ? ? a c ac ac ac ac b
b?c a ?c a ?b 成等差数列。 , , a b c

例 3. 已知△ABC 中,三内角 A、B、C 的度数成等差数列,边 a、b、c 依次成等比数列.求 证:△ABC 是等边三角形. 解:由 2B=A+C,且 A+B+C=180° ,B=60° ,由 a、b、c 成等比数列,有 b2=ac cosB=
1 a2 ? c2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac = = 2 2ac 2ac

得(a-c)2=0,∴ a=c ∴△ABC 为等边三角形. 变式训练 3.若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列, c 、 a 、 b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a = ( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4

?a ? c ? 2b, ? 2 ? 答案: D.解析:依题意有 ?bc ? a , ?a ? 3b ? c ? 10. ?

? a ? ?4, ? ?b ? 2, ?c ? 8. ?
1 3

例 4. 数列{an}的前 n 项和 Sn,且 a1=1,an+1= Sn,n=1,2,3…… 求:⑴ a2、a3、a4 的值及{an}的通项公式; ⑵ a2+a4+a6+…+a2n 的值. 解析:(1)由 a1=1,an+1= Sn,n=1,2,3,…得 a2= S1= a1= ,a3= S2= (a1+a2) = ,a4= S3= (a1+a2+a3)=
1 3 1 3 4 9 1 3 1 3
16 27

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

由 an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n≥2),得 an+1= an(n≥2),又 a2= ,∴an= · ( )n 2(n≥2)


4 3

1 3

1 3

4 3

∴ {an}通项公式为 an= ? ?1 4

? 1 n ?1 ?( ) ? ?3 3
n?2

n?2
1 3 4 3

(2) 由(1)可知 a2、a4、…a2n 是首项为 ,公比为( )2,项数为 n 的等比数列.
4 1 ? ( ) 2n 1 ∴ a2+a4+a6+…+a2n= × 3 3 1 ? ( 4 )2 3

= [( )2n-1] 变式训练 4.设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ? 求首项 a1 与通项 an 。 解析: (I) a1 ? S1 ?

3 7

4 3

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1,2,3...... 3 3 3

所以数列 所以:

4 1 2 a1 ? ? 22 ? ,解得: a1 ? 2 3 3 3 4 4 1 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an?1 ? an ? ? 2n?2 ? 2n?1 ? ? a ? 2n?1 ? 4 ? a ? 2n ? n ?1 n 3 3 3 n ?an ? 2 ?
an ? 2 ? ? a1 ? 21 ? ? 4n?1
n

是公比为 4 的等比数列

n n 得: an ? 4 ? 2

(其中 n 为正整数)

归纳小结 1.在三个数成等差(或等比)时,可用等差(或等比)中项公式;在三个以上的数成等差(或 等比)时,可用性质:m、n、p、r∈N*,若 m+n=p+r,则 am+an=ap+ar(或 am· an=ap· ar) 进行解答. 2.若 a、b、c 成等差(或等比)数列,则有 2b=a+c(或 b2=ac) . 3.遇到与三角形相关的问题时,一般要注意运用正弦定理(或余弦定理)及三角形内角和等

于 180° 这一性质. 4.在涉及 an 与 Sn 相关式子中用 Sn-1 和 Sn 的关系表示 an 时应该注意“n≥2”这个特点.

第 5 课时
基础过关

数列求和

求数列的前 n 项和,一般有下列几种方法: 1.等差数列的前 n 项和公式: Sn= = . 2.等比数列的前 n 项和公式: ① 当 q=1 时,Sn= . ② 当 q≠1 时,Sn= . 3.倒序相加法:将一个数列倒过来排列与原数列相加.主要用于倒序相加后对应项之和有公 因子可提的数列求和. 4.错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. 5.裂项求和法:把一个数列分成几个可直接求和的数列. 典型例题
1? 1 ? ? 1 1? ? 1 1 1? ? 1 1 例 1. 已知数列:1, ? ?1 ? ? , ?1 ? ? ? , ?1 ? ? ? ? ,…, ?1 ? ? ? ? n?1 ? ,求它的前 n ? 2? ? 2 4? ? 2 4 8?
? 2 4 2 ?

项的和 Sn. 解:∵ an=1+ + +……+
1 n 1 ? ? = 2 ? 2?1 ? n ? 1 2 ? ? 1? 2 1?

1 2

1 4

1 2 n?1

∴an=2-

1 2
n?1

则原数列可以表示为:
1? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? (2-1), ? ? 2 ? ? , ? 2 ? 2 ? , ? 2 ? 3 ? ,… ? 2 ? n?1 ? ? 2?
? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?

1? 1 ? 1 ? ? ? 前 n 项和 Sn=(2-1)+ ? ? 2 ? ? + ? 2 ? 2 ? +…+? 2 ? n?1 ? ? 2?
? 2 ? ? 2

=2n- ? ?1 ? ?
? 1 2
1?

1 1 ? ? ? ? n?1 ? 2 2 2 ?

1 n 1 ? =2n- 2 =2n-2 ? ?1 ? n ? 1 ? 2 ? 1? 2



1 +2n-2 2 n?1

变式训练 1.数列 1 ,2

1 2

1 1 1 ,3 ,4 , ? 前 n 项的和为 4 8 16
B. ?





A.

1 n2 ? n ? 2 2n

1 n2 ? n ? ?1 2 2n

C. ?

1 n2 ? n ? 2 2n
n

D. ?

1 2 n ?1
1 2

?

n2 ? n 2
1 22 ? 1 n(n ? 1) 1 ? ?1? n n 2 2 2

答案:B。解析: S ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? n ? ? 例 2. 求 Sn=1+ 解:∵ an= =2(

1 1 1 + +…+ . 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n

1 2 = 1? 2 ? 3 ??? n n(n ? 1)

1 1 - ) n n ?1
1 2 1 2

∴ Sn=2(1- + - +…+

1 3

1 1 2n - )= n n ?1 n ?1

变式训练 2:数列{an}的通项公式是 an= A.11 C.120 解:C .an=
1 n ? n ?1

1 n ? n ?1

,若前 n 项之和为 10,则项数 n 为( )

B.99 D.121 = n ?1 ? n ,

∴Sn= n ? 1 ? 1 ,由 n ? 1 ? 1 =10,∴ n ? 1 =11, ∴n=11 例 3. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= ( 项和 Tn. 解:取 n=1,则 a1= ( 又 Sn=
a1 ?1 2 ) ? a1=1 2 a n ?1 2 ) (n ? N * ) ,bn=an· 2n,求数列{bn}的前 n 2

n( a 1 ? a n ) n( a ? a ) a ?1 可得: 1 n = ( n ) 2 2 2 2

∵an≠-1(n∈N*) ∴an=2n-1 ∴Tn=1· 2+3· 22+5· 23+……+(2n-1)· 2n ① + 2Tn=1· 22+3· 23+5· 24+……+(2n-1)· 2n 1② ①-②得: + + ∴-Tn=2+23+24+25+……+2n 1-(2n-1)· 2n 1 =2+
23 (1 ? 2 n?1 ) + + -(2n-1)· 2n 1=-6+(1-n)· 2n 2 1? 2


∴Tn=6+(n-1)· 2n 2 变式训练 3.设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2-a1)=b1. ⑴ 求数列{an}和{bn}通项公式. ⑵ 设 Cn=
an ,求数列{Cn}前 n 项和 Tn . bn

解: (1)当 n=1 时 a1=S1=2,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-2,故{an}通项公式为 an=4n- 2,即{an}是 a1=2,d=4 的等差数列,设{bn}的公比为 q,则 b1qd=b1,d=4,∴ q= ,故
1 4

bn=b1qn 1=


2 4
n ?1

(2)∵Cn=

an 4n ? 2 = ? (2n ? 1)4 n ?1 2 bn 4n ? 1


∴Tn=C1+C2+…+Cn=1+3× 4+5× 42+…+(2n-1)4n 1 - ∴4Tn=1× 4+3× 42+5× 43+…+(2n-3)4n n+(2n-1)4n 1 n 两式相减 3Tn= [(6n ? 5)4 ? 5] 3 ∴ Tn= [(6n ? 5)4 n ? 5] . 例 4. 求 Sn=1!+2· 2!+3· 3!+…+n· n! . 解: an=n· n!=(n+1)!-n! ∴ Sn=(n+1)!-1!=(n+1)!-1 变式训练 4.以数列{an}的任意相邻两项为坐标的点 Pn(an、an+1)均在一次函数 y=2x+k 的图象 上,数列{bn}满足条件:bn=an+1-an,且 b1≠0. ⑴ 求证:数列{bn}为等比数列. ⑵ 设数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若 S6=T4,S5=-9,求 k 的值. 解:⑴由题意,an+1=2an+k ∴ bn=an+1-an=2an+k-an=an+k bn+1=an+1+k=2an+2k=2bn ∵ b1≠0,∴
bn ?1 =2 bn
1 9

∴ {bn}是公比为 2 的等比数列. ⑵ 由⑴知 an=bn-k ∵ bn=b1· 2n
-1

∴ Tn=

b1 (1 ? 2n ) ? b1 (2n ? 1) 1? 2

Sn=a1+a2+…+an=(b1+b2+…+bn)-nk =Tn-nk=b1(2n-1)-nk
S6 ? T4 ∵ ? ? ? S5 ? ?9 63b1 ? 6k ? 15b1 ∴ ? ? ? 31b1 ? 5k ? ?9

解得:k=8 归纳小结 1.求和的基本思想是“转化”.其一是转化为等差、等比数列的求和,或者转化为求自然数的 方幂和,从而可用基本求和公式;其二是消项,把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的 和. 2.对通项中含有(-1)n 的数列,求前 n 项和时,应注意讨论 n 的奇偶性. 3.倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前 n 项和用到的方法,在复习中 应给予重视.

数列章节测试题
一、选择题: 1.数列 2, 5,2 2, 11,…, 则 2 5 是该数列的( )

A.第 6 项 B.第 7 项 C.第 10 项 2 2.方程 x ? 6 x ? 4 ? 0 的两根的等比中项是( ) A. 3 B. ?2 C. ? 6

D.第 11 项

D. 2 )

3.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? ( A.138 B.135 C.95 D.23

4、已知等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1 , a ? 1 , a ? 4 ,则 an ?

?3? A. 4 ? ? ? ?2?

n

?2? B. 4 ? ? ? ?3?

n

?3? C. 4 ? ? ? ?2?

n ?1

?2? D. 4 ? ? ? ?3?

n ?1

5.一个有限项的等差数列,前 4 项之和为 40,最后 4 项之和是 80,所有项之和是 210,则此 数列的项数为( ) A.12 B. 14 C.16 D.18 6、若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( (A)12 (B)13 (C)14 )

(D)15 ) D. 1 ? n ? ln n

7、在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n

1 n

8.两等差数列{an}、{bn}的前 n 项和的比

S n 5n ? 3 a ? ,则 5 的值是( ) ' S n 2n ? 7 b5
53 27
D.

A.

28 17

B.

23 15

C.

48 25

9.{an}是等差数列, S10 ? 0, S11 ? 0 ,则使 an ? 0 的最小的 n 值是( ) A.5 B. 6 C.7 D.8 10、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案 则第 n 个图案中有白色地面砖的块数是( )

第1个

第2个

第3个

A. 3n ? 3 C. 2n ? 4 11.若数列 1, 2cos? , 2 cos
2 2

B. 4n ? 2 D. 4n ? 2

? , 23 cos3 ? ,
?
3

, 前 100 项之和为 0,则 ? 的值为(
2? (k ? Z ) 3



A. k? ?

?
3

(k ? Z )

B. 2k? ?

( k ? Z ) C. 2k? ?

D.以上的答案均不对

12.设 2a=3,2b=6,2c=12,则数列 a,b,c 成 A.等差 B.等比 C.非等差也非等比 二、填空题 13、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16=

D.既等差也等比 . .

14、由正数构成的等比数列{an},若 a1a3 ? a2 a4 ? 2a2 a3 ? 49 ,则 a2 ? a3 ?

15.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n2 , 某三角形三边之比为 a2 : a3 : a4 ,则该三角形最大角 为 .

16、给定 an ? log( n?1) (n ? 2) (n∈N*) ,定义乘积 a1 ? a2 ? 数”,则区间[1,2008]内的所有理想数的和为 三、解答题

? ak 为整数的 k(k∈N*)叫做“理想


17、已知函数 f ( x ) 是一次函数,且 f (8) ? 15, f (2), f (5), f (14) 成等比数列,设 an ? f (n) , ( n ? N )(1)求
?

(2)设 b ?a ;
i ?1 i

n

n

? 2n ,求数列 {anbn } 的前 n 项和 Sn 。

18、数列{an}的前 n 项和记为 Sn, a1 ? 1, an ?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1? (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比 数列,求 Tn

19、假设某市 2004 年新建住房 400 万 m ,其中有 250 万 m 是中低价房。预计在今后的若干 年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8% 。另外,每年新建住房中,中低价房的面 积均比上一年增加 50 万 m 。那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积 (以 2004 年为累计的第一年) 将首次不少于 4750 万 m ? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85% ?
2 2

2

2

20、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? 3 ,其前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? Sn?1 ? 2Sn ? 1( n ? 2 ,

n ? N* ) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
(2) 设 bn ? 4n ?( ? 1 ) 都有 bn?1 ? bn 成立.
n?1
* , 试确定 ? 的值, 使得对任意 n ? N , ? 2? (a ? 为非零整数,n ? N* )
n

21、已知直线

n

: y ? x ? 2n 与圆 Cn : x2 ? y2 ? 2an ? n ? 2(n ? N ? ) 交于不同点 An、Bn,其
1 2 An Bn . 4

中数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

n (an ? 2), 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 3

22、已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 Sn , S4 ? 2S2 ? 4 , bn ? (1)求公差 d 的值; (2)若 a1 ? ? ,求数列 ?bn ? 中的最大项和最小项的值; (3)若对任意的 n ? N * ,都有 bn ? b8 成立,求 a1 的取值范围.

1 ? an . an

5 2

数列章节测试题参考答案
一、选择题 1 2 B B 二、填空题 13、-72 16、2026. 14、7 3 C 4 C 5 B 6 B 7 A 8 D 9 B 10 D 11 C 12 A

15、 120

解:换底公式: log a N ? 别可取 22 ? 2, 23 ? 2, 24 ? 2, 22+23+…+210-18=2026. 三、解答题 17、解: (1)设

log b N . a1a2 log b a

ak ?

lg(k ? 2) 为整数, k ? 2 ? 2m ,m∈N*.k 分 lg 2

,最大值 2m ? 2 ≤2008,m 最大可取 10,故和为

( a ? 0 )由 f (8) ? 15, f (2), f (5), f (14) 成等比数列得 f ( x) ? ax ? b ,

8a ? b ? 15 ,----------------①,

f 2 (5) ? f (2) ? f (14) 得

(5a ? b)2 ? (2a ? b)(14a ? b) ? 3a 2 ? 6ab ? 0
∵a ? 0 ∴ a ? ?2b ---------------② 由①②得 a ? 2, b ? ?1 , ∴ f ( x) ? 2 x ? 1

∴ an ? 2n ? 1,显然数列 {an } 是首项 a1 ? 1, 公差 d ? 2 的等差数列 ∴

?a =a ?a
i ?1 i
1

n

2

?

? an ?

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 2

(2)∵ anbn ? (2n ?1) ? 2n ∴ Sn ? a1b1 ? a2b2 ?
2 3

? anbn = 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ?
4

? (2n ?1) ? 2n

2 Sn = 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? - Sn = 2 ? 2(2 ? 2 ?
2 3

? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ? 2n ) ? (2n ?1) ? 2n?1 = 2 ? 23 ? (2n?1 ?1) ? (2n ?1) ? 2n?1

∴ Sn = (2n ? 3) ? 2

n ?1

? 6。

18、 (I)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn ?1 ? 1? n ? 2? ,两式相减得 an?1 ? an ? 2an , an ?1 ? 3an ? n ? 2? 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 ,故{an}是首项为 1,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n ?1 . (II)设{bn}的公差为 d,由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 , 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得
2 ?5 ? d ?1??5 ? d ? 9? ? ?5 ? 3? 解得 d1 ? 2, d 2 ? ?10

∵等差数列{bn}的各项为正,∴ d ? 0 ,∴ d ? 2 ∴ Tn ? 3n ?

? 2 ? n2 ? 2n 2 19.(1)到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750

n ? n ? 1?

(2)到 2009 年底,当年建造的中低房的面积占该年建造住房面积的比例将首次大于 85% 20、解: (1)由已知, ? Sn?1 ? Sn ? ? ? Sn ? Sn?1 ? ? 1( n ? 2 , n ? N ) ,
*

即 an?1 ? an ? 1 ( n ? 2 , n ? N ) ,且 a2 ? a1 ? 1 .
*

∴数列 ?an ? 是以 a1 ? 2 为首项,公差为 1 的等差数列.∴ an ? n ? 1 . (2)∵ an ? n ? 1 ,∴ bn ? 4n ? (?1)n?1 ? ? 2n?1 ,要使 bn?1 ? bn 恒成立,
n ?1 n n?2 ∴ bn ?1 ? bn ? 4 ? 4 ? ? ?1? ? ? 2 ? ? ?1? n n ∴ 3 ? 4 ? 3? ? ? ?1? n ?1 n ?1

? ? 2n ?1 ? 0 恒成立,

2n ?1 ? 0 恒成立,

∴ ? ?1?

n ?1

? ? 2n ?1 恒成立.
n ?1

(ⅰ)当 n 为奇数时,即 ? ? 2

恒成立,

n ?1 当且仅当 n ? 1 时, 2 有最小值为 1,

∴ ? ? 1. (ⅱ)当 n 为偶数时,即 ? ? ?2 当且仅当 n ? 2 时, ?2
n ?1

n ?1

恒成立,

有最大值 ?2 ,

∴ ? ? ?2 . 即 ?2 ? ? ? 1 ,又 ? 为非零整数,则 ? ? ?1 .
* 综上所述,存在 ? ? ?1 ,使得对任意 n ? N ,都有 bn?1 ? bn

21. (1)圆心到直线的距离 d ? n ,

1 An Bn )2 ? 2an ? 2, 则an ?1 ? 2 ? 2(an ? 2) 2 ?易得an ? 3 ? 2n ?1 ? 2 n bn ? (an ? 2) ? n ? 2n ?1 , 3 (2) Sn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ??? ? n ? 2n ?1 ? an ?1 ? (

2Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n
相减得 Sn ? (n ?1)2n ? 1 22.解: (1)∵ S4 ? 2S2 ? 4 ,∴ 4a1 ? 解得 d ? 1 (2)∵ a1 ? ? ,∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1) ? n ? ∴ bn ? 1 ?

3? 4 d ? 2(2a1 ? d ) ? 4 2 7 2

5 2

1 1 ?1? 7 an n? 2

∵函数 f ( x) ? 1 ?

1 7 x? 2

7? ?7 ? ? 在 ? ??, ? 和 ? , ?? ? 上分别是单调减函数, 2? ?2 ? ?

∴ b3 ? b2 ? b1 ? 1 当 n ? 4 时, 1 ? bn ? b4 ∴数列 ?bn ? 中的最大项是 b4 ? 3 ,最小项是 b3 ? ?1 (2)由 bn ? 1 ?

1 1 得 bn ? 1 ? an n ? a1 ? 1 1 在 ? ??,1 ? a1 ? 和 ?1 ? a1 , ?? ? 上分别是单调减函数, x ? a1 ? 1

又函数 f ( x) ? 1 ?

且 x ? 1 ? a1 时 y ? 1 ; x ? 1 ? a1 时 y ? 1 . ∵对任意的 n ? N * ,都有 bn ? b8 ,∴ 7 ? 1 ? a1 ? 8 ∴ ?7 ? a1 ? ?6 ∴ a1 的取值范围是 (?7, ?6)

五年高考题荟萃 2009 年高考题
一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.
2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

【答案】B 【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q
2 8

?

4 2

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数列 {an } 的公比

为正数,所以 q ?

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2
为等差数列, C. 3 D.7 ,则 等于

2.(2009 安徽卷文)已知 A. -1 B. 1

【解析】∵ a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同理可得 a4 ? 33 ∴公差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴
a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。

【答案】B 3. (2009 江西卷文) 公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项,

S8 ? 32 ,则 S10 等于
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90

【答案】C
2 【 解 析 】 由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 , 再 由

56 d ? 32 得 2 90 S1 0? 10a ?1 d ? 60 ,.故选 C 2 S8 ? 8a1 ?

2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 , 所 以

4. (2009 湖南卷文) 设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 已知 a2 ? 3 ,a6 ? 11 , 则 S7 等于( A.13 【解析】 S7 ? 或由 ? B.35 C.49 D. 63

)

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 2

? a2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 ?? 1 , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ? a6 ? a1 ? 5d ? 11 ? d ? 2

7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) ? ? 49. 故选 C. 2 2 5.(2009 福建卷理)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于
所以 S7 ? A.1 【答案】 :C [解析]∵ S3 ? 6 ? B

5 3

C.- 2

D 3

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d a1 =4 ? d=2 .故选 C 2

6.(2009 辽宁卷文)已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= A.-2 B.-

1 2

C.

1 2

D.2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=- 【答案】B

1 2

7.(2009 四川卷文)等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项, 则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190

【答案】B 【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) 2 ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100
2 8. (2009 宁夏海南卷文) 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 am?1 ? am?1 ? am S2m?1 ? 38 , ? 0,

则 m? A.38 【答案】C
2 【解析】因为 ?an ? 是等差数列,所以, am?1 ? am?1 ? 2am ,由 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,得:2 a m

B.20

C.10

D.9

- a m =0,所以, a m =2,又 S2m?1 ? 38 ,即 38,解得 m=10,故选.C。

2

(2m ? 1)(a1 ? a 2 m?1 ) =38,即(2m-1)×2= 2

9.. (2009 重庆卷文) 设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, 则 ?an ? a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, 的前 n 项和 Sn =( )

A.

n2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n ? n
2

【答案】A 【解析】 设数列 {an } 的公差为 d , 则根据题意得 (2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ? 5d ) , 解得 d ? (舍去) ,所以数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ?

1 或d ? 0 2

n(n ? 1) 1 n 2 7 n ? ? ? 2 2 4 4
, 且 a5 ?a2
n 5 ?

10. ( 2009 广 东 卷 理 )已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, 则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ? A. n(2n ? 1)

? 22n( n?3 ) ,

? log2 a2n?1 ?
2

B. (n ? 1)

C. n

2

D. (n ? 1)

2

2 【解析】 由 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an 则 an ? 2 n , log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ? ? 2 2n ,an ? 0 ,

log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.
答案 C 11.(2009 辽宁卷理)设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若

S6 =3 ,则 S3

S9 = S6

A. 2

B.

7 3

C.

8 3

D.3

【解析】设公比为 q ,则

S6 (1 ? q3 ) S3 3 3 =1+q =3 ? q =2 ? S3 S3

于是

S9 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 ? ? ? S6 1 ? q3 1? 2 3

【答案】B 12.(2009 宁夏海南卷理)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。 若 a1 =1,则 s 4 =( A.7 【解析】 B.8 ) C.15 D.16

4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列,

?4a1 ? a3 ? 4a2 ,即4a1 ? a1q2 ? 4a1q,?q2 ? 4q ? 4 ? 0,?q ? 2,S4 ? 15 ,选 C.
【答案】 C 13.(2009 湖北卷文)设 x ? R , 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 { [
5 ?1 5 ?1 ], 2 2 5 ?1 }, 2

A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 【答案】B 【解析】可分别求得 ? 数列.

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

? 5 ? 1? ? ? ?? ? 2 ? ? ?

5 ?1 5 ?1 ,[ ] ? 1 .则等比数列性质易得三者构成等比 2 2

14.(2009 湖北卷文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地,称图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形数 下列数中及时三角形数又是正方 形数的是 A.289 【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项 a ?
n

B.1024

C.1225

D.1378

n ( n ? 1) ,同理可得正方形数构成的数列 2
n

通项 bn ? n2 ,则由 bn ? n2 (n ? N ? ) 可排除 A、D,又由 a ? C.

n ( n ? 1) 知 an 必为奇数,故选 2

15.. (2009 安徽卷理) 已知 ?an ? 为等差数列, 以 Sn 表示 ?an ? a2 ? a4 ? a6 =99, a1 + a3 + a5 =105, 的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是 A.21 【答案】 B 【解析】由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a4 ? a6 =99 得 3a4 ? 99 即 B.20 C.19 D. 18

? an ? 0 得 n ? 20 ,选 B a4 ? 33 ,∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n ,由 ? ? an ?1 ? 0
16. (2009 江西卷理) 数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 3 3
D. 510

为 A. 470 【答案】 A B. 490 C. 495

【解析】由于 {cos

2

n? n? ? sin 2 } 以 3 为周期,故 3 3

S30 ? (?

12 ? 22 42 ? 52 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? 2 2

? (?

282 ? 292 ? 302 ) 2

? ?[?
k ?1

10

10 (3k ? 2)2 ? (3k ? 1)2 5 9 ?10 ?11 ? (3k )2 ] ? ?[9k ? ] ? ? 25 ? 470 故选 A 2 2 2 k ?1

17.(2009 四川卷文)等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项, 则数列的前 10 项之和是 A. 90 【答案】B 【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =10
2

B. 100

C. 145

D. 190

二、填空题 18.(2009 全国卷Ⅰ理) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 答案 24 解析

?an ? 是等差数列,由 S9 ? 72 ,得? S9 ? 9a5 , a5 ? 8
1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4

? a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24 .
19.(2009 浙江理)设等比数列 {an } 的公比 q ? 答案:15 解析 对于 s4 ? .

a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)
;前

20.(2009 北京文)若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,则 a5 ? 8 项的和 S8 ? 答案 225 .解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 的考查. .(用数字作答)

属于基础知识、基本运算

a1 ? 1, a2 ? 2a1 ? 2, a3 ? 2a2 4, a4 ? 2a3 ? 8, a5 ? 2a4 ? 16 ,

易知 S8 ?

28 ? 1 ? 255 ,∴应填 255. 2 ?1
×

21. (2009 全国卷Ⅱ文) 设等比数列{ an }的前 n 项和为 sn 。 若 a1 ? 1, s6 ? 4s3 , 则 a4 = 答案:3 解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由 a1 ? 1, s6 ? 4s3 得 q =3 故 a4=a1q =3
3 3

22.(2009 全国卷Ⅱ理)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则

S9 ? S5

解析

?an ? 为等差数列,?

S9 9a5 ? ?9 S5 5a3

答案 9 23.(2009 辽宁卷理)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ?
1 解析 ∵Sn=na1+ n(n-1)d 2

∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 答案
1 3

24.(2009 浙江文)设等比数列 {an } 的公比 q ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知识点的考 查充分体现了通项公式和前 n 项和的知识联系. 答案 15 解析 对于 s4 ?

a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)

25.(2009 浙江文)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 ,S8 ? S4 ,S12 ? S8 ,S16 ? S12 成 等差数列. 类比以上结论有: 设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn , 则 T4 , 成等比数列. 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和等比数列 的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 , ,

T16 T12

答案:

T8 T12 , T4 T8 T8 T12 T16 , 成 , T4 T8 T12

解析 对于等比数列,通过类比,有等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 等比数列.

26.(2009 北京理)已知数列 {an } 满足: a4n?3 ? 1, a4n?1 ? 0, a2n ? an , n ? N? , 则

a2009 ? ________; a2014 =_________.
答案 1,0 解析 本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意,得 a2009 ? a4?503?3 ? 1 , a2014 ? a2?1007 ? a1007 ? a4?252?1 ? 0 . ∴应填 1,0. 27..(2009 江苏卷)设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? an ? 1(n ? 1,2, 数列 ?bn ? 有连续四项在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q = 答案 -9 .

) ,若

解析 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。

?an ? 有连续四项在集合 ??54, ?24,18,36,81? ,四项 ?24,36, ?54,81 成等比数列,公比为
3 q ? ? , 6q = -9 2
28.(2009 山东卷文)在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ __ . 解析 设等差数列 {an } 的公差为 d ,则由已知得 ?

?

a1 ? 2d ? 7

?a1 ? 4d ? a1 ? d ? 6

解得 ?

? a1 ? 3 ,所以 ?d ? 2

a6 ? a1 ? 5d ? 13 .
答案:13. 【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.

? an ? ,当an为偶数时, 29.(2009 湖北卷理)已知数列 ?an ? 满足: (m 为正整数) , an ?1 ? ? 2 a1=m ?3an ? 1,当an为奇数时。 ?
若 a6=1,则 m 所有可能的取值为__________。

答案 4 5 32

a a1 m m a3 ? 2 ? 为偶, 故 a2 ? 2 2 4 2 m m m m ? 1 ? m ? 32 ①当 仍为偶数时, a4 ? ??????a6 ? 故 8 32 32 4 3 m ?1 m 3 ②当 为奇数时, a4 ? 3a3 ? 1 ? m ? 1 ?????? a6 ? 4 4 4 4 3 m ?1 故4 ? 1 得 m=4。 4 3m ? 1 (2)若 a1 ? m 为奇数,则 a2 ? 3a1 ? 1 ? 3m ? 1 为偶数,故 a3 ? 必为偶数 2 3m ? 1 3m ? 1 ?????? a6 ? ,所以 =1 可得 m=5 16 16
解析 (1)若 a1 ? m 为偶数,则 30.(2009 宁夏海南卷理)等差数列{ an }前 n 项和为 Sn 。已知 am?1 + am?1 - a 2 m =0, S2 m?1 =38, 则 m=_______ 解析由 am?1 + am?1 - a 2 m =0 得到
2 2am ? am ? 0, am ? 0, 2又S2 m?1 ?

? 2m ? 1?? a1 ? a2 m?1 ? ?
2

? 2m ? 1? am ? 38? m ? 10

答案 10 31.(2009 陕西卷文)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,若 a6 ? s3 ? 12 ,则

an ?

.

解析:由 a6 ? s3 ? 12 可得 ?an ? 的公差 d=2,首项 a1 =2,故易得 an ? 2n. 答案:2n

32.(2009 陕西卷理)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a6 ? S3 ? 12 ,则

lim

n ??

Sn ? n2

.

?a6 ? 12 ?a1 ? 5d ? 12 ?a1 ? 2 S S n ?1 n ?1 解析: ?? ?? ? Sn ? n(n ? 1) ? n ? ? lim n ? lim ?1 ? 2 n ?? n 2 n ?? n s ? 12 a ? d ? 12 d ? 2 n n ? ? 1 ?3
答案:1

33. (2009 宁夏海南卷文) 等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1,an?2 ? an?1 ? 6an , 则{ an } 的前 4 项和 S4 = 解析 由 an?2 ? an?1 ? 6an 得: q n?1 ? q n ? 6q n?1 ,即 q 2 ? q ? 6 ? 0 , q ? 0 ,解得:q=2,

1 (1 ? 2 4 ) 1 15 又 a2 =1,所以, a1 ? , S 4 ? 2 = 。 2 2 1? 2 15 答案 2
34.(2009 湖南卷理)将正⊿ABC 分割成 n ( n ≥2,n∈N)个全等的小正三角形(图 2,图 3 分别给出了 n=2,3 的情形) ,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC 的三遍及平行 于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于 3 时)都分别一次成等差数列,若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n),则有 f(2)=2,f(3)=
2

10 ,…, 3

f(n)=

1 (n+1)(n+2) 6

答案

10 1 , (n ? 1)(n ? 2) 3 6

解析 当 n=3 时,如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示,即由条件知

a ? b ? c ? 1, x1 ? x2 ? a ? b, y1 ? y2 ? b ? c, z1 ? z2 ? c ? a x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? 2(a ? b ? c) ? 2, 2g ? x1 ? y2 ? x2 ? z1 ? y1 ? z2 6g ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? 2(a ? b ? c) ? 2
即g ?

1 1 1 10 而f (3) ? a ? b ? c ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? g ? 1 ? ? ? 3 2 3 3

进一步可求得 f (4) ? 5 。由上知 f (1) 中有三个数, f (2) 中 有 6 个数, f (3) 中共有 10 个数 相加 , f (4) 中有 15 个数相加….,若 f (n ? 1) 中有 an?1 (n ? 1) 个数相加,可得 f ( n) 中有

(an?1 ? n ? 1) 个数相加,且由
3 6 3?3 3 10 4 5 f (1) ? 1 ? , f (2) ? ? ? f (1) ? , f (3) ? ? f (2) ? , f (4) ? 5 ? f (3) ? ,... 3 3 3 3 3 3 3 n ?1 , 所以 可得 f ( n) ? f ( n ? 1) ? 3 n ?1 n ?1 n n ?1 n n ?1 3 f (n) ? f (n ? 1) ? ? f (n ? 2) ? ? ? ... ? ? ? ? ? f (1) 3 3 3 3 3 3 3 n ? 1 n n ?1 3 2 1 1 ? ? ? ? ? ? (n ? 1)(n ? 2) = 3 3 3 3 3 3 6
35. (2009 重庆卷理)设 a1 ? 2 , an ?1 ? 公式 bn = .

a ?2 2 * , bn ? n , n ? N ,则数列 ?bn ? 的通项 an ? 1 an ? 1

解析

2 ?2 an ?1 ? 2 an ?1 a ?2 由条件得 bn ?1 ? ? ?2 n ? 2bn 且 b1 ? 4 所以数列 ?bn ? 是首项 2 an ?1 ? 1 an ? 1 ?1 an ?1

为 4,公比为 2 的等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 答案 2n+1

三、解答题 36.(2009 浙江文)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N ,其中 k 是常数.
*

(I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

解(Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1 ,

n ? 2, an ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1( ? )
经验, n ? 1, ( ? )式成立,

? an ? 2kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? am , a2m , a4m 成等比数列,? a2m ? am .a4m , 即 (4km ? k ? 1) ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: m k(k ? 1) ? 0 ,
2

对任意的 m ? N ? 成立,

? k ? 0或k ? 1
?

37. (2009 北京文)设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N , P ? 0) . 数列 {bn } 定义如

下:对于正整数 m, bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如果 不存在,请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. 解(Ⅰ)由题意,得 an ? ∴

1 1 1 1 20 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . 2 3 2 3 3

1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1, 对于正整数,由 an ? m ,得 n ? 根据 bm 的定义可知
* * 当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k k ? N ;当 m ? 2 k 时, bm ? k ? 1 k ? N .

m ?1 . 2

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ?

? b2m ? ?b1 ? b3 ?

? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ?
? ? m ? 1? ? ?

? b2m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ?

? m? ? ? ?2 ? 3 ? 4 ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?
?

m?q . p

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 ,即 ?2 p ? q ? ?3 p ?1? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立. p p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾!

当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ;

p 和 q 的取值范围分别是 p ?

1 2 1 , ? ? q ? ? .. 3 3 3
?

38.(2009 山东卷文)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N 均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

,点 (n , Sn ) ,

bn ?
?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn
x

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) , 均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像 上.所以得 Sn ? bn ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则 Tn ? 所以 an ? (b ?1)bn?1

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 3 1 n ?1 1 2 n ?1 3 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并运 用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n 项和 Tn .

39. (2009 全国卷Ⅱ文) 已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 sn . 解析:本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力,利用方程的思想可求解 解:设 ?an ? 的公差为 d ,则

? ?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0
即?

?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 ?a1 ? ?4d
?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 或? ?d ? 2, ?d ? ?2

解得 ?

因此 Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9? 40.( 2009 安徽卷文)已知数列 { } 的前 n 项和 ,数列 { }的前 n 项和

(Ⅰ)求数列{ (Ⅱ)设

}与{

}的通项公式; <

,证明:当且仅当 n≥3 时,

(n ? 1) ?a1 【思路】由 a ? ? ? sn ? sn?1 ( n ? 2)

可求出 an 和bn ,这是数列中求通项的常用方法之一,在求

出 an 和bn 后,进而得到 c n ,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法。 【解析】(1)由于 a1 ? s1 ? 4 当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? (2n2 ? 2n) ? [2(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 4n ?am ? 4n(n ? N * ) 又当 x ? n 时 bn ? Tn ? Tn?1 ? (2 ? 6m ) ? (2 ? bm?1 ) ? 2bn ? bn?1

1 1 ? 数列 ?bn ? 项与等比数列,其首项为 1,公比为 ? bn ? ( ) n ?1 2 2 1 16(n ? 1)2 ? ( )( n ?1)?1 1 C (n ? 1)2 2 2 n ?1 2 (2)由(1)知 C1 ? a1 ? bn ? 16n ? ( ) ? n ?1 ? ? 1 2 Cn 2n 2 16n 2 ? ( ) n ?1 2



Cn?1 (n ? 1)2 ? 1得 ? 1即 n2 ? 2n ? 1 ? 0 ? n ? 1 ? 2 即 n ? 3 Cn 2n
(n ? 1)2 C ? 1 成立,即 n ?1 ? 1 由于 Cn ? 0 恒成立. 2 2n Cn

又n ? 3时

因此,当且仅当 n ? 3 时, Cn ?1 ? Cn 41.(2009 江西卷文)数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

(1) 求 Sn ;

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n n? 2n? 2 n? ? sin 2 ? cos 解: (1) 由于 cos ,故 3 3 3
(2) bn ?

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? (?
?

? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) ? (? (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 ? (3k ) 2 )) 2

12 ? 22 4 2 ? 52 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? 2 2
?

18k ? 5 k (9k ? 4) ? , 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , 2 13 31 ? ? 2 2

S3k ?2 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ?

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6



n 1 ? n ? 3k ? 2 ? ? 3 ? 6, ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) Sn ? ? , n ? 3k ? 1 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?

(k ?N )
*

(2) bn ?

S3 n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? n ?1 ], 2 4 4

两式相减得

1 9 3Tn ? [13 ? ? 2 4


9 9 ? n 9 9n ? 4 1 9n ? 4 1 9n ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 4 4 ? n ] ? 8 ? 2 n ?3 ? 2 n ?1 , 1 4 4 2 4 2 2 1? 4 8 1 3n Tn ? ? ? 2 n ?1 . 2 n ?3 3 3? 2 2

42. (2009 天津卷文)已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0,设 S n ? a1 ? a2 q ? ? ? an q n?1

Tn ? a1 ? a2 q ? ? ? (?1) n?1 an q n?1 , q ? 0, n ? N *
(Ⅰ)若 q ? 1, a1 ? 1, S 3 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? d , 且S1 , S 2 , S3 成等比数列,求 q 的值。 (Ⅲ)若 q ? ?1, 证明( 1 ? q)S 2n

2dq(1 ? q 2n ) ? (1 ? q)T2 n ? ,n? N* 2 1? q

(1)解:由题设, S3 ? a1 ? (a1 ? d )q ? (a1 ? 2d )q 2 , 将q ? 1, a1 ? 1, S3 ? 15 代入解得 d ? 4 ,所以 an ? 4n ? 3 n ? N * (2)解:当 a1 ? d , S1 ? d , S 2 ? d ? 2dq, S3 ? d ? 2dq ? 3dq2 ,? S1 , S 2 , S3 成等比数列,所
2 以 S 2 ? S1 S 3 ,即 (d ? 2dq) ? d(d ? 2dq ? 3dq2 ) ,注意到 d ? 0 ,整理得 q ? ?2

2

(3)证明:由题设,可得 bn ? q n?1 ,则

S 2n ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 ? ?a2n q 2n?1 T2n ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 ? ? ? a2n q 2n?1
①-②得,

① ②

S 2n ? T2n ? 2(a2 q ? a4 q 3 ? ? ? a2n q 2n?1 )
①+②得,

S 2n ? T2n ? 2(a1q ? a3 q 2 ? ? ? a2n?1q 2n?2 ) ③
③式两边同乘以 q,得 q(S 2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3 q ? ? ? a2n?1q
2 2 n ?2

)

所以 (1 ? q) S 2 n ? (1 ? q)T2 n ? 2d (q ? q ? ? ? q
3

2 n ?1

)?

2dq(1 ? q 2n ) 1? q2

(3)证明: c1 ? c2 ? (ak1 ? al1 )b1 ? (ak2 ? al2 )b2 ? (akn ? aln )bn
1

n?1 = (k1 ? l1 )db 1 ? (k 2 ? l 2 )db 1q ? ? ? (k n ? l n )db 1q

因为 d ? 0, b1 ? 0 ,所以

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n?1 db1
若 k n ? l n ,取 i=n, 若 k n ? l n ,取 i 满足 ki ? li ,且 k j ? l j , i ? 1 ? j ? n 由(1) (2)及题设知, 1 ? i ? n ,且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n?1 db1
① 当 ki ? li 时, ki ? li ? ?1 ,由 q ? n , ki ? li ? q ? 1, i ? 1,2?, i ? 1

即 k1 ? l1 ? q ? 1 , (k 2 ? l 2 )q ? q(q ? 1),? (ki ?1 ? li ?1 )q i ?2 ? q(q ? 1) i ?2 所以

c1 ? c2 1 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? ? ? (q ? 1)q i ?2 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? q i ?1 ? ?1 db1 1? q

因此 c1 ? c2 ? 0 ② 当 ki ? li 时,同理可得

c1 ? c2 ? ?1, 因此 c1 ? c2 ? 0 db1

综上, c1 ? c 2 【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式,等比数列通项公式与前 n 项和等基本 知识,考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力 43. (2009 全国卷Ⅱ理)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 解: (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有 a1 ?a2 ? 4 a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,? b1? a2? 2a1? 3 由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 )



bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列.
an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

(II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

a 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. ? 数列 { n n 2 4 2 a 1 3 3 1 ? ? (n ? 1) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 ? n n 2 2 4 4 4
评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn?1的关系即可 . 第(II)问中由(I)易得 an?1 ? 2an ? 3? 2n?1 ,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:

an?1 ? pan ? qn ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除以 q n?1 .
总体来说, 09 年高考理科数学全国 I、 Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列 (全 国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法) ,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题 作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重 视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 44. (2009 辽宁卷文)等比数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 s n 解: (Ⅰ)依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )
由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0
又 q ? 0 ,从而 q ? -

1 2 1 2
2

5分

( (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a 1 ? ) ? 3
故 a1 ? 4

1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? ( 1? (? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2

10 分

1’ a2 ? 2, an+2= 45. (2009 陕西卷文)已知数列 ?an } 满足, a1=

an ? an ?1 ,n? N*. 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn} 是等比数列;
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。 (1)证 b1 ? a2 ? a1 ? 1, 当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ? 所以 ?bn ? 是以 1 为首项, ?

an ?1 ? an 1 1 ? an ? ? (an ? an ?1 ) ? ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn ? an ?1 ? an ? (? ) , 2
当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ?

1 ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 1 ? (? ) ? 2

1 ? (? ) n ? 2 2

1 1 ? (? ) n ?1 2 1 5 2 1 2 ? 1 ? [1 ? (? ) n ? 2 ] ? ? ( ? ) n ?1 , ? 1? 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n ? 1 时, ? (? ) ? 1 ? a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an ? ? ( ? ) ( n ? N ) 。 3 3 2
46.(2009 湖北卷文)已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列, 且满足 a3a6=55, a2+a7=16.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ) 若数列{an}和数列{bn}满足等式: an== 的前 n 项和 Sn 解(1)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 ① ②
2

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) , 求数列{bn} 2 2 2 2n

由①得 2a1 ? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 。即 256 ? 9d ? 220

? d 2 ? 4, 又d ? 0,? d ? 2, 代入①得a1 ? 1 ? an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1

(2)令 cn ?

bn , 则有an ? c1 ? c2 ? ? cn , an ?1 ? c1 ? c2 ? 2n an ?1 ? an ? cn ?1 ,由(1)得a1 ? 1, an ?1 ? an ? 2

? cn ?1
n ?1

两式 相减得? cn ?1 ? 2, cn ? 2(n ? 2), 即当n ? 2时,bn ? 2

又当n=1时,b1 ? 2a1 ? 2

?2, (n ? 1) ? bn ? ? n ?1 ?2 (n ? 2)
于是 Sn ? b1 ? b2 ? b3 =2?2 ?2 ?2 ?
2 3 4

? bn ? 2 ? 23 ? 24 ?
?2
n ?1

? 2n?1

2(2n?1 ? 1) ? 4 ? 2n? 2 ? 6,即Sn ? 2n? 2 ? 6 -4= 2 ?1

47. (2009 福建卷文)等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项 和 Sn 。 解: (I)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 ? 2q3 ,解得 q ? 2 (Ⅱ)由(I)得 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 解得 ? ? d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32

从而 bn ? ?16 ? 12(n ?1) ? 12n ? 28 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n ?

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n 2

48(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 3 分, (Ⅱ)问 4 分, (Ⅲ)问 5 分) 已知 a1 ? 1, a2 ? 4, an? 2 ? 4an?1 ? an , bn ? (Ⅰ)求 b1 , b2 , b3 的值; (Ⅱ)设 cn ? bnbn ?1 , Sn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求证: Sn ? 17n ; (Ⅲ)求证: b2 n ? bn ?

an?1 ,n? N? . an

1 1 . 64 17 n ? 2

解: (Ⅰ)

a2 ? 4, a3 ? 17, a4 ? 72 ,所以 b1 ? 4.b2 ?

17 72 , b3 ? 4 17

(Ⅱ)由 an?2 ? 4an?1 ? an 得

an? 2 a 1 ? 4 ? n 即 bn ?1 ? 4 ? an?1 an?1 bn

所以当 n ≥ 2 时, bn ? 4 于是 c1 ? b1 , b2 ? 17, cn ? bnbn?1 ? 4bn ? 1 ? 17 所以 Sn ? c1 ? c2 ?

(n ≥ 2)

? cn ? 17n
1 17 ? 成立 4 64

(Ⅲ)当 n ? 1 时,结论 b2 ? b1 ? 当 n ≥ 2 时,有 bn ?1 ? bn ?| 4 ?

b ?b 1 1 1 ?4? |?| n n?1 |≤ | bn ? bn ?1 | bn bn ?1 bnbn ?1 17
(n ≥ 2)



1 | bn ?1 ? bn ? 2 |≤ 17 2



1 1 1 | b2 ? b1 |? n ?1 17 64 17 n ? 2

所以

b2n ? bn ≤ bn?1 ? bn ? bn?2 ? bn?1 ?

? b2n ? b2n?1

1 ? 1 n ?1 1 n ( ) ? ( ) ? 4? 17 ? 17

1 1 ( ) n?1 (1 ? n ) 1 2 n ?2 ? 1 17 17 ? 1 1 (n ? N * ) ?( ) ? ? 1 17 64 17 n ?2 ? 4 1? 17
2005——2008 年高考题

一、选择题 1.(2008 天津)若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( A.12 答案 B 2.(2008 陕西)已知 {an } 是等差数列,a1 ? a2 ? 4 ,a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等 于( A.64 答案 B 3.(2008 广东)记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? A.16 答案 D 4. (2008 浙江) 已知 ?an ? 是等比数列,a 2 ? 2,a 5 ? B.24 C.36 ) B.100 C.110 D.120 B.13 C.14 D.15 )

1 , S4 ? 20 ,则 S6 ? ( ) 2
D.48

1 , 则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 = ( 4



A.16( 1 ? 4 C.

?n



B.6( 1 ? 2 D.

?n



32 ?n (1 ? 4 ) 3

32 ?n (1 ? 2 ) 3

答案 C 5.(2008 四川)已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是() A. ? ??, ?1 C. ?3, ?? ? 答案 D 6.(2008 福建)设{an}是公比为正数的等比数列,若 n1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为 ( A.63 答案 C ) ) B.64 C.127 D.128

?

B. ? ??,0? D. ? ??, ?1?

?1, ???

?3, ?? ?

7.(2007 重庆)在等比数列{an}中,a2=8,a5=64, ,则公比 q 为( A.2 答案 A B.3 C.4 D.8

8.(2007 安徽)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S x 若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=( A.12 答案 B B.10 C.8 D.6



9. (2007 辽宁) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若 S3 ? 9 , 则 a7 ? a8 ? a9 ? ( S6 ? 36 , A.63 答案 B 10.(2007 湖南) 在等比数列 {an } ( n ? N * )中,若 a1 ? 1 , a4 ? 为( A. 2 ? ) B.45 C.36 D.27



1 ,则该数列的前 10 项和 8 1 211

1 24

B. 2 ?

1 22

C. 2 ?

1 210

D. 2 ?

答案 B 11.(2007 湖北)已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn , 且

An 7n ?4 5 ? , Bn n?3

则使得

an 为整数的正整数 n 的个数是( bn
B.3 D



A.2 答案

C.4

D.5

12.(2007 宁夏)已知 a,b,c,d 成等比数列, 且曲线 y ? x2 ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) , 则 ad 等于( A.3 答案 D 13.(2007 四川)等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=( A.9 答案 B B.10 C.11 D.12 ) ) B.2 C.1 D. ?2

c, a, b 成等比数列, 14. (2006湖北) 若互不相等的实数 a, b, c 成等差数列, 且 a ? 3b ? c ? 10 ,
则a ? A.4 答案 解析 D 由互不相等的实数 a, b, c 成等差数列可设a=b-d,c=b+d,由 a ? 3b ? c ? 10 可得b B.2 C.-2 D.-4

=2,所以a=2-d,c=2+d,又 c, a, b 成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D 15.(2005福建)已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是 A.15 答案 A 16.(2005 江苏卷)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21,则 a3+ B.30 C.31 D.64 ( )

a4+ a5=(
A .33 答案 C 二、填空题

) B. 72 C. 84 D .189

17.(2008 四川)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为 ______. 答案 4

18.(2008 重庆)设 Sn=是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16= 答案 -72

.

19.(2007 全国 I) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2 S 2 , 3S3 成等差数列,则 ?an ? 的公比为 答案 .

1 3

20.(2007 江西)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? . 答案 7 21.(2007 北京)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 , 2, 3, ) ,则此数列的通项公式 为 答案 ;数列 ?nan ? 中数值最小的项是第 项.

2n ? 11

22. ( 2006 湖 南 ) 数 列
a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

?an ?

满 足 : a1 ? 1, an?1 ? 2an .n ? 1 , 2 , 3 … . 则

.

答案

2n ? 1

解析 数列 ?a n ?满足: ∴
a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

a1 ? 1, an?1 ? 2an , n ? 1 ,2,3…,该数列为公比为 2 的等比数列,

2n ? 1 ? 2n ? 1 . 2 ?1

三、解答题 23.(2008 四川卷) . 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n
n ?1 (Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

(Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式 解 由题意知 a1 ? 2 ,且 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n

ban?1 ? 2n?1 ? ?b ?1? Sn?1
两式相减得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1
n

即 an?1 ? ban ? 2n



(Ⅰ)当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n 于是 an?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
n n n

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?
n ?1 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。

?

?

(Ⅱ)当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ?1? 2 当 b ? 2 时,由由①得

n?1

an ?1 ?

1 1 ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 2?b 2?b b ? ban ? ? 2n 2?b

1 ? ? ? b ? an ? ? 2n ? 2?b ? ?
因此 an ?1 ?

1 1 ? ? ? 2n?1 ?? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b ? ?

?

2 ?1 ? b ? n ?b 2?b

n ?1 ? 2 ? 得 an ? ? 1 ? 2n ? ? 2 ? 2b ? b n ?1 ? n?2 ? ? ?2 ? b ?
24.(2008 江西卷)数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 为等比 数列,且 a1 ? 3, b1 ? 1 ,数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 . (1)求 an , bn ; (2)求证

1 1 ? ? S1 S2

?

1 3 ? . Sn 4

解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1

? ban?1 q 3? nd ? 3? ( n ?1) d ? q d ? 64 ? 26 ? q 依题意有 ? ban ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64 ?
由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1, 2,3, 6 之一, 解①得 d ? 2, q ? 8 故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8n?1 (2) Sn ? 3 ? 5 ? ∴

? (2n ? 1) ? n(n ? 2)
? 1 n(n ? 2)

1 1 ? ? S1 S2

?

1 1 1 1 ? ? ? ? S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4 ?
25..(2008 湖北).已知数列 {an } 和 {bn } 满足:

a1 ? ? , an ?1 ?

2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21), 其中 ? 为实数, n 为正整数. 3

(Ⅰ)对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)设 0 ? a ? b , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和.是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有

a ? Sn ? b ?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想, 考查综合分析问题的能力和推理认证能力, (满分 14 分) (Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ ,使{an}是等比数列,则有 a 2=a1a3,即
2

2 4 4 4 ( ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 9 9
所以{an}不是等比数列. (Ⅱ)解:因为 bn+1=(-1) [an+1-3(n-1)+21]=(-1) ( =
n+1 n+1

2 an-2n+14) 3

2 2 n (-1) · (an-3n+21)=- bn 3 3

又 b1x-(λ +18),所以

当λ =-18,bn=0(n∈N ),此时{bn}不是等比数列: 当λ ≠-18 时,b1=(λ +18) ≠0,由上可知 bn≠0,∴

+

ba ?1 2 ? ? (n∈N+). bn 3
2 为公比的等比数列. 3

故当λ ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ +18)为首项,- (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ =-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ ≠-18,故知 bn= -(λ +18) · (-
n Sn=- (? ? 18)·   ?1-(- )?.

2 n-1 ) ,于是可得 3

3 5

? ?

2 ? 3 ?

要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立, 即 a<-

3 2 n + (λ +18)· [1-(- ) ] 〈b(n∈N ) 5 3



a 2 1 ? (? ) n 3

3 ? ? (? ? 18) ? 5

b 2 1 ? (? ) n 3

          


2 令f (n) ? 1 ? (? ),则
5 5 ;当n为正偶数时, ? f (n) ? 1, 3 9 5 5 ∴f(n)的最大值为 f(1)= ,f(n)的最小值为 f(2)= , 3 9 5 3 3 于是,由①式得 a<- (λ +18),< b ? ?b ? 18 ? ? ? ?3a ? 18 . 9 5 5
当 n 为正奇数时,1<f(n) ? 当 a<b ? 3a 时,由-b-18 ? =-3a-18,不存在实数满足题目要求; 当 b>3a 存在实数λ ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<2. 26.(2005 北京)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? (I)a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式; (II) a2 ? a4 ? a6 ?

1 S n ,n=1,2,3,……,求 3

? a2n 的值.

1 S n ,n=1,2,3,……,得 3 1 1 1 1 1 4 1 1 16 a2 ? S1 ? a1 ? , a3 ? S2 ? (a1 ? a2 ) ? , a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? , 3 3 3 3 3 9 3 3 27 1 1 4 由 an ?1 ? an ? ( S n ? S n ?1 ) ? an (n≥2) ,得 an ?1 ? an (n≥2) , 3 3 3
解: (I)由 a1=1, an ?1 ?

又 a2=

1 4 n?2 1 ,所以 an= ( ) (n≥2), 3 3 3

? 1 ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an ? ? 1 4 n ? 2 ( ) ? ?3 3

n ?1 n≥ 2

27.(2005 福建)已知{ an }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由. 解: (Ⅰ)由题设 2a3 ? a1 ? a2 ,即2a1q 2 ? a1 ? a1q,

? a1 ? 0,? 2q 2 ? q ? 1 ? 0.

1 ? q ? 1或 ? . 2
(Ⅱ)若 q ? 1, 则S n ? 2n ? 当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? 若q ? ?

n(n ? 1) n 2 ? 3n ?1 ? . 2 2
(n ? 1)( n ? 2) ? 0. 故 S n ? bn . 2

1 n(n ? 1) 1 ? n 2 ? 9n , 则S n ? 2n ? (? ) ? . 2 2 2 4
(n ? 1)( n ? 10) , 4

当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? ?

故对于 n ? N ? ,当2 ? n ? 9时, S n ? bn ;当n ? 10 时, S n ? bn ;当n ? 11 时, S n ? bn .


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