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2013届高考数学压轴题练习24


高考数学压轴题练习 24
x2 y2 2 【文科】已知椭圆 ? ? 1(a ? 2 )的离心率为 ,双曲线 C 与已知椭圆有相同的 a a 2
焦点,其两条渐 近线与以点 (0, 2 ) 为 圆心,1 为半径的圆相切。 (I)求双曲线 C 的方程; (II)设直线 y ? m x ? 1 与双曲线 C 的左支交于两点 A、B,另一直线 l 经过点 M (?2,0) 及 AB 的中点,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围。

【解析】(本小题满分 12 分) : (I)设双曲线 C 的焦点为: F (?c,0), F2 (c,0), c ? 0 1

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

c a2 ? 2 2 由已知 ? , ? a a 2

得a ? 2, c ? 2 ,
设双曲线 C 的渐近线方程为 y ? kx , 依题意,

……………2 分

k ?0 ? 2 k 2 ?1

? 1 ,解得 k ? ?1 .

[来源:学科网]

∴ 曲线 C 的两条渐近线方程为 y ? ? x . 双 故双曲 线 C 的实半轴长与虚半轴长相等,设为 a1 ,则 2a12 ? c2 ? 2 ,得 a12 ? 1 , ∴ 双曲线 C 的方程为 x ? y ? 1
2 2

……………6分.

(II)由 ?

?y ? m x? 1
2 2

得(1 ? m 2 ) x 2 ? 2m x ? 2 ? 0 ?x ? y ? 1 ,
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

直线与双曲线左支交于两点,

?1 ? m2 ? 0 ? ?? ? 0 ? 因此 ? 2m ? 0 2 ?1 ? m ? ?2 ?0 ? ?1 ? m2
又 AB 中 点为 (

解得1 ? m ? 2 ………………..9分

m 1 , ) 2 1 ? m 1 ? m2

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∴ 直线 l 的方程为 y ? 令 x=0 ,得 b ?

1 ( x ? 2) , ? 2m ? m ? 2
2
2

2 ? ? 2m ? m ? 2

2 , 1 2 17 ? 2( m ? ) ? 4 8

∵ ? (1, 2 ) m

? ∴ 2(m ? ) ?
2

1 4

17 ? (?2 ? 2 ,1) 8
………………12 分.
[来源:学科网]

∴ b 的取值范围是 (??, ?2 ? 2) ? (2, ??) . 故

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