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四川省成都外国语学校2014届高三12月月考数学(文)试题


成都外国语学校 2014 届高三 12 月月考 数学(文)试题
满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考试务必先认真核对条形码上的姓名,准考证号和座位号,无误后将本人姓名、准 考证号和座位号填写在相应位置, 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号; 3.答题时,必

须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。

第Ⅰ卷(单项选择题
x

共 50 分)


一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,请将答案涂在答题卷上) 1、若集合 M ? { y | y ? 2 , x ? R} ,集合 S ? {x | y ? lg( x ? 1)} ,则下列各式中正确的是( A、 M ? S ? M B、 M ? S ? S C、 M ? S ) D、 2 ) D、100 ) 开始 输入 p n=1 S=0 n=n+1 C、 15 a D、 15 a S=S+2?n n<p?
? 否 是

D、 M ? S ? ?

2、设 i 是虚数单位,则 (1 ? i ) ?

2 等于( i

A、0 B、 4 C、 2 3、设等差数列 ?a n ? 的前项和为 S n ,若 a 4 ? 9 , a6 ? 11 ,则 S 9 等于( A、180 B、90 C、72 4、要得到一个奇函数,只需将 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的图象( A、向右平移 C、向左平移

?

?

6

个单位 个单位

B、向右平移 D、向左平移

?

?

3

个单位 个单位

3 6 ???? ? ???? ? 5、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 a , AM ? 1 MC1 ,点 N 2 为 B1B 的中点,
则 MN ? ( A、 ) B、 6 a

21 a 6

6

6

3

6、执行如图的程序框图,如果输入 p=8,则输出的 S=( ) 63 127 127 255 A、 B、 C、 D、 64 64 128 128 7、已知 a ? 0, 且 a ? 1 ,函数 y ? log a x, y ? a x , y ? x ? a 在同一坐标 系中的图象可能是( )

输出 S 结 束

A







8、某几何体的三视图如图所示,当 xy 最大时,该几何体的体积为(



5

x

y

7
正视图 侧视图 俯视图

A、 2 7

B、 3 7

C、 4 7

D、 6 7

9、 已知 a ? 2 b ? 0, 且关于 x 的函数 f ? x ? ? 的夹角范围是( A、 ?0, ) B、 ?

1 3 1 x ? a ? x 2 ? a ? bx 在 R 上有极值,则 a 与 b 3 2
C、 ?

?? ? ? ? 2? ? D、 ? , ,? ? ? ?6 ? ?3 3 ? 10、已知 R 上的连续函数 g(x)满足:①当 x ? 0 时, g '( x) ? 0 恒成立( g '( x) 为函数 g ( x) 的导函数); ② 对 任 意 的 x ? R 都 有 g ( x ) ? g (? x ) , 又 函 数 f ( x ) 满 足 : 对 任 意 的 x ? R , 都 有 ? ?? ? ? 6?
f ( 3 ? x) ? f ( x ? 3) 成 立 。 当 x ? [? 3, 3] 时 , f ( x) ? x3 ? 3 x 。 若 关 于 x 的 不 等 式 3 3 ) g[ f ( x)] ? g (a 2 ? a ? 2) 对 x ? [? ? 2 3, ? 2 3] 恒成立,则 a 的取值范围是( 2 2 A、 a ? R B、 0 ? a ? 1 1 3 3 1 3 3 C、 ? ? D、 a ? 0 或 a ? 1 ?a?? ? 2 4 2 4

?? ? ,? ? ?3 ?

第Ⅱ部分 (非选择题
11、已知 ? ? (

共 100 分)

二.填空题(本大题 5 个小题,每题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卷上)

3 , ? ),sin ? ? , 则 tan ? = 2 5 ?1 ? x ? y ? 3, 12、设 x , y 满足条件 ? 则点 ( x, y ) 构成的平面区域面积等于 ?? 1 ? x ? y ? 1,
13、已知 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a ? 积 S ?ABC ? ________ 。

?

.

2, A ? 45?, B ? 60? ,那么 ?ABC 的面

14、已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b?1,且 a?(0,3),则对于任意的 b?R,函数 F(x)=f(x)?x 总有两个不同的 零点的概率是 15、若对任意 x ? A , y ? B , A 、 B ? R )有唯一确定的 f ( x, y ) 与之对应,称 f ( x, y ) 为关于 x 、 ( y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x 、 y 的广义“距离”: (1)非负性: f ( x, y ) ? 0 ,当且仅当 x ? y 时取等号;

(2)对称性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ; (3)三角形不等式: f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立.
2 今 给 出 个 二 元 函 数 :① f ( x, y ) ?| x ? y | ; ② f ( x, y ) ? ( x ? y ) ; ③ f ( x, y ) ?

x? y ;

④ f ( x, y ) ? sin( x ? y ) . 则 能 够 成 为 关 于 的 x 、 y 的 广 义 “ 距 离 ” 的 函 数 的 所 有 序 号 是 . 三.解答题(本大题 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16、 (12 分)集合 A ? { y | y ? sin x ? cos( x ?

?

若命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,且 p 是 q 必要不充分条件,求实数 m 的取值范围。 17、 (12 分)三棱锥 P?ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC。 (1)证明:平面 PAB⊥平面 PBC; P (2)若 PA ? 角, E , F 分 6 , AC ? 3 ,PB 与底面 ABC 成 60° 别是 PB 与 PC 的中点, S 是线段 EF 上任意一动点(可与端点重 合) ,求多面体 SABC 的体积。 S E

6

) ? m, x ? R} , B ? { y | y ? ? x 2 ? 2 x, x ? [1, 2]} ,

F 18、 (12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 A 1,2,3,4。 (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球, 求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m ,将球放回袋中,然后 C 再从袋中随机取一个球, 该球的编号为 n , n ? m +2 的概率。 求 19、 (12 分)如图,海上有 A , 两个小岛相距 B 10 km ,船 O 将保持观望 A 岛和 B 岛所成的 D 视角为 60? , 现从船 O 上派下一只小艇沿 BO A 方向驶至 C 处进行作业,且 OC ? BO .设 AC ? x km 。 (1)用 x 分别表示 OA2 ? OB 2 和 60? C OA ? OB ,并求出 x 的取值范围; O (2)晚上小艇在 C 处发出一道强烈的光 (第 19 题图) 线照射 A 岛,B 岛至光线 CA 的距离为 BD ,求 BD 的最大值. 20、 (13 分)已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1, 且点 P (an , an ?1 )(n ? N * ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上。 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)若函数 f (n) ? 小值; (3) 设 bn ?



B

1 2 3 n ?n ? N , 且n ? 2?, 求函数 f (n) 的最 ? ? ??? n ? a1 n ? a 2 n ? a3 n ? an

g ?n ? 的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。 21、 (14 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln x ? ax ? 3( a ? R ) . (I)若 a ? ?1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 (Ⅱ) 求证: ? ? ? ...? ? ( n ? 2,n ? N * ) 2 3 4 n n (Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45? ,对于任意的 t ? [1, 2] ,函数 m g ( x) ? x 3 ? x 2 [ f '( x) ? ]( f '( x) 是 f ( x) 的导函数)在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,求 m 的取 2
值范围。

1 , S n 表 示 数 列 ?bn ? 的 前 项 和 . 试 问 : 是 否 存 在 关 于 n 的 整 式 g ?n ? , 使 得 an S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?1 ? ?S n ? 1? ? g ?n ? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在,写出

成都外国语学校高 2014 级数学 12 月月考文科答案
1 15、① 3 ? 3 1 3 3 16、解: y ? sin x ? cos( x ? ) ? m ? sin x ? cos x ? sin x ? m ? sin x ? cos x ? m 6 2 2 2 2
1-10:ADBCA CCABD 11、 ? 12、2 13、 14、

3 4

3? 3 4

? 3 sin( x ? ) ? m ? [m ? 3, m ? 3] --------------------------5 分 6 故 A ? [m ? 3, m ? 3] -------------------------6 分

?

y ? ? x 2 ? 2 x 在 x ? [1, 2] 为减函数,故 B ? [0,1] ,------------------8 分 又命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B , p 是 q 必要不充分条件,故 B ? A -----------10 分 ? m ? 3 ? 0 且 m ? 3 ? 1 ,从而 1 ? 3 ? m ? 3 ------------12 分, 17、(1)证明:∵PA?面 ABC,?PA?BC, ∵AB?BC,且 PA∩AB=A,?BC?面 PAB 而 BC?面 PBC 中,?面 PAB?面 PBC. ……5 分 (2)解:PB 与底面 ABC 成 60° 角,
即 ?PBA ? 60? , PA ?

P F S B C

6 ,―――――6分
E A

在 Rt ?PAC 中, AB ? 2 ,又 AC ? 3 , 在 Rt ?ABC 中, BC ? 1 。―――――8分 E、F分别是PB与PC的中点,? EF // 面 ABC ――――9分

1 1 1 3 ―――――12分 ?VS ? ABC ? VE ? ABC ? ? AB ? AC ? PA ? 3 2 2 6

19、解: (1)在 ?OAC 中, ?AOC ? 120? , AC ? x ,由余弦定理得, OA2 ? OC 2 ? 2OA ? OC ? cos120? ? x 2 , 又 OC ? BO ,所以 OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos120? ? x 2 ①, 在 ?OAB 中, AB ? 10 , ?AOB ? 60? 由余弦定理得, OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos 60? ? 100 ②, ………………3 分 x 2 ? 100 ①+②得 OA2 ? OB 2 ? ,①-②得 4OA ? OB ? cos 60? ? x 2 ? 100 ,即 2 x 2 ? 100 x 2 ? 100 x 2 ? 100 ,……4 分 又 OA2 ? OB 2 ≥ 2OA ? OB ,所以 ,即 OA ? OB ? ≥2? 2 2 2 x 2 ≤ 300 ,

x 2 ? 100 2 ………6 分 >0 ,即 x >100 ,所以 10< x ≤10 3 ; 2 1 3( x 2 ? 100) (2)易知 S ?OAB ? S ?OAC ,故 S ?ABC ? 2 S ?OAB ? 2 ? ? OA ? OB sin 60? ? , ………8 分 2 4 1 3( x 2 ? 100) 又 S ?ABC ? ? AC ? BD ,设 BD ? f ( x) ,所以 f ( x) ? , ? (10 , 3] , …………9 x 10 2 2x 分 3 100 又 f ?( x) ? 10 (1 ? 2 ),则 f ( x) 在 (10 , 3] 上是增函数, 2 x 所以 f ( x) 的最大值为 f (10 3) ? 10 ,即 BD 的最大值为 10. ……………………12 分
又 OA ? OB ? (利用单调性定义证明 f ( x) 在 (10 , 3] 上是增函数,同样给满分;如果直接说出 f ( x) 10 ) (10 , 3] 上是增函数,但未给出证明,扣 2 分. 10 20 解:() 点P(an , an ?1 )在直线x ? y ? 1 ? 0上,即an ?1 ? an ? 1, 且a1 ? 1 1?

? 数列?an ? 是以1为首项, 1为公差的等差数列。 ? an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n(n ? 2), a1 ? 1也满足 ? an ? n. 1 2 n (2) f (n) ? ? ? ?? ? , n ?1 n ? 2 2n 1 2 3 n ?1 n n ?1 f (n ? 1) ? ? ? ?? ? ? ? , n?2 n?3 n?4 2n 2n ? 1 2n ? 2 ? f (n ? 1) ? f (n) ? 0, 5 ? f (n)是单调递增的,故f (n)的最小值是f (2) ? 。 6 1 1 1 1 1 (3) bn ? ? S n ? 1 ? ? ? ? ? ,? S n ? S n ?1 ? (n ? 2), ? n 2 3 n n 即nSn ? (n ? 1) S n ?1 ? S n ?1 ? 1,? (n ? 1) S n ?1 ? (n ? 2) S n ? 2 ? S n ? 2 ? 1,??,S 2 ? S1 ? S1 ? 1,

? nSn ? S1 ? S1 ? S 2 ? ? ? S n ?1 ? n ? 1, ? S1 ? S 2 ? ? ? S n ?1 ? nS n ? n ? ( S n ? 1) ? n(n ? 2) ? g (n) ? n. 故存在关于n的整式g (n) ? n,使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立
法二:先由 n=2,n=3 的情况,猜想出 g(n)=n,再证明。 21、解:(Ⅰ)当 a ? ?1 时, f '( x) ?

f (x) 的单调增区间为 ?1,?? ? ,减区间为 ?0,1? (Ⅱ) 证 明 如 下 : 由 (Ⅰ) 可 知 当

x ? (0,1)

( x ? 1) ( x ? 0) ,解 f '( x) ? 0 得 x ? (1,??) ;解 f '( x) ? 0 得 x

x ? (1,??)



f ( x) ? f (1)

, 即

? ln x ? x ? 1 ? 0 ,∴ 0 ? ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1,??) 成立 ln n n ? 1 ∵ n ? 2, n ? N * ,则有 0 ? ln n ? n ? 1 ,∴ 0 ? ? n n ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? (n ? 2, n ? N? ) 2 3 4 n 2 3 4 n n a (1 ? x) a (Ⅲ) ∵ f ' ( x) ? ( x ? 0) ∴ f ' (2) ? ? ? 1 得 a ? ?2 , f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 x 2 m g ( x) ? x 3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x ,∴ g ' ( x) ? 3 x 2 ? (m ? 4) x ? 2 2

∵ g (x) 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,且 g ? 0 ? ? ?2 ∴ ?
'

? g ' (t ) ? 0 ? g ' (3) ? 0

? g '(1) ? 0 37 ? 由题意知:对于任意的 t ? [1,2] , g '(t ) ? 0 恒成立, 所以, ? g '(2) ? 0 ,∴ ? ? m ? ?9 . 3 ? g '(3) ? 0 ?


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