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3.2《均值不等式》教案 (新人教B版必修5)


3.2 均值不等式 教案
教学目标: 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理. 利用均值定理求极值. 了解均值不等式在证明不等式中的简单应用 教学重点: 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理 利用均值定理求极值 教学过程 一、复习: 1、复习不等式的性质定理及其推论 1:a>b ? b<a 2:a>

b,b>c ? a>c(或 c<b,b<a ? c<a)(传递性) 3:a>b ? a+c>b+c(或 a<b ? a+c<b+c) (1):a+b>c ? a>c-b(移项法则) (2):a>b,c>d ? a+c>b+d 4、若 a>b,且 c>0,那么 ac>bc;若 a>b,且 c<0,那么 ac<bc. (1)、若 a>b>0,且 c>d>0,则 ac>bd (2)、若 a>b>0,则 an>bn (n∈ N ? ,且 n>1) (3)、若 a>b>0,则 n a ? n b (n∈ N ? ,且 n>1) 2、定理变式: 如果 a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时,等号成立) 3、均值定理:如果 a,b 是正数,那么

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

证明:∵ ( a ) 2 ? ( b ) 2 ? 2 ab,

? a ? b ? 2 ab ,即

a?b ? ab ? 2 a?b ? ab ? 显然,当且仅当 a ? b时, 2 a?b 为a, b 的算术平均数,称 ab为a, b 的几何平均数,因而,此定 说明:ⅰ)我们称 2

理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ⅱ) a
2

? b 2 ? 2ab和

a?b 2

? ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都是实数,

而后者要求 a,b 都是正数 ⅲ) “当且仅当”的含义是等价 3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦” 以长为 a+b 的线段为直径作圆,在直径 AB 上取点 C,使 AC=a,CB=b 过点 C 作垂直于直径
2 AB 的弦 DD′,那么 CD ? CA ? CB ,即 CD ?

ab

这个圆的半径为

a?b a?b ? ab ,其中当且仅当点 C 与圆 ,显然,它不小于 CD,即 2 2

心重合;即 a=b 时,等号成立 应用例题: 例 1、已知 a、b、c∈R,求证: 不等式的左边是根式,而右边是整式,应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开 方式转化为完全平方式,再利用不等式的性质证得原命题。

例 2、若 a, b, c ? R ? ,则

a2 b2 c2 ? ? ? a?b?c b c a


本题若用"求差法"证明,计算量较大,难以获得成功,注意到 a , b , c∈R ,从结论的特 点出发,均值不等式,问题是不难获证的。

2 2 2 例 3、已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca

2 2 证明:∵ a ? b ? 2ab

b2 ? c2 ? 2bc
2 2 2

c 2 ? a 2 ? 2ca

以上三式相加: 2(a ? b ? c ) ? 2ab ? 2bc ? 2ca
2 2 2 ∴ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca

例 4、已知 a,b, c,d 都是正数,求证: (ab ? cd )(ac ? bd) ? 4abcd 分析:此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从而正确运用,同时 加强对均值不等式定理的条件的认识 证明:∵a,b,c,d 都是正数,∴ab>0,cd>0,ac>0,bd>0 得

ab ? cd ? ab ? cd ? 0, 2

ac ? bd ? ac ? bd ? 0. 2

由不等式的性质定理 4 的推论 1,得

?

(ab ? cd )(ac ? bd ) ? abcd . 4

即 (ab ? cd )(ac ? bd) ? 4abcd 归纳小结 定理:如果 a,b 是正数,那么

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

2、利用均值定理求最值应注意: “正”“定”“等” , , ,灵活的配凑是解题的关键。 巩固练习 P71 练习 A, P72 练习 B。


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