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(理数)深圳市高级中学2012-2013学年高二下学期期末考试


深圳高级中学 2012-2013 学年高二第二学期期末测试 数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题、填空题共 70 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数 (3i ? 1)i 的共轭复数是 A .?3?i B. ? 3 ? i C. 3 ? i D. 3 ? i 2.设一地球

仪的球心为空间直角坐标系的原点 O,球面上有两个点 A,B 的坐标分别为 A(1,2,2),B(2,-2,1),则 | AB |? A .18 B.12 C. 3 2 D. 2 3

3.对变量 x, y 有观测数据( x1 , y1 ) (i=1,2,?,10) ,得散点图 1;对变量 u ,v 有观测 数据( u1 , v1 ) (i=1,2,?,10),得散点图 2. 由这两个散点图可以判断:

A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关

B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关

4.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? 2 ) , P(? ? 4) ? 0.2 ,则 P(? ? 0) ? A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 ) C.63
2 n+1

D. 0.2

1 2 3 4 5 5. C6 ? C6 ? C6 ? C6 ? C6 的值为(

A.61

B.62

D.64

6. 利用数学归纳法证明“1+a+a +?+a 立时,左边应该是 A.1 ( B. 1 ? a )

=

1 ? a n?2 , (a≠1,n∈N)”时,在验证 n=1 成 1? a
D. 1 ? a ? a ? a
2

C. 1 ? a ? a

2

3

7. 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人 分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,

1

其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种

8. 已知抛物线 C : y 2 ? 8 x 的焦点为 F , 准线与 x 轴的交点为 K , A 在 C 上且 AK ? 2 AF , 点 则 ?AFK 的面积为( ) A. 4 B. 8

C. 16

D. 32

二、填空题: 本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 1 10 4 9.在(x + ) 的展开式中常数项是

x

(用数字作答) .

10.曲线 y ? x 2 , x ? 0, y ? 1 所围成的图形的面积为 11.已知 X ~ B(n, p), 且 E( X )=10,D( X )=6,则 p ? 12. a ? b ? 0, m ? 0, n ? 0 , 若 则

.

a b b?m a?n , , , 按由小到大的顺序排列为 . b a a?m b?n 13. 如图 4, O 为正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的中心, E 为面 B?BCC ? 的中心, F 为 B ?C ? 点 点 点 ?OEF 在该正方体的面上的正投影的所有可能的图形的序号是 的中点,则空间四边形 D
_______.

14.观察下列等式:
1 5 C5 ? C5 ? 23 ? 2 , 1 5 9 C9 ? C9 ? C9 ? 27 ? 23 , 1 5 9 13 C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25 , 1 5 9 13 17 C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? 215 ? 27 ,

??? 由以上等式推测到一个一般的结论:
* 对于 n ? N , C4 n ?1 ? C4 n ?1 ? C4 n ?1 ? ? ? C4 n ?1 ?
1 5 9 4 n ?1

..

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 某公司近年来科研费用支出 x 万元与公司所获得利润 y 万元之间有如下的统计数据:

x
y
(1)请画出上表数据的散点图;

2 18

3 27

4 32

5 35

y ?bx?a; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程
(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测该公司科研费用支出为 10 万元时公司所获得的利润. 参考公式:
?

?

?

?

b?

?x y
i ?1 n i i ?1

n

i

?nx y
?2

? ?

? xi ? n x
2

, a ? y? b x

?

?

? ?

16. (本小题满分 12 分) 某公司为庆祝元旦举办了一次抽奖活动, 现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字 1000、 800、 600、0 的四个球(球的大小相同) .参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回) ,公司即 赠送与此球上所标数字等额的奖金(元) ,并规定摸到标有数字 0 的球时可以再摸一次,但是 所得奖金减半(若再摸到标有数字 0 的球就没有第三次摸球机会) ,求一个参与抽奖活动的人 可得奖金的期望值是多少元.

17. (本小题满分 14 分) 如图 6,正方形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面 相交于 CD,线段 CD 为圆 O 的弦,AE 垂直于圆 O 所在平面,垂足 E 是圆 O 上异于 C、D 的点, AE=3,圆 O 的直径为 9. (1)求证:平面 ABCD ⊥平面 ADE; (2)求二面角 D—BC—E 的平面角的正切值.

3

2 2 18. (本小题满分 14 分)已知椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭 2 2 a b

圆 C 上,且 PF1⊥F1F2, |PF1|= (I)求椭圆 C 的方程;

4 14 , |PF2|= . 3 3

(II)若直线 L 过圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M
2 2

对称,求直线 L 的方程。

19.(本小题满分 14 分)如图,两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县 城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂,其对城市的

影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处 理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y ,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到 城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成 反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 (I)将 y 表示成 x 的函数; (II)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.

城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由。

20. (本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2
2

(I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2 In2 4

4

参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、A 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、B 二、填空题: 本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 9. 45 12. 10.

b b?m a?n a ? ? ? a a?m b?n b

4 3

11.

2 5
4 n ?1

13. ①②③

14. 2

? ? ?1? 22 n ?1
n

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 15、 (本小题满分 12 分)解:(1)画出散点图如图:??..3 分
40 35 30 25 20 15 10 5 0 0
?

1

2

3

4

5

6

( 2) x ?

? 2?3? 4?5 18 ? 27 ? 32 ? 35 ? 3.5, y ? ? 28, 4 4

?x y
i ?1 4 i

4

i

? 2 ? 18 ? 3 ? 27 ? 4 ? 32 ? 5 ? 32 ? 420 ,

?x
i ?1
?

2

? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? 5 2 ? 54,
5分

b?

?x y
i ?1 n i

n

i

?nx y ?nx
?2

? ?

?x
i ?1 ? ?

?

2 i

420 ? 4 ? 3.5 ? 28 420 ? 392 ? ? 5.6, 54 ? 49 54 ? 4 ? 3.5 2

a ? y ? b x ? 28 ? 5.6 ? 3.5 ? 8.4,
?

?

?

?????????9 分

所求线性回归方程为: y ? 5.6 x ? 8.4 ???????????????10 分 (1) 当 x ? 12 时, y ? 5.6 ? 10 ? 8.4 ? 64 .4 (万元),???????????11 分 故预测该公司科研费用支出为 10 万元时公司所获得的利润为 64.4 万元??12 分 16. (本小题满分 12 分)
?

5

17. (本小题满分 14 分)

6

18. (本小题满分 14 分) 解法一:(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF1 ? PF2 ? 6 ,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ? 从而 b =a -c =4,
2 2 2

??.2 分

PF2 ? PF1

2

2

? 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,
????????????????5 分

7

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 =1 ? 9 4

????????????????7 分
2 2

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2). 由圆的方程为(x+2) +(y-1) =5,所以圆心 、 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, ?9 分 2 2 2 2 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k )x +(36k +18k)x+36k +36k-27=0. ?12 分 因为 A,B 关于点 M 对称. 所以直线 l 的方程为 y ? 所以

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 2 4 ? 9k 2
即 8x-9y+25=0.

解得 k ?

8 , 9

8 ( x ? 2) ? 1, 9

(经检验,符合题意) ?14 分

解法二:(Ⅰ)同解法一. 2 2 (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2) +(y-1) =5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 y ? 1 ? 1, 9 4 x2 y ? 2 ? 1, 9 4
由①-②得
2 2

2

2





( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 9 4



因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得

y1 ? y 2 8 8 = ,即直线 l 的斜率为 , x1 ? x 2 9 9
8 (x+2) ,即 8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.) 9

所以直线 l 的方程为 y-1=

19.(本小题满分 14 分) 解:(I)如图,由题意知 AC⊥BC, BC ? 400 ? x , y ?
2 2

4 k ? (0 ? x ? 20) ?.2 分 2 x 400 ? x 2

其中当 x ? 10 2 时,y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 y ?

?4 分

4 9 ? (0 ? x ? 20) ?6 分 2 x 400 ? x 2

(II) y ?

8 9 ? (?2 x) 18 x 4 ? 8(400 ? x 2 ) 2 4 9 ? , y' ? ? 3 ? , ? x (400 ? x 2 ) 2 x3 (400 ? x 2 ) 2 x 2 400 ? x 2

?8 分

4 2 2 2 令 y ' ? 0 得 18 x ? 8(400 ? x ) ,所以 x ? 160 ,即 x ? 4 10 ,

?10 分

8

4 2 2 当 0 ? x ? 4 10 时, 18 x ? 8(400 ? x ) ,即 y ' ? 0 所以函数为单调减函数, 4 2 2 当 4 6 ? x ? 20 时, 18 x ? 8(400 ? x ) ,即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数.

?.13 分

所 以 当 x?4

1 0 , 即 当 C 点 到 城 A 的 距 离 为 4 时
?14 分

1 0时 , 函 数

y?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 2

20. (本小题满分 14 分) 解: (I) f ? ? x ? ? 2 x ?
2

a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) 1? x 1? x

?2 分

令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ,其对称轴为 x ? ?

1 。 2

由 题 意 知 x1、x2 是 方 程 g ( x) ? 0 的 两 个 均 大 于 ?1 的 不 相 等 的 实 根 , 其 充 要 条 件 为

? ? ? 4 ? 8a ? 0 1 ,得 0 ? a ? ? 2 ? g (?1) ? a ? 0

?4 分

⑴当 x ? (?1, x1 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( ?1, x1 ) 内为增函数; ⑵当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数; ⑶当 x ? ( x2, ? ?) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x2, ? ?) 内为增函数;?.7 分 (II)由(I) g (0) ? a ? 0,??

1 ? x2 ? 0 , a ? ?(2 x 2 2 +2x2 ) 2
?9 分

? f ? x2 ? ? x2 2 ? aln ?1 ? x2 ? ? x2 2 ? (2 x 2 2 +2x2 )ln ?1 ? x2 ?
设 h ? x ? ? x ? (2 x ? 2 x)ln ?1 ? x ? ( x ? ? ) ,
2 2

1 2

则 h? ? x ? ? 2 x ? 2(2 x ? 1)ln ?1 ? x ? ? 2 x ? ?2(2 x ? 1)ln ?1 ? x ? ⑴当 x ? (?

?11 分

1 1 , 0) 时, h? ? x ? ? 0,? h( x) 在 [ ? , 0) 单调递增; 2 2


⑵当 x ? (0, ??) 时, h? ? x ? ? 0 , h( x ) 在 (0, ??) 单调递减。

1 1 1 ? 2ln 2 ?当x ? (? , 0)时, h ? x ? ? h(? ) ? 2 2 4 1 ? 2 In2 故 f ? x2 ? ? h( x2 ) ? . ?14 分 4

9


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