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向量法求空间距离和角


用向量方法求空间角和距离
在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解 法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点.向 量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、 新方法与时俱进,本专题将运用 向量方法简捷地解决这些问题. 1 求空间角问题

空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的

角;二面角. (1)求异面直线所成的角 设 a 、 b 分别为异面直线 a、b 的方向向量,
? ? a? b 则两异面直线所成的角 ? = arccos | ? ? | | a || b |
? ?

(2)求线面角 设 l 是斜线 l 的方向向量, n 是平面 ? 的法向量,
?? l ?n 则斜线 l 与平面 ? 所成的角 ? = arcsin | ? ? | | l || n |
? ?

(3)求二面角 法一、在 ? 内 a ? l ,在 ? 内 b ? l ,其方向如图,则二面角
? ? a? b ? ? l ? ? 的平面角 ? = arccos ? ? | a || b |
? ?

1

法二、设 n1, n2 , 是二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量, 其方向一个指向内侧, 另一个指向外侧, 则二面角 ? ? l ? ?
?? ?? ? n1 ?n2 ? 的平面角 ? = arccos ?? ?? | n1 || n2 |

?? ?? ?

2

求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离的求

法,象异面直线间的距离、线面距离;面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离 法一、 n 是平面 ? 的法向量, ? 内取一点 B, 则 A 设 在
??? ? ? ??? ? | AB?n | 到 ? 的距离 d ?| AB || cos? |? ? |n|
?

法二、设 AO ? ? 于 O,利用 AO ? ? 和点 O 在 ? 内 的向量表示,可确定点 O 的位置,从而求出 | AO | . (2)求异面直线的距离 法一、找平面 ? 使 b ? ? 且 a ? ? ,则异面直线 a、b 的距 离就转化为直线 a 到平面 ? 的距离,又转化为点 A 到 平面 ? 的距离. 法二、在 a 上取一点 A, 在 b 上取一点 B, 设 a 、 b 分别 为异面直线 a、b 的方向向量,求 n ( n ? a , n ? b ) ,则
??? ? ? ??? ? | AB?n | 异面直线 a、 的距离 d ?| AB || cos? |? ? (此方法移植 b |n|
? ? ? ?
?

????

?

?

于点面距离的求法) .
2

例1.如图,在棱长为2的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 A1D1, A1B1 的中点. (Ⅰ)求异面直线 DE与FC1 所成的角; (II)求 BC1 和面 EFBD 所成的角; (III)求 B1 到面 EFBD 的距离 解: (Ⅰ)记异面直线 DE与FC1 所成的角为 ? , 则 ? 等于向量 DE与FC1 的夹角或其补角,
??? ???? ? ?
???? ????? DE ?FC1 ???? ????? | DE |?| FC1 |

? cos ? ?| | ???? ???? ???? ???? ? ? ? ( DD1 ? D1E )?( FB1 ? B1C1 ) ???? ???? ? ?| | | DE |? FC1 | | ?| ?2 2 2 |? ,?? ? arccos 5 5 5 5

(II)如图建立空间坐标系 D ? xyz , 则 DE ? (1,0,2) , DB ? (2,2,0)
? 设面 EFBD 的法向量为 n ? ( x, y,1)
???? ? ? DE ? n ? 0 ? 由 ? ???? ? ? DB ? n ? 0 ?

??? ?

??? ?

得 n ? (?2,2,1)

?

又 BC1 ? (?2,0,2)

???? ?

记 BC1 和面 EFBD 所成的角为 ? 则
???? ? ? ???? ? ? BC1 ? n 2 ? sin ? ?| cos? BC1, n? |?| ???? ? |? 2 | BC1 || n |

∴ BC1 和面 EFBD 所成的角为 .
3

? 4

(III)点 B1 到面 EFBD 的距离d等于 向量 BB1 在面 EFBD 的法向量上的投影的绝对值,
???? ?? ? | BB1 ?n | 1 ? d ? ??? ? 3 |n|

????

设计说明:1.作为本专题的例1,首先选择以一个容易建立空间直角坐标系 的多面体―――正方体为载体,来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解. 2.解决(1)后,可让学生进一步求这两条异面直线的距离,并让学生体会一下: 如果用传统方法恐怕很难(不必多讲,高考对公垂线的作法不作要求) . 3.完成这3道小题后,总结:对于易建立空间直角坐标系的立几题,无论求 角、距离还是证明平行、垂直(是前者的特殊情况) ,都可用向量方法来解决, 向量方法可以人人学会,它程序化,不需技巧. 例 2.如图,三棱柱中,已知 A BCD 是边长为 1 的正方形,四边形
AA?B ?B

是矩形, 平面AA?B?B ? 平面ABCD。

' (Ⅰ)若 AA? =1,求直线 AB 到面 DAC 的距离.

(II) 试问:当 AA? 的长度为多少时,二面角
D ? A?C ? A 的大小为 60? ?

解: (Ⅰ)如图建立空间坐标系 A ? xyz , 则
???? DA' ? (?1,1, a)
'

???? DC ? (0,1,0)
???? ?? ? DA' ? n ? 0 ? 1 则 ? ???? ?? ? DC ? n1 ? 0 ?

?? 设面 DAC 的法向量为 n1 ? ( x, y,1)

得 n1 ? (a,0,1)
' ' 直线 AB 到面 DAC 的距离d就等于点A到面 DAC 的距离,

??

4

' 也等于向量 AD 在面 DAC 的法向量上的投影的绝对值,

????

???? ?? | AD ?n1 | 2 ?? ?d ? ? 2 | n1 |

(II)易得面 AA'C 的法向量 n2 ? ( , ? ,0)
?? ?? ? ? 向量 n1, n2 的夹角为 60?
?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 ? 由 cos? n1 , n2 ? ? ?? ?? ? | n1 || n2 | 1 a 2 2 a ?1 ? 2
2

?? ?

1 2

1 2

?

1 2



a ?1

? 当 AA? =1时,二面角 D ? A?C ? A 的大小为 60? .

设计说明:1.通过(Ⅰ) ,复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一 向量(法向量)投影的绝对值的解题思路与方法. 2.通过(II) ,复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法,也可借此机 会说明为什么这两个角相等或互补,就没有其他情况.

例3.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长均为2,P是侧棱 AA1 上任意一点. (Ⅰ)求证: 直线 B1P 不可能与平面 ACC1 A1 垂直; (II)当 BC1 ? B1P 时,求二面角 C ? B1P ? C1 的大小. 证明: (Ⅰ)如图建立空间坐标系 O ? xyz ,设 AP ?a 则 A, C, B1, P 的坐标分别为 (0, ?1,0),(0,1,0),( 3,0,2)(0, ?1, a)
??? ? ???? ? AC ? (0,2,0), B1P ? (? 3, ?1, a ? 2)
??? ???? ? AC?B1P ? ?2 ? 0 ,? B1P 不垂直 AC
? 直线 B1P 不可能与平面 ACC1 A1 垂直.
5

(II) BC1 ? (? 3,1,2) ,由 BC1 ? B1P ,得 BC1 ?B1P ? 0 即 2 ? 2(a ? 2) ? 0 又 BC1 ? B1C
?a ?1

???? ?

???? ???? ?

? BC1 ? 面CB1P

???? ? ? BC1 ? (? 3,1,2) 是面 CB1P 的法向量
???? ? ? B1P ? n ? 0 ? ? 设面 C1B1P 的法向量为 n ? (1, y, z) ,由 ? ????? ? ? B1C1 ? n ? 0 ? ? 得 n ? (1, 3, ?2 3) ,设二面角 C ? B1P ? C1 的大小为 ?

???? ? ? BC1 ?n 6 ? ? 则 cos ? ? ????? ?? ? | BC1 | | n | 4

? 二面角 C ? B1P ? C1 的大小为 arccos

6 . 4

设计说明:1.前面选择的两个题,可有现成的坐标轴,但本题x、z轴需要 自己添加(也可不这样建立) . 2.第(1)小题是证明题,同样可用向量方法解答,是特殊情况;本小题也 可证明这条直线与这个面的法向量不平行.

通过上面的例子, 我们看到向量方法 (更确切地讲, 是用公式: a? ?| a || b | cos? ) b 解决空间角和距离的作用,当然,以上所举例子,用传统方法去做,也是可行的, 甚至有的(例2)还较为简单,用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问 题带来的高度的技巧性和随机性.向量法可操作性强―――运算过程公式化、程序 化,有效地突破了立体几何教学和学习中的难点,是解决立体几何问题的重要工 具.充分体现出新教材新思想、新方法的优越性.这是继解析几何后用又一次用代
6

??

? ?

数的方法研究几何形体的一块好内容,数形结合,在这里得到淋漓尽致地体现. 练习: 1.在正四面体 S ? ABC 中,棱长为 a ,E,F分别为 SA 和 BC 的中点,求异面 直线 BE 和 SF 所成的角. arccos ) (
? 2. 在边长为1的菱形 ABCD 中, ABC ? 60? , 将菱形沿对角线 AC 折起, 使 折
2 3

起后 BD=1,求二面角 B ? AC ? D 的余弦值. ) ( 3.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底
P D ? A D? a ,问平面 PBA 与平面 PBC

1 3

P

面,且
D C

能否垂直?试说明理

由. (不垂直)
A B

4.在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?A ? 90? , O, O1, G 分别为 BC, B1C1, AA1 的中点,且 AB ? AC ? AA1 ? 2 . (1) 求 O1 到面 ACB1 的距离; ( 1 (2) 求 BC 到面 GB1C1 的距离. (
2 ) 2 2 6 ) 3

E

5.如图,在几何体 ABCDE 中,△ABC 是等腰直角 三角形, ABC =900,BE 和 CD 都垂直于平面 ABC, ∠
F
7

D

B

C

A

且 BE=AB=2,CD=1,点 F 是 AE 的中点. (Ⅰ)求证:DF∥平面 ABC; (Ⅱ)求 AB 与平面 BDF 所成角的大小. (arcsin )
2 3

8


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