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圆锥曲线综合训练题一[求轨迹方程]题二[中点弦问题]


圆锥曲线综合训练题一[求轨迹方程]
1、 (1) 已知双曲线 C1 与椭圆 C2 : 之比为

x2 y 2 并且双曲线的离心率 e1 与椭圆的离心率 e2 ? ? 1 有公共的焦点, 36 49

7 y 2 x2 ,求双曲线 C1 的方程. ? ?1 9 4 3

(2)以抛物线 y 2 ? 8x 上的点

M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点为 P,求 P 点的轨迹方程.

y 2 ? 4 x ?12
2、 (1) ?ABC 的底边 BC ? 16 , AC 和 AB 两边上中线长之和为 30,建立适当的坐标系求此三角形重 心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹. (2)△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=

3 sinA,求点 A 的轨迹方程. 5

解: (1)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1? y ? 0? , ? ? 1 (x>3) (2) 900 324 9 16

3、如图,两束光线从点 M(-4,1)分别射向直线 y= -2 上两点 P(x1,y1)和 Q(x2,y2)后,反射光线恰好通过椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的两焦 a2 b2

点,已知椭圆的离心率为

6 1 x2 y2 ,且 x2-x1= ,求椭圆 C 的方程. ? ?1 2 5 4 3

4、在面积为 1 的 ?PMN 中, tan M ?

1 , tan N ? ?2 ,建立适当的坐标 2

系,求出以 M 、 N 为焦点且过 P 点的椭圆方程.

4x2 y 2 ? ?1 15 3

5、已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一个动点,定点 Q 的坐标为(4,0) . (1)求线段 PQ 的中点的轨迹方程; (2)设∠POQ 的平分线交 PQ 于点 R(O 为原点) ,求点 R 的轨迹 方程.

16 4? ? 解: (1) (x-2) +y =1. (2) ? x ? ? +y2= (y≠0). 9 3? ?
2 2

2

6、已知动圆过定点 ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切.(1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程;(2) 是否存在直线

l ,使 l 过点(0,1) ,并与轨迹 C 交于 P, Q 两点,且满足 OP ? OQ ? 0 ?若存在,求出直线 l 的方程;
若不存在,说明理由. 解: (1) y ? 4 x (2)直线 l 存在,其方程为 x ? 4 y ? 4 ? 0
2

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7、设双曲线

y2 x2 ? ? 1 的两个焦点分别为 F1 、F2 ,离心率为 2.(I)求此双曲线的渐近线 l1 、l2 的 3 a2

方程; (II)若 A、B 分别为 l1 、l2 上的点,且 2| AB| ? 5| F1 F2 | ,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说 明轨迹是什么曲线; (III) 过点 N (1,0) 能否作出直线 l , 使 l 与双曲线交于 P、 Q 两点, 且 OP · OQ ? 0 . 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

?

?

x2 3y 2 3 ? ?1 解: (I) y ? ? x (II) 75 25 3

(III)k 不存在,即不存在满足条件的直线 l .

8、设 M 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,P、Q、T 分别为 M 关于 y 轴、原点、x 轴的对称点,N 为 12 4

椭圆 C 上异于 M 的另一点,且 MN⊥ MQ,QN 与 PT 的交点为 E,当 M 沿椭圆 C 运动时,求动点 E 的 轨迹方程.

x2 ? y 2 ? 1( xy ? 0), 解: 3

9、已知:直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0)和 点B (0, 8) 关于 L 的对称点都在 C 上, 求直线 L 和抛物线 C 的方程. 答: y=

1? 5 4 5 x, y2= x. 2 5

x2 y2 10、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 、F2(c,0) ,Q 是椭圆外的 a b
动 点 , 满 足 | F1Q |? 2a. 点 P 是 线 段 F1Q 与 该 椭 圆 的 交 点 , 点 T 在 线 段 F2Q 上 , 并 且 满 足

PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0.(Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ?

c x; (Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的 a

方程; (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由.
2 2 2 2 (Ⅱ) x ? y ? a . (Ⅲ)当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c
2 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.

c

2 当 a ? b 时, tan?F1 MF2 ? 2. c

11、设抛物线 C : y ? x 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过 P 作抛物线 C 的两条
2

切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.(1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程; (2)证明 ∠PFA=∠PFB. 解: (1) y ?

1 (4 x 2 ? x ? 2). 3

(2)

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圆锥曲线综合训练题二[中点弦问题]
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题。 这类问题一般有以下三种类型: (1)求中点弦所在直线方程问题; (2)求弦中点的轨迹方程问题; (3)求弦中点的坐标问题。其 解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

x2 y2 ? ? 1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被点 M 平分,求这条弦所在的直线方程。 16 4 1 解法一:设所求直线方程为 y-1=k(x-2),解得 k ? ? ,故所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2 1 解法二:设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ,M(2,1)为 AB 的中点, k AB ? ? , 2 解法三:设所求直线与椭圆的一个交点为 A( x , y ) ,由于中点为 M ( 2 , 1 ) ,则另一个交点为
1、过椭圆

? x 2 ? 4 y 2 ? 16 B(4- x ,2 ? y ),所以有 ? ,两式相减得 x ? 2 y ? 4 ? 0 , 2 2 ?(4 ? x) ? 4(2 ? y ) ? 16
2、已知抛物线 C: y ? x ,直线 l : y ? k ( x ? 1) ? 1 要使抛物线 C 上 存在关于 l 对称的两点, k 的取值范围是什么? 解: ? 2 ? k ? 0
2

3、已知椭圆

x2 ?1 1? ? y2 ? 1 , (1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在 2 ? 2 2?

直线的方程; (2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 1? 引椭圆的割线,求截得的弦的中 点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 kOP ? kOQ ? ? 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程. 解:设弦两端点分别为 M ?x1,y1 ? , N ?x2,y2 ? ,线段 MN 的中点 R?x,y ? ,则 (1) 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 (2) x ? 4 y ? 0 (椭圆内部分) (3) x 2 ? 2 y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 . (椭圆内部分) (4) x ?
2

1 , 2

y2 ?1. 1 2

x2 y 2 4、椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且 a b
PF1 ? F1 F2 ,| PF1 |? 4 14 ,| PF2 |? . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆 3 3

心 M,交椭圆 C 于 A, B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程.

(Ⅰ)

x2 y2 ? =1.(Ⅱ) 8x-9y+25=0. 9 4

(经检验,符合题意)
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5、已知椭圆

y 2 x2 9 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点 F1 (0, ?2 2) ,对应的准线方程为 y ? ? .(1)求椭 a 2 b2 4

? 1 3? 圆的方程; (2)直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被点 P ? ? , ? 平分,求直线 l 的 ? 2 2?
方程. 解: (1) x2 ?
y2 ? 1. (2)l:y=3x+3 符合要求. 9

x2 y 2 3 ) 到 F1 , F2 6、 设 F1 , F2 分别是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的左右焦点, (1)设椭圆 C 上的点 ( 3, a b 2 两点距离之和等于 4, 写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)设 K 是 (1) 中所得椭圆上的动点, 求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程;(3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,
当直线 PM ,PN 的斜率都存在,并记为 k PM , K PN 并证明你的结论. 解: (1) 试探究 k PM

? K PN 的值是否与点 P 及直线 L 有关,
, (1,0)

x2 y 2 ? ?1 4 3

焦点坐标分别为(-1,0)

1 y2 (2) ( x ? )2 ? ?1 3 2 4

(3) k PM

? K PN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关

7、已知椭圆的一个焦点为 F1 (0,?2 2 ) ,对应的准线为 y ? ?

2 4 9 2 ,离心率 e 满足 , e, 成等比数 3 3 4

列. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 A, B ,且线段 AB 恰好被 直线 x ? ?

1 平分?若存在,求出直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围;若不存在,说明理由. 2

2 解 : (Ⅰ) x ?

? ? ? 2? y2 ? 1 . (Ⅱ) ? ? ( , ) ? ( , ) . 3 2 2 3 9

8、已知椭圆

x2 y 2 ? 9? ? ? 1 上不同的三点 A ? x1 , y1 ? , B ? 4, ? , C ? x2 , y2 ? 与焦点 F ? 4,0? 的距离成等差数 25 9 ? 5?

列.(1)求证: x1 ? x2 ? 8 ; (2)若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T ,求直线 BT 的斜率 k .

? 64 ? (2) T ? ,0? ? 25 ?

9 ?0 5 k? 5 ? . 64 4 4? 25
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 不垂直于 x 轴的任意一条弦,P 是 AB 的中点,O 为椭圆 a 2 b2 ? k AB ? kOP ? ? b2 (定值). a2

9、 已知 AB 是椭圆

的中心.求证:直线 AB 和直线 OP 的斜率之积是定值. 例 8 已知双曲线 x ?
2

1 2 y ? 1, 过 B ?1 , 2

Q 两点, 使 l 与双曲线交于 P , 且 B 是线段 PQ ? 能否作直线 l ,
答:直线不存在.

的中点,这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
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