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2013上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷


2013 上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷
【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1.若在区间 [2,3]上,函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 与 g ( x) ? x ? 在 [2,3]上的最大值是 3.已知函数 y ? . . .

6 在同一点取

相同的最小值,则函数 f (x) x

2.若 a, b, c, d 为整数,且 a lg 2 ? b lg 3 ? c lg 5 ? d lg 7 ? 2013,则有序数组 (a, b, c, d ) =

( x 2 ? 2) 2 ? ( x ? 5) 2 ? ( x 2 ? 3) 2 ? x 2 ,则该函数的最小值是

4.已知线段 x ? y ? 9 ( x ? 0, y ? 0 )分别与 y 轴,指数函数 y ? a x 的图像,对数函数 y ? loga x 的图 像, x 轴交于点 A, B, C , D ,其中 a ? 0, a ? 1 ,若中间两点恰好三等分线段 AD ,则 a 的值 是 . 5.如图,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 和⊙ O : x 2 ? y 2 ? 1 ,在椭圆内,且在⊙ O 外的区域内(包括边 25
. .

界)所含圆的最大半径是

1 1 1 3 ? 的整数解 (m, n) = 6.关于 m, n 的方程 ? ? 2 m n mn 4

7.袋中有6 只红球与8 只白球, 任意抓5 只放入一个A 盒中,其余9 只球放入一个B 盒中,则A 盒中白 球个数加B 盒中红球个数之和不是质数的概率是 (用数字作答). ,100! 中删去一个元素后,余下元素的乘积恰好是一个完全平方数,则删去 } 8.若在集合 {1!,2!,3!,?,99! 的这个元素是 . 二、解答题 9.(本题满分12分)正整数列 {an } 的前 n 项和为 bn ,数列 {bn } 的前 n 项积为 cn ,且 bn ? 2cn ? 1 ( n ? N * ),求数列 {

1 } 中最接近2013 的数. an
p ,0) 为抛物线 C 对称轴上一 6

10.(本题满分12分)已知正数 p 及抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0 ), A( 点, O 为抛物线 C 的顶点, M 为抛物线 C 上任意一点,求

| OM | 的最大值. | AM |

11.(本题满分 18 分)已知不等式 k (ab ? bc ? ca) ? 5(a 2 ? b 2 ? c 2 )????(?) (1)若存在正数 a, b, c ,使不等式 (?) 成立,求证: k ? 5 ; (2)求所有满足下列条件的整数 k :存在正数 a, b, c 使不等式 (?) 成立,且凡使不等式 (?) 成立的任意一 组正数 a, b, c 都是某个三角形的三边长.

12.(本题满分18分)已知棱长为1 的正方体 ABCDEFGH (如图), P 为它的8 个顶点构成的集合, 对 n ? N * 规定 2n ? 1 个有序顶点组 ( A0 A1 A2 ? A2 n ) 满足 A0 ? A ,且对每个 i ? {0,1,2,?,2n ? 1} ,

Ai ?1 与 Ai 是 P 中的相邻顶点. (1)求顶点 A2 n 所有可能的位置;
1

(2)设 S 2 n 表示 A2n ? C 的所有 2n ? 1 个有序顶点组 ( A0 A1 A2 ? A2 n ) 的个数, 求 S 2 n .

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