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第十八讲 几何光学


第一讲
§1.1









几何光学基础

1、光的直线传播:光在同一均匀介质中沿直线传播。 2、光的独立传播:几束光在交错时互不妨碍,仍按原来各自的方向传播。 3、光的反射定律: ①反射光线在入射光线和法线所决定平面内; ②反射光线和

入射光线分居法线两侧; ③反射角等于入射角。 4、光的折射定律: ①折射光线在入射光线和法线所决定平面内; ②折射光线和入射光线分居法线两侧; ③入射角 i1 与折射角 i 2 满足 n1 sin i1 ? n2 sin i2 ; ④当光由光密介质向光疏介质中传播,且入射角大于临界角 C 时,将发生 全面反射现象(折射率为 n1
sin C ? n2 )。 n1

的光密介质对折射率为 n 2 的光疏介质的临界角

§1.2
1.2.1、组合平面镜成像:
1.组合平面镜

光的反射
A S1 S

由两个以上的平面镜组成的光

学系统叫做组合平面镜, 射向组合平面镜的光线往 往要在平面镜之间发生多次反射, 因而会出现生成 复像的现象。先看一种较简单的现象,两面互相垂 直的平面镜(交于 O 点)镜间放一点光源 S(图 1-2-1),S 发出的光线经过两个平面镜反射后形成 了 S1 、 S 2 、
S3

O

B

三个虚像。用几何的方法不难证明:
S3 S3

S2

S3 图 1-2-1 S1 S

这三个虚像都位于以 O 为圆心、 为半径的圆上, OS 而且 S 和 S1 、S 和 S 2 、 S 1 和 、 S2 和 之
S4 O S5

间都以平面镜(或它们的延长线)保持着对 称关系。 用这个方法我们可以容易地确定较 复杂的情况中复像的个数和位置。 两面平面镜 AO 和 BO 成 60?角放置(图 1-2-2),用上述规律,很容易确定像的位置: ①以 O 为圆心、OS 为半径作圆;②过 S 做 AO
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S2 S3 图 1-2-2

和 BO 的垂线与圆交于 S 1 和 S 2 ;③过 S 1 和 S 2 作 BO 和 AO 的垂线与圆交于 S 3 和

S 4 ;④过 S 3 和 S 4 作 AO 和 BO 的垂线与圆交于 S 5 , S1 ~ S 5 便是 S 在两平面镜中
的 5 个像。 双镜面反射 例 1.如图 1-2-3,两镜面间夹角 a =15?,OA=10cm,A 点发出的垂直于 L2 的光线射向 L1 后在两镜间反复反 射,直到光线平行于某一镜面射出,则从 A 点开始到 最后一次反射点,光线所走的路程是多少?
O α A L1 L2

图 1-2-3

2、全反射 全反射光从密度媒质 1 射向光疏媒质 2,当入射角大于临界角 a ? arc sin 时,光线发生全反射。 全反射现象有重要的实用意义,如现代通讯的 重要组成部分——光导纤维, 就是利用光的全反射 现象。 例 2. 1-2-5 是光导纤维的示意图。 为其端面, i 图 AB 纤维内芯材料的折射率 n1=1.3,外层材料的折射率 n2=1.2,试问入射角在什么范围内才能确保光在光 导纤维内传播?
B A n2 n1 γ β

n2 n1

图 1-2-5

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例 3、如图 1-2-6 所示,AB 表示一平直的平面 镜, PP2 是水平放置的米尺(有刻度的一面朝着平 1 面镜),MN 是屏,三者相互平行,屏 MN 上的 ab 表示一条竖直的缝(即 ab 之间是透光的)。某人 眼睛紧贴米尺上的小孔 S(其位置如图所示),可 通过平面镜看到米尺的一部分刻度。试在本题图上 用三角板作图求出可看到的部位,并在 PP2 上把这 1 部分涂以标志。
P1 S b B P2 N

M A

a

图 1-2-6

例 4、两个平面镜之间的夹角为 45?、60?、120?。而物体总是放在平面镜的 角等分线上。试分别求出像的个数。

第 3 页 共 12 页

例 5、要在一张照片上同时拍摄物体正面和 几个不同侧面的像,可以在物体的后面放两个直 立的大平面镜 AO 和 BO, 使物体和它对两个平面 镜所成的像都摄入照像机,如图 1-2-11 所示。图 中带箭头的圆圈 P 代表一个人的头部(其尺寸远 小于 OC 的长度),白色半圆代表人的脸部,此 人正面对着照相机的镜头;有斜线的半圆代表脑 后的头发;箭头表示头顶上的帽子,图 1-2-11 为 俯视图,若两平面镜的夹角∠AOB=72?,设人头 的中心恰好位于角平分线 OC 上,且照相机到人 的距离远大于人到平面镜的距离。 1、试在图 1-2-11 中标出 P 的所有像的方位 示意图。 2、 在方框中画出照片上得到的所有的像 (分 别用空白和斜线表示脸和头发,用箭头表示头顶 上的帽子)。 本题只要求画出示意图,但须力求准确。

A O B C P

图 1-2-10

A

C P

O

图 1-2-11

例 6、五角棱镜是光学仪器中常用的一种元件, 如图 1-2-14 所示。棱镜用玻璃制成,BC、CD 两平面 高度抛光,AB、DE 两平面高度抛光后镀银。试证明: 经 BC 面入射的光线,不管其方向如何,只要它能经 历两次反射(在 AB 与 DE 面上),与之相应的由 CD 面出射的光线,必与入射光线垂直。
C
90? 112.5?

A B
112.5? 112.5?

E

D

图 1-2-14

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例 7、 横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图 1-2-16 所示的形状, 一束平行光垂直地射入平表面 A 上。试确定通过表面 A 进入的 光全部从表面 B 射出的 R/d 的最小值。已知玻璃的折射为 1.5。

R
d

A
图 1-2-16

B

例 8. 普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝,由具有圆形截面的纤芯 A 和包层 B 组成,B 的折射率小于 A 的折射率,光纤的端面与圆柱体的轴垂直,由 一端面射入的光在很长的光纤中传播时,在纤芯 A 和包层 B 的分界面上发生多 次全反射。 现在利用普通光纤测量流体 F 的折射率。实验方法如下:让光纤的 一端(出射端)浸在流体 F 中。令与光 纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折 射后会聚在光纤入射端面的中心 O。 经 端面折射进入光纤,在光纤中传播。由 于 O 点出发的光束为圆锥形, 已知其边 缘光线和轴的夹角为
a0
图 1-2-18
空气

B

?0
O

A

,如图 1-2-18 所示。最后光从另一端面出射进入流体 F。

在距出射端面 h1 处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏 D,在 D 上出现一圆形光斑, 测出其直径为 d 1 ,然后移动光屏 D 至距光纤出射端面 h2 的直径 d 2 ,如图 1-2-19 所示。
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处,再测出圆形光斑

h2
(1) 若已知 A 和 B 的折射率分别为 n A 与 n B 。求被测流体 F 的折射率 n F 的表达 式。 (2)若 n A 、 n B 和 a 0 均为未知量,如 何通过进一步的实验以测出 n F 的值?

h1

B A F
d1
d2

D D
图 1-2-19

参考答案
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例 1.如图 1-2-4 所示,光线经 L1 第一次反射的反射线为 BC,根据平面反射

? 的 对 称 性 , BC? ? BC , 且 ∠ B O C?

。 a 上述
D?

? 均在同一直线上,因此光线在 L1 、 L2 之 A, B, C , ?D

间的反复反射就跟光线沿 ABC? 直线传播等效。设

N ? 是光线第 n 次反射的入射点, 且该次反射线不再
射到另一个镜面上,则 n 值应满足的关系是 na <90 ? ? (n ? 1)a , n ?
0 900 ? 6 。取 n=5,∠ N ?OA ? 75 , a

C? B O α A C

D

L1 L2

总路程 AN ? ? OAtg 5? ? 37.3cm 。 例 2.图 1-2-5 中的 r 表示光第一次折射的折 上发生全反射,光即可一直保持在纤维内芯里传播。

图 1-2-4

射角,β 表示光第二次的入射角,只要β 大于临界角,光在内外两种材料的界面

? ? sin ?1 n21
? sin ?1 n2 1.2 ? sin ?1 ? 67.4 0 r ? ? ? ? ? 90 o ? 67.4 o ? 22.6 o n1 1.3 2

s i n / s i n ? 1.3 / 1 i r
只要 sin i ? 0.50, i ? 30o 即可。 例 3.分析: 本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的 是米尺刻度的像。由反射定律可知,米尺刻度必须经过平面镜反射后,反射光线 进入人的眼睛,人才会看到米尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题。 解法一:相对于平面镜 AB 作 出人眼 S 的像 S ? 。连接 Sa 并延长 P1 交平面镜于点 C,连接 S ? 与点 C 并 M 延长交米尺 PP2 于点 E,点 E 就是 1 A 人眼看到的米尺刻度的最左端;连 接 S ?b 并延长交米尺 PP 于点 F,且
1 2

S

E FP P S 1 2

E FP 2

a
C D

b

N M

a
C a?

b

N

B A M?
P1 ?

D
b?

B N?
P2 ?

S ?b 与平面镜交于 D, 连接 S 与点 D,
则点 F 就是人眼看到的米尺刻度的 最右端。E 与 F 之间的米尺刻度就 是人眼可看到部分,如图 1-2-7 所示。

S?
图 1-2-7

图 1-2-8

? ? 解法二: 根据平面镜成像的对称性, 作米尺 P1 P2 及屏 MN 的像, 分别是 P1 P2 及 M ?N ? ,a、b 的像分别为 a ?, b ? ,如图 1-2-8 所示。连接 Sa 交 AB 于点 C,延长 ? ? 并交 P1 P2 于点 E ? ,过点 E ? 作 P1 P2 ( AB) 的垂线,交于点 E,此点就是人眼看到的

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? ? 米尺刻度的最左端; 连接 Sb? 交 AB 于点 D, 延长并交 P1 P2 于点 F ? , 过点 F ? 作 P1 P2

(AB)的垂线 P1 P2 交于点 F,点 F 就是人眼看到的米尺刻度的最右端。EF 部分 就是人眼通过平面镜可看见的米尺部分。 点评:平面镜成像的特点是物与像具有对称性。在涉及到平面镜的问题中, 利用这一特点常能使问题得以简洁明晰的解决。 例 4.分析:由第一面 镜生成的像,构成第二面镜 的物,这个物由第二面镜所 成的像,又成为第一面镜的 物, 如此反复下去以至无穷。 在特定条件下经过有限次循 环,两镜所成像重合,像的 数目不再增多,就有确定的 像的个数。 解:设两平面镜 A 和 B 的夹角为 2θ ,物 P 处在他 们的角等分线上, 如图 1-2-9 (a)所示。以两镜交线经过 的 O 点为圆心,OP 为半径 作一辅助圆,所有像点都在 此圆周上。由平面镜 A 成的 像用 P , P3 ? 表示,由平面镜 1 B 成的像用 P2 , P4 ? 表示。由图不难得出:
P1 , P3 ?
P6 P4 P2 (c) 图 1-2-9 (d) P7 P2 P5 O 45? P4 P2 P3 (a) P1 A A O θ P3 P1 A P3 P1 A 60?

P
B P5

O

P
B P2

P4 (b) P 120? B P1 O

P
B

在圆弧上的角位置为

(2k ? 1)? , P2 , P4 ? 在圆弧上的角位置为
2? ? (2k ? 1)? 。

其中 k 的取值为 k=1,2,? 若经过 k 次反射,A 成的像与 B 成的像重合, 则 即 当 2? ? 45o ?
(2k ? 1)? ? 2? ? (2k ? 1)?

k?

? 2?

?
4

时,k=4,有 7 个像,如图 1-2-9(a)所示;

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当 2? ? 60o ?

?
3

时,k=3,有 5 个像,如图 1-2-9(b)所示;

当 2? ? 120o ?

2? 时,k=1.5,不是整数,从图 1-2-9(d)可直接看出,物 P 3

经镜 A 成的像在镜 B 面上,经镜 B 成的像则在镜 A 面上,所以有两个像。
A

P B

O

图 1-2-12

图 1-2-13

例 5.解: 例 6.解:

本题的答案如图 1-2-13 所示。 如图 1-2-15 所示,以 i 表示入射角, i ? 表示反射角,r 表示折射

角,次序则以下标注明。光线自透明表面的 a 点入射,在棱镜内反射两次,由 CD 面的 e 点出射。可以看得出,在 DE 面的 b 点; 入射角为 反射角为
i2 ? r1 ? 22.5 o
? i2 ? i2 ? r1 ? 22.5 o

在四边形 bEAC 中, ? a ? 90 o ? i2 ? 90 o ? r1 ? 22 .5 o ? 67 .5 o ? r1 而

? ? 360 o ? 2 ? 112 .5o ? a ? 135 0 ? (67.5o ? r1 )
= 67.5o ? r1
? i3 ? i3 ? 90 o ? ? ? 22 .5 o ? r1
A
112.5?

于是,

F 45?

在△cdb 中 ∠cdb=180? ?(i2 ? i2? ) ? (i3 ? i3? ) =180
? 2(r1 ? 22.5 o ) ? 2(22.5 o ? r1 ) ? 90 0
B

i3 i3

112.5?

E

?
i1
90?

i2 i2 γ C
1

这就证明了:进入棱镜内的第一条光线 ab 总是与第三条光线 ce 互相垂直。 由于棱镜的 C 角是直角, r1 =360?-270?∠dec=90?-∠dec= i1 。设棱镜的折射率为 n, 根据折射定律有
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i4
112.5?

D γ

图 1-2-15

4

sin i1 ? n sin r1

s i n4 ? n s i n4 r i

? r1 ? i4 ,? r4 ? i1 总是成立的,而与棱镜折射率的大小及入射角 i1 的大小无关。只
要光路符合上面的要求,由 BC 面的法线与 CD 面的法线垂直,又有 i1 ? r4 ,?出 射光线总是与入射光线垂直,或者说,光线经过这种棱镜,有恒点的偏转角—— 90?。 例 7.分析: 如图 1-2-17 所示,从 A 外侧入射的光线在外侧圆界面上的入 射角较从 A 内侧入射的光线入射角要大,最内侧的入射光在外侧圆界面上的入 射角α 最小。 如果最内侧光在界面上恰好发生全反射,并且反射光线又刚好与内 侧圆相切, 则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上,而且在后续过程中都能够 发生全反射,并且不与内侧圆相交。因此,抓住最内侧光线进行分析,使其满足 相应条件即可。 解: 当最内侧光的入射角α 大于或等于反射临界角时,入 射光线可全部从 B 表面射出而没有光线从其他地方透出。 即要求 而 所以 即
s in ? a 1 n

? R
O d A
图 1-2-17

R s in ? a R?d
R 1 ? R?d n R 1 ? d n ?1

B

故 点评

1 1 ?R? ? ?2 ? ? ? ? d ? m i n n ? 1 1.5 ? 1

对全反射问题, 掌握全反射产生的条件是基础,而具体分析临界条件

即“边界光线”的表现是解决此类问题的关键。

例 8.分析

光线在光纤中传播时,只有在纤芯 A 与包层 B 的分界面上发生

全反射的光线才能射出光纤的端面,据此我们可以作出相应的光路图,根据光的 折射定律及几何关系,最后可求出 n F 。 解: (1)由于光纤内所有光线都从轴上的 O 点出发,在光纤中传播的光线 都与轴相交,位于通过轴的纵剖面内,图 1-2-20 为纵面内的光路图。设由 O 点 发出的与轴的夹角为α 的光线,射至 A、B 分界面的入射角为 i,反射角也为 i, 该光线在光纤中多次反射时的入射角均为 i,射至出射端面时的入射角为α 。若
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该光线折射后的折射角为 ? ,则由几何关系和折射定可得 i ? a ? 90? ①

n A s i n ? nF s i n a ?



i 当 i 大于全反射临界角 c 时将发生全反射,没有光能损失,相应的光线将以

不变的光强射向出射端面。而 i ? iC 的光线则因在发生反射时有部分光线通过折 射进入 B,反射光强随着反射次数的增大而越来越弱,以致在未到达出射端面之
i 前就已经衰减为零了。 因而能射向出射端面的光线的 i 的数值一定大于或等于 c , ic

的值由下式决定:
n A s i nC ? n B i

B

③ 与 ④ 当
a0 ? aC

o
iC

A? i F

i ?

?

对应的α 值为

? C ? 90 0 ? iC
图 1-2-20




2 2 n A s ina 0 ? n A ? n B

s a 0 ?is aC ni c ?

n iC n o 1 ? s s2 iC ? 1 ? (n B ) 2 ? i nA
a ? aC

时,或
i ? iC

时,

由 O 发出的光束中,只有

的光线才满足

的条件下,才能射向端面,

此时出射端面处α 的最大值为
a m a x? ac ? 90 0 ? iC

⑤ 时,则由 O 发出的光线都能满足
i ? iC



a0 ? ac

,即

2 2 n A sin a 0 ? n A ? n B



条件,因而都能射向端面,此时出射端面处α 的最大值为
a m a x? a0



端面处入射角α 最大时,折射角θ 也达最大值,设为
n F s i n m a x? n A s i n m a x ? a

? max ,由②式可知

⑦ 时,

由⑥、⑦式可得,当
nF ?

a0 ? aC

nA s i n 0 a s inmax ?
a0 ? aC

⑧ 时,

由③至⑦式可得,当

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2 2 n A ? nB n A c o iC s nF ? ? s inmax ? s inmax ?

h2
h1



? max 的数值可由图 1-2-21 上的几何关
系求得为
sin ? max d 2 ? d1 2 ? ?(d 2 ? d1 ) / 2?2 ? (h2 ? h1 ) 2

B
O0

A

O max

d 1 O1

d 2 O2

F O max D D

⑩ 于是 n F 的表达式应为

图 1-2-21

? d ? d1 ? 2 ( d ? d1 ) nF ? n A s i n ? 2 ? ? ?? 0 ? ? C ? ? ? (h2 ? h1 ) / 2 2 ? 2 ?
2

(11)

2 2 nF ? n A ? nB

? d 2 ? d1 ? 2 ? ? ? (h2 ? h1 ) 2 ? ? ? ?? 0 ? ? C ? (d 2 ? d 1 ) 2
2

(12)

(2)可将输出端介质改为空气,光源保持不变,按同样手续再做一次测量,

? ? 可测得 h1? 、 h2 、 d 1? 、 d 2 ,这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空
气的折射率等于 1,故有 当

? 0 ? ? C 时,
1 ? nA s i n 0 ?

?(d 2? ? d1? ) / 2?2 ? (h2? ? h1? ) 2
? (d 2 ? d1? ) / 2
(13)



?0 ? ?C 时
2 2 1 ? n A ? nB

?(d 2? ? d1? ) / 2?2 ? (h2? ? h1? ) 2
? ( d 2 ? d1? ) / 2
(14)

将(11)(12)两式分别与(13)(14)相除,均得

nF ?

? d 2 ? d1? d2 ? d

? d 2 ? d1 ? 2 ? ? ? (h2 ? h1 ) 2 ? ?

2

?(d 2? ? d1? ) / 2?2 ? (h2? ? h1? ) 2

(15)

此结果适用于

? 0 为任何值的情况。

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