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竞赛课件14:刚体动力学运动学问题


?

刚体
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略 时,即可将其视作刚体.

刚体内各质点之间的距离保持不变
刚体内各质点角速度总相同

?

刚体的平动与转动
刚体运动时,其上各质点的运动状态(速度、加速度、 位移)总是相同,

这种运动称为平动. 刚体运动时,如果刚体的各个质点在运动中都绕同一 直线做圆周运动,这种运动称为转动,而所绕直线便 称为轴.若转轴是固定不动的,刚体的运动就是定轴 转动.

?

质心 质心运动定律
能代表整个刚体的平动,运动规律等效于全部质量及外 力集中于此的某一点.
从质心的等效意义出发:

0
? ? xC ? ? ? ? ? yC ? ? ? ?z ? C ? ?

x1 m1

x2 m2

x

? m i xi ? mi ? m i yi ? mi ? m i zi ? mi

以质心为坐标原点

? mi r=0

例讲

? F =? m ? ac

例讲

O

H ? h= ? n ? ? ? mi =? ? ? n n

xc ?
?

n??

lim ? mi xi
i ?1

? H? H ? ki n ? ? n ? ?
H x

2

tan-1k i

n??

? V 2 n ? H? H H lim ? ? ? ? ? ki ? ? ? i
i ?1

?

n?
2

n

n

?? ? kH ? / 3
n 3

1 ? 3 H lim ? i ? 4 n?? n i ?1

3 xC ? H 4

y

?? =

?
2n

? n ? ? ? ? i =i 2n
n

?

?i
0 i R x

2m lim ? ? ? 2 R cos ? i ? ( R ? ?? ? cos ? i ) ? R sin ? i 2 n?? i ?1 ? R xC = m n 4R ? lim ? cos2 ? i ? sin ? i ? ??
n?? n n R R lim ? sin 3? i 3 ? sin ? ? ? ? ?i ? ? ? n lim ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? i? i ?? i ?1

?

?n ? ? n?1 ? ?n ? ? n?1 ? sin ? ? 3?? ? ? sin ? ? 3?? ? sin ? ? ?? ? ? sin ? ? ?? ? R 2 3?? ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ?2 ? ? 2 ? ? lim ? ? 3 ?? ?? ? n?? 3 2 2 sin sin 2 2 R 1? ?2 1 ? lim ? ? ? 2 ? ? ? n?? ? 3 2 2?

? ?

4R xC ? 3?

n?? i ?1 i ?1

返回概要 如图,一个圆盘半径为R,各处厚度一样, 在每个象限里,各处的密度也是均匀的,但不同象限里的密度则 不同,它们的密度之比为 ?1∶ ?2∶ ?3∶ ?4 =1∶2∶3∶4,求这圆 盘的质心位置.

对题中圆盘: 解: 2

y 2 3 1 x 4

?R ?R 4R ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ? yc ? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ? ? 4 4 3?

?R ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ? xc ? 4 2 ?R 4R ? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ? 4 3? 2 2

8 yc ? ? R 15?

xc ? 0

y 以静止水的质心为坐标原 点,建立如图所示坐标, 当振动高度为Δh时,质心 坐标为:
h 2

?h

O

x

L? ? 1 L? ? 1 L? ? 2 L? ? L? L ?1 ? ? ?h ? ? ? ? ? ? ? ? ?h ? ? ? ? ? ? ? ? ?h ? ? ? L 2 2? ?3 2? ?2 2? ?3 2? ? 2? 4 ? x? ? ?h L? h 6h ?h ? 1 2?h ? ? ?h ? ? h ? ?h ? L ? ? ? 2?h ? L ? ? ? ? ?h ? ? ?h2 2 ?2 2 3 ? ? ?? y? L? h 6h

由上可得

6h 2 y? 2 x L

y

质心沿抛物线做往复运 动,回复力为重力之分力: ?y F ? ? mg ?x
2 x ? ? x ? x ? 6h ? ? ? mg 2 ? L ?x 2

F回
O mg

x

12mgh ?? ?x 2 L

L2 质心做谐振,周期为 T ? 2? 12hg

?

转动惯量
量度刚体转动中惯性大小的物理量,等于刚体中每个 质点的质量mi与该质点到转轴的距离ri的平方的乘 积的总和.

J ??

2 mi ri

例讲

r ?r J ?m 2
2 1

2 2

J ? lim ?
n??
n i ?1

J ? mr n

2

1 2 J ? mr 2
2

2 mi ri

m r r? r? ? lim ? 2 2? i ? ? i ? n?? n n? n? i ?1 ? r
2 n 3

11 2 ? mr lim ? 2 ? i J? ?4 mr n?? n2 i ?1

转轴

1 2 J ? mr 2 1 2 J ? mr 4

mr ml J ? ? 4 12

2

2

?? =

?
2n

? n ? ? ? ? i =i 2n
n i ?1 n 2 mi ri

?

y

i

?i
0
R x

J ? lim ?
n??

m 2 ? 4 lim ? r sin ? i ? ? n?? i ?1 4n
1? 2 ? 2 2?? 2?? ? mr lim ? ?sin ?? ? sin 2?? ? sin ? ? ?? ? ? sin ? n?? 2? ?2 ? i ?1 n ?
2 n

1 2 J ? mr 2

n项

设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J,绕 通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc,则有

J ? Jc ? md
n i ?1

2

J ? ? mi ri2 ? ? mi Ri2 ? d 2 ? 2dRi cos ?
i ?1

n

?

?
Ri C θi d

y

miiR xii cos ?i ? ? mi Ri2 ? ? mi d 2 ? 2d ?m
i ?1 i ?1 ?1 1 ii?

n

n

0

n n

mi

ri
O

x

由 J ? Jc ? md
2

2
2

m
R

? mR ? mR ? 2mR
n

2

? 1 m 2 m ? l ?2 ? J ? 2 lim ? ? ? ?r ? ??i ? ? n?? 4 2 n 2 n 2 n ? ? ? i ?1 ? ? ? 2 2 2 n mr ml i ? ? lim ? 3 4 4 n?? i ?1 n 2 2 mr ml ? ? 4 12

J圓

Ma ? 2

2
2a O M

J 杆 ? J c ? M ? 2a ?

2

其中 Ma 2 2 2a ? ? 4 Ma 3 n M a ? a ?2 Jc 2 lim J? J圓 ? J杆 ? ? i ? ? O ?n ?? i ?1 2a n ? n ?

C

M

29 Ma ? 6

2

对任意的刚体,任取直角三维坐标Oxyz,刚体对x、 y、z轴的转动惯量分别为Jx、Jy、Jz,则有

J x ? J y ? J z ? 2?
i ?1

n

2 mi ri

J x ? ? mi yi2 ? zi2
i ?1 n

Jy

? ? ?m ? x
i ?1 n i i ?1

n

2 i

? ?

zi2 yi2

? ? ?

J x ? J y ? Jz ? 2?
i ?1 n

y yi

J z ? ? mi

?

2 2 mi r x ii ?

?

yi2 ? zi2
zi O

?

mi ri xi

xi2

x

z

球 壳

实 心 球

2 2 2 2 J ? mr J ? mr 3 5 n n 2 3J ? 2 lim 2 ? mi ri 3J ? 2 lim ? min r ?? i i ?1
n?? n i ?m 1
2

? r? r ? r? ? 2 lim ? ? 4 ? i ? ? ? i ? 2 ? ? ? ? 3 n ?? ? 2mr ? n? n ? n? i ?1 4? r / 3

2

1 ? 6mr lim ? i ? 5 n?? n i ?1
2 4

n

已知:Jx=J0

y

求: J x? ? ?

y?
x

解: J

y

? J x ? J0
2 mi ri

O

2J 0 ? ?
J y? ? J x?

x?

2 J x? ? ?

2 mi ri

J x? ? J 0

解: 2J

如图所示,质量为m的均匀圆柱体,截 面半径为R,长为2R.试求圆柱体绕通过质心及两底面 边缘的转轴(如图中的Z1、Z2)的转动惯量J.

x

? J z ? 2?

Z4

2 Z1 mi ri
R Z

Z2

J 3 ? J 4 ? J z ? 2?
2

2 Z3 mi ri

2J x ? J 3 ? J 4
mR 2
mR 13mR Jx ? 4 24
22

?

m ? 2R? 12

2

椭圆细环的半长轴为A,半短轴为B, 质量为m(未必匀质),已知该环绕长轴的转动惯量为 JA,试求该环绕短轴的转动惯量JB.

解: 由正交轴定理:
J A ? J B ? ? mi
2

y

?

2 xi

?
2

2 yi

?
2

O

x

由椭圆方程:

B ?A J A ? J B ? mA ? J A 2 B 2
2
2

x y ? 2 ?1 2 A 2B 2

A 2 A ? 2 yi B

2

A J B ? mA ? 2 J A B

转动惯量的表达式常表现为形式

J ??
i ?1

n

2 mi ri

? kma

2

m是刚体的质量,a是刚体相应的几何长度,只要确 定待定系数k,转动惯量问题便迎刃而解.



JOO? ? kMa
则有

2

M

? 4 ?k ? ?

O 2 2? M ?a? M ?a? 2 ? ? ? ? ? ? kMa ? ? 4 ? 2? 4 ? 4? ? a ?

O?

1 k? 12

J OO?

Ma ? 12

2

如图所示,匀质立方体的边长为a, 质量为m.试求该立方体绕对角线轴PQ的转动惯量J.

解:

将立方体等分为边长为a/2的 八个小立方体,其中六个小 立方体体对角线到大立方体 体对角线距离
a 2 6 d? ? ? a 2 3 6
2

Q

O
3

2

O?

P

d

C

2? 2 ? ? m ?? a ? ? m ?? a ? ? m ?? a ? 2 ? kma ? 2 ? k ? ? ? ? ? 6 ? ? k ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 ?? 2 ? ? 8 ?? 6 ? ? ? 8 ?? 2 ? ? ? ? ? 2

1 k? 6

J PQ

ma ? 6

?

描述转动状态的物理量
?? ? ? lim ?t ? 0 ? t ?? ? ? lim ?t ? 0 ? t
1 Ek ? ? mi vi2 2

θ

a ? r?

L ? ? mi vi ri ? ?

?? ? J? 1 1 ? ? ? m r ?? ? J ? 2 2
2 mi ri
2 i i 2

?

2

M ? Fd

A ? M?

I ? M ? ?t

?

刚体的定轴转动与质点的直线运动
质点的直线运动 位移 s 刚体的定轴转动 角位移 θ

速度v
加速度a 匀速直线运动:

v ? lim a ? lim
s=vt

?s ?t ? 0 ? t

角速度?
角加速度? 匀角速转动:

? ? lim

?? ?t ? 0 ? t ?? ?t ? 0 ? t

?v ?t ? 0 ? t

? ? lim

? ? ?t

vt ? v0 ? at 匀变速直线运动 1 2 S ? v0 t ? at 2 2 2 vt ? v0 ? 2aS
牛顿运动定律 F=ma 动量定理 Ft=m vt-m v0 (恒 力) 1 1 动能定理 2 2 FS ? mvt ? mv0 2 2 动量守恒定律 ? mv ? 恒量

t 匀变速转动: ?t ? ?0 ? ? 1 ? ? ?0 t ? ? t 2 2
2 ?t2 ? ?0 ? 2??

转动定律

M=J?

Mt=Jωt-Jω0 1 1 2 2 转动动能定理 M? ? J ? t ? J ?0 2 2 角动量守恒定律 ? J? ? 恒量 角动量原理

0.50 m

0.75 m

F

解:

飞轮质量60 kg,直径d=0.50 m闸瓦 与轮间μ=0.4;飞轮质量分布在外层 圆周,要求在t=5 s内制动,求F力大小. 对飞轮 M ? J ?
其中 ? ? ? ? 1000 ? 2? s ?2 ? 20? s ?2
60 ? 5 3 2 ? d ? 15 J ? m ? ? ? kg ? m2 4 ? 2? 5F d M f ? ?N ? 2 2 ?t
f

f
N
? ? 1000r / min

F ? 100? N
N

f F

对制动杆

N ? 0.5 ? F ? 1.25

A

质量为m的均匀细杆由竖直受一微扰倒下, 求夹角为θ时,质心速度及杆的角速度

解:质心不受水平方向作用,做自由下落运动!
由机械能守恒:

vB

?

C vn v B

杆对质心的转动惯量:

l 1 1 2 2 mg ? 1 ? cos ? ? ? mv ? J ? 2 2 2 l 由相关速度: v ? v n sin ? ? ? ? sin ? 2 2 n

m l ? l ? ml J ? lim ? ? i ? ? ? ? n?? n ? 2n ? 12 i ?1 l

2

??

12 g ?1 ? cos? ?

?1 ? 3sin ? ? l
2

v?

?1 ? 3sin ? ? l
2

3 g ?1 ? cos? ?

sin?

解:

如图,两根等重的细杆AB及AC,在C点用铰链 连接,放在光滑水平面上,设两杆由图示位置无初速地开始运动, 求铰链C着地时的速度.

h 1 A 2 2mg ? 2 ? J ? 2 2 2 2 2 ml ml ?l? ? m? ? ? 其中各杆: J ? 12 3 ? 2? vc ? ? l 2 2 1 ml ? vc ? 則 mgh ? 2 ? ? ? ? 2 3 ? l ?

着地时,两杆瞬时转轴为A(B) 由机械能守恒:

h

B
vc

得 vc ? 3 gh

如图,圆柱体A的质量为m,在其中部绕以细绳, 绳的一端B固定不动,圆柱体初速为零地下落,当其轴心降低h 时,求圆柱体轴心的速度及绳上的张力.

解:

轴心降低h过程中机械能守恒

gh v?2 3 2 由转动定律: Tr ? J? ? mr ? a 2 r 由质心运动定律: mg ? T ? ma

其中圆柱体对轴P的转动惯量 2 mr 2 3 mr v ? r? JP ? ? mr 2 ? 2 2

1 2 mgh ? J P? 2

B

h
T

P

1v T ? mg 3

如图,实心圆柱体 从高度为h的斜坡上从静止纯滚动地到达 水平地面上,继续纯滚动,与光滑竖直墙 ωc0 ωc0 ωct 做完全弹性碰撞后返回,经足够长的水平 vc0 vc0 距离后重新做纯滚动,并纯滚动地爬上斜 坡,设地面与圆柱体之间的摩擦系数为μ, 试求圆柱体爬坡所能达到的高度h′.

vct

h?

解: 1 mgh ? J ? ?
由动量定理

纯滚动后机械能守恒: 1 ? 3mr 2 mgh? ? ? 2? ? 2

? f ? t ? m ??t r ? ?0 r ? 由角动量定理 ? fr ? t ? J ? ?? ? ? ? c t 0

2 4 gh ? ? 1 mr 2 2 2 ? ? ? mr ? ? ?0 0 ? 2 0 ? ? ? 3 r 2 2? 2 ? 与墙弹性碰撞,质心速度反向,角速度不变,此后受摩擦力作用 经时间t 达纯滚动:

纯滚动时圆柱角速度由机械能守恒:

2 gh ?t ? 3 3r 2

? 2 ? ? ? ? t ?

h? ?

h

如图,在一个固定的、竖直的螺杆上的一个 螺帽,螺距为s,螺帽的转动惯量为I,质量为m.假定螺帽与螺杆 间的摩擦系数为零,螺帽以初速度v0向下移动,螺帽竖直移动的速 度与时间有什么关系?这是什么样的运动?重力加速度为g.

解:

由机械能守恒:

1 1 2 2 2 2 mgs ? I (?t ? ?0 ) ? m(vt ? v0 ) 2 2 m ? 2? 2 2 v t ? v0 ? 2 ? 2 gs 又 ? v s 4? I

g?

vt ? v0 ? g ' t

竖直方向匀加速下落!

s m g? ? g 4? 2 I ? m s2

2

?m

在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球,其一做 纯滚动,质心速度为v,另一静止不动,两球做完全弹性碰撞,因碰 撞时间很短,碰撞过程中摩擦力的影响可以不计.试求⑴碰后两球 达到纯滚动时的质心速度;⑵全部过程中损失的机械能的百分数.

解:
对球2:?

1
v R

v

1
v R

2

v 1
v1 R

v1

2
v2 R

v2

⑴完成弹性碰撞后设两球各经t1、t2达到纯滚动,质心速度为v1、v2, 对球1: ? f ? t1 ? mv1

? ? 2mR 2 ? v v1 ? ? fR ? t1 ? 5 ? R ? R ? ? ? ?


2 ? v1 ? v 7

? ? 2mR 2 v2 ? ? fR ? t 2 ? 5 R ?

f ? t2 ? m ? v ? v2 ?

5 ? v2 ? v 7

续解

⑵系统原机械能为
2 2 2 ? ? 1 2mr v 7 mv ? ? 2 E0 ? ? ? mr ?? ? ? ? ? ? 2? 5 10 ? ?r?

读题

达到纯滚动后的机械能
2 2? ? 1 7mR ? 2v ? ? 5v ? 29 2 Et ? ? ?? mv ?? ?? ? ? 2 5 ? 7 R 7 R 70 ? ? ? ? ? ? ? 2

20 則? ? ? 41% 49

解:

如图所示,实心匀质小球静止在圆柱面顶点, 受到微扰而自由滚下,为了令小球在θ ≤45°范围内做纯滚动,求 柱面与球间摩擦因数至少多大? 圆柱半径与小球半径分别以R、r表示
?

对球由质心运动定律有 :

小球做纯滚动,摩擦力为静摩擦力,不做功,球的机械能守恒:
小球做纯滚动必有
1 ?2 2 2 ? ? vc ? mg ? R ? r ?? 1 ? cos ? ? ? ? ? mr ? mr ? ? ? 2 ?5 ?? r ?
2

对球由转动定律: fr ? 2 mr 2 ? ? 5

2 mvc mg cos? ? N ? R? r mg sin ? ? f ? m? r

2 f ? mg sin? 7

mg

f ? ?N ? ?

mg cos ? ? N ? 45 2sin?

10 ? ? 17 10mg ? R ? r 1 ? cos ? ?? ? ? N ? mg ? cos ? ? ?

45 ? 10 17cos?

7? R ? r?

? 7

7 ?

? ? 0.7

解:

如图所示,半径为R的乒乓球,绕质心轴的转动惯量J = 2 mR 2,m为乒乓球的质量,以一定的初始条件在粗糙的水平面上运动,开始时球 3 的质心速度为vc0,初角速度为ω0,两者的方向如图.已知乒乓球与地面间的摩擦 系数为μ.试求乒乓球开始做纯滚动所需的时间及纯滚动时的质心速度.

2 即 vc 0 ? vc ? R ? ? 0 ? ? ? 3 达到纯滚时必有: v ? R? c 3 2 纯滚时质心速度 v c ? v c 0 ? R? 0 5 5
对质心:

既滚又滑时与达到纯滚时对与地接触点O角动量守恒: ω0 2J ? mRvc 0 ? J c?0 ? mRv ? mR ? c c Jc ? vc0

?

?

R O μ

2 若 vc 0 > R? 0 3

vc ? vc 0 ? ? gt
t?

2 ? vc 0 ? R?0 ? 5? g

2 若 vc 0 < R? 0 3

设以某棱为轴转动历时Δt,角速度ωi→ωf, 时间短,忽略重力冲量及冲量矩 对质心由动量定理: N ?t ? Ma ? f ? ?i sin 30

解:

如图所示,一个直、刚性的固体正六角棱柱,形状就 像通常的铅笔,棱柱的质量为M,密度均匀.横截面六边形每边长为a.六角 棱柱相对于它的中心轴的转动惯量I为 5 Ma 2 .现令棱柱开始不均匀地滚下斜 12 面.假设摩擦力足以阻止任何滑动,并且一直接触斜面.某一棱刚碰上斜面之 前的角速度为ωi,碰后瞬间角速度为ωf,在碰撞前后瞬间的动能记为Eki和 Ekf, 试证明ωf=sωi, Ekf=rE,并求出系数s和r的值.

? f ?t ? Ma ? f ? ?i cos 30
vf

?

?

?

?

对刚体由动量矩定理:

11 可得 ? f ? ? i 17 11
則 s? 17 ,
2

f ?ta cos 30 ? N ?ta sin 30 5 ? Ma 2 ? f ? ? i 12

?f
30° 30° N θ

?i
a

?

?

f

121 r?s ? 289

v

解x:?

如图所示,光滑水平地面上静止地放着质量为M、长 为l的均匀细杆.质量为m的质点以垂直于杆的水平初速度v0与杆的一端做完全 非弹性碰撞.试求:⑴碰后系统质心的速度及绕质心的角速度;⑵实际的转轴 (即静止点)位于何处?

⑴碰后系统质心位置从杆中点右移

m l R ? M?m 2 由质心系动量守恒: mv0 ? ? M ? m ?Vc x
由角动量守恒:

Vc

vm V Vc

m?c

⑵对瞬时转动中心有

Vc ? ? R l M ? 4m R? x ? 可得R ? l 6? M ? m? 6

l Ml 2 l ?l ? mv0 ? ? ? ? m? V ? ? ?2 m? ?x C? ? Vc ? ? ? 2 12 2 ? ? 6mv0 得? ? 瞬时轴距杆右端 ( M ? 4 m )l

2l 3

?

复摆
在重力作用下绕水平轴在竖直面内做小角度摆 动的刚体称为复摆或物理摆. 由机械能守恒关系可得
O lθ

1 2 2 ? mgl ? 1 ? cos ? ? ? JJ ? ? ? 2

? ? m? ? ?

C 对摆长l、质量m的理想单摆有 1 2 2 mgl ? 1 ? cos ? ? ? m ? l??0 ? 2 2 2 2 ? J ? ? J A? 0 ?? J ? ?? ? m? l ?? ? m? ?? ? ? 0 2 ? ml ? ? m l ? m ? ? ? ? ? ?

ml 2 ?? ?0 ?0 J

J T ? 2? mgl

形状适宜的金属丝衣架能在如图所示的平面里的几个平衡位置 附近做小振幅摆动.在位置(a)和位置(b)里,长边是水平的.其它两边等长.三 种情况下的振动周期都相等.试问衣架的质心位于何处?摆动周期是多少?

专题14-例6

解:

三种情况下的周期 相同,故有

(a)
A
42cm

(b)
10cm

B

( c) C

J 0 ? ma 2 J 0 ? mc 2 ? ?0 a? ? 0 mga mgc ? ? J 0 ? mac ? ? c ?

J 0 ? ma 2 J 0 ? mb2 ? ? ? J? ? ?b ? a? ? 0 0 0 ? mab mga mgb

J 0 ? mac

A a

a?b
mac ? mc a?c 則 T ? 2? ? 2? mgc g
代入题给数据有:



2

b
B

c
C

T ? 1.03s

解:

如图所示,矩形均匀薄片ABCD绕固定轴AB摆动, AB轴与竖直成,薄片宽度AD=d,试求薄片做微小振动时的周期.

先计算板对过C平行AB的轴的转动惯量 : 1 k ? 2 2 ? M ?d? M ?d? ? 12 2 由 kMd ? 4 ? k ? ?? ? ? ? ? M 2 4 2 4 4 ? ? ? ? ? ? J ? d ? ? C 2 2

则 J AB

M 2 Md ?d? ? d ? M? ? ? 12 3 ? 2?
等效摆长

12

由复摆周期公式

d l? ?d 2sin ?
?

O B

J T ? 2? Mgl

?
C

Md ? 2? 3 Mgd

2

d T ? 2? 3g

A Mg

解:

一个均匀的薄方板,质量为M,边长为a,固定它 的一个角点,使板竖直悬挂,板在自身的重力作用下,在自己的平 面内摆动.在穿过板的固定点的对角线上的什么位置(除去转动轴 处之外),贴上一个质点m,板的运动不会发生变化?已知对穿过 2 板中心而垂直于板的轴,板转动惯量 J ? 1 . Ma 6 O 薄板原对悬点的转动惯量

? 2 ? Ma 2 Ma 2 J0 ? ?M? a? ? ? ? 6 3 ? 2 ?
2

2

l'
C

贴m后

振动周期相同,应有

2 2 2 J ? Ma ? m ? x 3

2 l? a 2
m

J0 J ? Mgl ( M ? m ) gl ' 2 2 mx ? Ml x? a l'? 3 M?m


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第十三讲 刚体的运动和动力学问题

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力学竞赛考试范围2014

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