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高中数学必修5


高中数学必修 5

第一章 解三角形复习 2011-9-16

一、知识点总结 a b c ? ? ? 2 R 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C . 1.正弦定理: sin A sin B sin C

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2.余弦定理: ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 或 ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ?

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? . ?cos B ? 2ac ? ? b2 ? a 2 ? c2 cos C ? ? 2ab ?

3.(1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 5 . 解 题 中 利 用 ?ABC 中 A ? B ? C ? ? , 以 及 由 此 推 得 的 一 些 基 本 关 系 式 进 行 三 角 变 换 的 运 算 , 如 :

sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,
sin
已知条件 一边和两角 (如 a、B、C) 两边和夹角 (如 a、b、c) 三边 (如 a、b、c) 余弦定理 余弦定理

A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot .、 2 2 2 2 2 2
定理应用 正弦定理 一般解法 由 A+B+C=180˙,求角 A,由正弦定理求出 b 与 c,在有解时 有一解。 由余弦定理求第三边 c,由正弦定理求出小边所对的角,再 由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解。 由余弦定理求出角 A、B,再利用 A+B+C=180˙,求出角 C 在有解时只有一解。

二、巩固练习
一、选择题
1、Δ ABC 中,a=1,b= 3 , ∠A=30°,则∠B 等于 A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° ( ) D.120° ( )

2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A.a=1,b=2 ,c=3 C.a=1,b=2,∠A=100°

B.a=1,b= 2 ,∠A=30° C.b=c=1, ∠B=45°

1

3、在锐角三角形 ABC 中,有 A.cosA>sinB 且 cosB>sinA C.cosA>sinB 且 cosB<sinA





B.cosA<sinB 且 cosB<sinA D.cosA<sinB 且 cosB>sinA ( )

4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么Δ ABC 是 A.直角三角形 C.等腰三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形

二填空题
5、A 为Δ ABC 的一个内角,且 sinA+cosA= 6、在Δ ABC 中,若 SΔ ABC=

7 , 则Δ ABC 是______三角形. 12

1 2 2 2 (a +b -c ),那么角∠C=______. 4 31 7、在Δ ABC 中,a =5,b = 4,cos(A-B)= ,则 cosC=_______. 32 三、解答题
8、在Δ ABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60°,b2=ac; ②b2tanA=a2tanB; ③sinC=

sin A ? sin B ④ (a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B). cos A ? cos B

9. (本小题共 14 分) 一缉私艇发现在北偏东 45 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私船正以 10 nmile/h 的速度沿东偏南 15 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追
?

?

? 上该走私船,缉私艇应沿北偏东 45? 的方向去追,.求追及所需的时间和 ? 角的正弦值.
?

北 C 东

B

A

2


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