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2.3.1离散型随机变量的均值教案


2.3.1 离散型随机变量的均值
教学目标: 知识与技能: 了解离散型随机变量的均值或期望的意义, 会根据离散型随机变量的分布列求出均值 或期望. 过程与方法:理解公式“E(aX+b)=a E(X)+b” ,以及“若 X~B(n,p) ,则 E(X)=np”.能熟练地应 用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。 教学重点:离散型随机变量的均值或期望的概念 教学难点:根

据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 授课类型:新授课 教 具:小黑板 教学过程: 一、复习引入: 离散型随机变量的二项分布:在 一 次 随 机 试 验 中 , 某 事 件 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 , 在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率是 P, 则在这 n 次 独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
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k Pn (? ? k ) ? C n p k q n?k , k=0,1,2,?,n, q ? 1 ? p ) ( .

此 时 称 随机 变 量 X 服从二 项 分 布, 记 作 X ~ B ( n , p ),其中 n , p 为参数 二、讲解新课: 1.问题情境 前面我们学习了离散型 根据已知随机变量的分布列,我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率,但分布列的 用途远不止于此,例如:已知某射手射击所得环数 X 的分布列如下 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 在 n 次射击之前,可以根据这个分布列估计 n 次射击的平均环数.这就是我们今天要学习的 离散型随机变量的均值或期望 根据射手射击所得环数 X 的分布列, 我们可以估计,在 n 次射击中,预计大约有
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P(? ? 4) ? n ? 0.02 n P(? ? 5) ? n ? 0.04n
????

次得 4 环; 次得 5 环;

P(? ? 10) ? n ? 0.22n
故在 n 次射击的总环数大约为

次得 10 环.

4 ? 0.02 ? n ? 5 ? 0.04 ? n ? ? ? 10 ? 0.22 ? n
? (4 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? ? ? 10 ? 0.22) ? n ,
从而,预计 n 次射击的平均环数约为

4 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? ? ? 10 ? 0.22 ? 8.32 .
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的, 只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关 的常数,它反映了射手射击的平均水平.
1

对于任一射手,若已知其射击所得环数 X 的分布列,即已知各个 P(? ? i) (i=0,1,2,?, 10) ,我们可以同样预计他任意 n 次射击的平均环数:

0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? ? ? 10 ? P(? ? 10) .
1. 均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量 X 的概率分布为

X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xn pn

? ?

则称 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ? ? 平

为 X 的均值或数学期望,简称期望.

2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水
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3. 平均数、 均值:一般地, 在有限取值离散型随机变量 X 的概率分布中, p1 ? p2 ? ? ? pn , 令 则有 p1 ? p2 ? ? ? p n ? 均值
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1 1 , E? ? (x1 ? x 2 ? ? ? x n ) ? ,所以 X 的数学期望又称为平均数、 n n

4. 均值或期望的一个性质:若 ? ? a? ? b (a、b 是常数),X 是随机变量,则 η 也是随机变量, 它们的分布列为

X
η

x1

x2

? ? ?

xn

? ? ?

ax1 ? b
p1

ax2 ? b
p2

axn ? b
pn

P

于是 E? ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p 2 ? ? ? (axn ? b) p n ? ? = a( x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ? ?) ? b( p1 ? p 2 ? ? ? p n ? ?) = aE? ? b , 由此,我们得到了期望的一个性质: E (a? ? b) ? aE? ? b 5.若 X ? B(n,p) ,则 EX=np 证明如下: ∵ ∴
k k P(? ? k ) ? Cn p k (1 ? p) n?k ? Cn p k q n?k , 0 1 2 k E? ? 0 × C n p 0 q n + 1 × C n p 1 q n ?1 + 2 × C n p 2 q n ?2 + ? + k × C n p k q n?k + ? + n ×

n Cn p n q 0 .

又∵

k kCn ? k ?

n! n ? (n ? 1)! k ?1 ? ? nCn ?1 , k!(n ? k )! (k ? 1)![( n ? 1) ? (k ? 1)]!
2



0 1 1 k ?1 E? ? np( Cn?1 p 0n?q + C n ?1 p 1 q n ? 2 + ? + C n ?1 p k ?1 q ( n ?1) ?( k ?1) + ? +

n ?1 C n ?1 p n ?1 q 0 ) ? np( p ? q) n ?1 ? np .



若 X~B(n,p),则 E? ? np.

三、讲解范例: 例 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分,已知他命中的概率为 0.7, 求他罚球一次得分 ? 的期望
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解:因为 P(? ? 1) ? 0.7, P(? ? 0) ? 0.3 , 所以 E? ? 1? 0.7 ? 0 ? 0.3 ? 0.7

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例 2. 一次单元测验由 20 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中有且仅有一个选项是 正确答案,每题选择正确答案得 5 分,不作出选择或选错不得分,满分 100 分 学生甲选对任一题 的概率为 0.9,学生乙则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个,求学生甲和乙在这次英 语单元测验中的成绩的期望
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解:设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分 别是 ? ,? ,则 ? ~ B (20,0.9),? ~ B(20,0.25) ,

? E? ? 20 ? 0.9 ? 18, E? ? 20 ? 0.25 ? 5

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由于答对每题得 5 分,学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是 5 ? 和 5? 所以,他们在
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测验中的成绩的期望分别是:

E(5? ) ? 5E(? ) ? 5 ? 18 ? 90, E(5? ) ? 5E(? ) ? 5 ? 5 ? 25

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例 3. 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为 0.25,有大洪水的概率为 0. 01.该地区 某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失 60 000 元,遇到小洪水时要损失 10000 元.为保 护设备,有以下 3 种方案: 方案 1:运走设备,搬运费为 3 800 元. 方案 2:建保护围墙,建设费为 2 000 元.但围墙只能防小洪水. 方案 3:不采取措施,希望不发生洪水. 试比较哪一种方案好. 解:用 X1 、X2 和 X3 分别表示三种方案的损失. 采用第 1 种方案,无论有无洪水,都损失 3 800 元,即 X1 = 3 800 . 采用第 2 种方案,遇到大洪水时,损失 2 000 + 60 000=62 000 元;没有大洪水时,损失 2 000 元,即
?62000,有大洪水; X2 = ? ?2000,无大洪水.

同样,采用第 3 种方案,有

3

?60000,有大洪水; ? X3 = ?10000,有小洪水; ?0,无洪水. ?
于是, EX1=3 800 , EX2=62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 , EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 . 采取方案 2 的平均损失最小,所以可以选择方案 2 . 值得注意的是, 上述结论是通过比较 “平均损失” 而得出的. 一般地, 我们可以这样来理解 “平 均损失” :假设问题中的气象情况多次发生,那么采用方案 2 将会使损失减到最小.由于洪水是否 发生以及洪水发生的大小都是随机的, 所以对于个别的一次决策, 采用方案 2 也不一定是最好的. 例 4.随机抛掷一枚骰子,求所得骰子点数 ? 的期望 解:∵ P(? ? i) ? 1 / 6, i ? 1,2,? ? ?,6 ,
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? E? ? 1? 1 / 6 ? 2 ? 1 / 6 ? ? ? ? ? 6 ? 1 / 6 =3.5

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例 5.有一批数量很大的产品,其次品率是 15%,对这批产品进行抽查,每次抽取 1 件,如果 抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品为止,但抽查次数不超过 10 次 求抽查次数
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? 的期望(结果保留三个有效数字)

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解:抽查次数 ? 取 1 ? ? ? 10 的整数,从这批数量很大的产品中抽出 1 件检查的试验可以认为 是彼此独立的,取出次品的概率是 0.15,取出正品的概率是 0.85,前 k ? 1 次取出正品而第 k 次 ( k =1,2,?,10)取出次品的概率:

P(? ? k ) ? 0.85 k ?1 ? 0.15 ( k =1,2,?,10)
需要抽查 10 次即前 9 次取出的都是正品的概率: P(? ? 10) ? 0.85 由此可得 ? 的概率分布
9
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如下:

?
P

1 0.15

2 0.1275

3 0.1084

4 0.092

5 0.0783

6 0.0666

7 0.0566

8 0.0481

9 0.0409

10 0.2316

根据以上的概率分布,可得 ? 的期望

E? ? 1? 0.15 ? 2 ? 0.1275 ? ? ? ? ? 10 ? 0.2316 ? 5.35

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例 6.随机的抛掷一个骰子,求所得骰子的点数 X 的数学期望. 解:抛掷骰子所得点数 X 的概率分布为 X 1 2 3 4 5

6

P
所以

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6
4

1 1 1 1 1 1 E? ? 1× +2× +3× +4× +5× +6× 6 6 6 6 6 6 1 =(1+2+3+4+5+6)× =3.5. 6
抛掷骰子所得点数 X 的数学期望,就是 X 的所有可能取值的平均值. 例 7.某城市出租汽车的起步价为 10 元,行驶路程不超出 4km 时租车费为 10 元,若行 驶路程超出 4km,则按每超出 lkm 加收 2 元计费(超出不足 lkm 的部分按 lkm 计).从这个 城市的民航机场到某宾馆的路程为 15km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客, 由于行车路线的 不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定, 每停车 5 分钟按 lkm 路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程 X 是一个随机变量.设他所收租车费为 η (Ⅰ)求租车费 η 关于行车路程 X 的关系式; (Ⅱ)若随机变量 X 的分布列为
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X P

15 0.1

16 0.5

17 0.3

18 0.1

求所收租车费 η 的数学期望. (Ⅲ)已知某旅客实付租车费 38 元,而出租汽车实际行驶了 15km,问出租车在途中因 故停 车累计最多几分钟? 解:(Ⅰ)依题意得 η =2( X -4)十 10,即 η =2 X +2; (Ⅱ) E? ? 15 ? 0.1 ? 16 ? 0.5 ? 17 ? 0.3 ? 18 ? 0.1 ? 16.4 ∵ η =2 X +2 ∴

E? ? 2 EX +2=34.8

(元)

故所收租车费 η 的数学期望为 34.8 元. (Ⅲ)由 38=2 X +2,得 X =18,5 ? (18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多 15 分钟 四、课堂练习:

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1. 口袋中有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,从中任取 3 球,以 ? 表示取出球的最大号码, 则 E? ? ( )
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A.4; B.5; C.4.5; D.4.75 答案:C 2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的 1 分,罚不中得 0 分.已知某运动员罚球命中的概率 为 0.7,求 ⑴他罚球 1 次的得分 X 的数学期望; ⑵他罚球 2 次的得分 η 的数学期望; ⑶他罚球 3 次的得分 X 的数学期望.
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解:⑴因为 P(? ? 1) ? 0.7 , P(? ? 0) ? 0.3 ,所以

E? ? 1× P(? ? 1) +0× P(? ? 0) ? 0.7
⑵η 的概率分布为 η 0 1 2
5

P
所以

0 .3 2

1 C2 ? 0.7 ? 0.3

0 .7 2

E? ? 0× 0.09 +1× 0.42 +2× 0.98 =1.4.

⑶X 的概率分布为

X P
所以




1 C3 ? 0.7 ? 0.3 2

2

3

0.33

C32 ? 0.7 2 ? 0.3

0 .7 3

E? ? 0× 0.027 +1× 0.189 +2× 0.98 =2.1.

3.设有 m 升水,其中含有大肠杆菌 n 个.今取水 1 升进行化验,设其中含有大肠杆菌的个数 为 X,求 X 的数学期望. 分析:任取 1 升水,此升水中含一个大肠杆菌的概率是

1 ,事件“X=k”发生,即 n 个大肠杆 m

菌中恰有 k 个在此升水中,由 n 次独立重复实验中事件 A(在此升水中含一个大肠杆菌)恰好发生 k 次的概率计算方法可求出 P(X = k ),进 而 可求 EX . 解:记事件 A: “在所取的 1 升水中含一个大肠杆菌” ,则 P(A)=

1 . m

1 k 1 n-k ) (1- ) (k=0,1,2,?.,n) . m m 1 1 n ∴ X~B(n, ),故 EX =n× = m m m
∴ P(X=k)=Pn(k)=C n
k
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五、小结 :(1)离散型随机变量的期望, 反 映了随机变量取值的平均水平; (2)求离散型随机变量 X 的期望的基本步骤:①理解 X 的意义,写出 X 可能取的全部值;②求 X 取各个值的概率, 写出分布列; ③根据分布列, 由期望的定义求出 EX 公式 E (aX+b) aEX+b, = 以及 服从二项分布的随机变量的期望 EX=np 六、课后作业:P64-65 练习 1,2,3,4 P69 A 组 1,2,3 1.一袋子里装有大小相同的 3 个红球和两个黄球,从中同时取出 2 个,则其中含红球个数的 数学期望是 (用数字作答)
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解:令取取黄球个数 ? (=0、1、2)则 ? 的要布列为

?
p

0

1

2

3 10 3 3 1 于是 E( ? )=0× +1× +2× =0.8 10 5 10

3 5

1 10

故知红球个数的数学期望为 1.2 2.袋中有 4 个黑球、3 个白球、2 个红球,从中任取 2 个球,每取到一个黑球记 0 分,每取到 一个白球记 1 分,每取到一个红球记 2 分,用 ? 表 示得分数 ①求 ? 的概率分布列 ②求 ? 的数学期望
6

解:①依题意 ? 的取值为 0、1、2、3、4

? =0 时,取 2 黑

p( ? =0)=

C 42 1 ? C 92 6

? =1 时,取 1 黑 1 白

1 1 C 4 ? C3 1 ? p( ? =1)= 3 C 92 1 1 C 32 C 2 ? C 4 11 ? + 36 C92 C 92 1 1 C3 ? C 2 1 ? 6 C 92

? =2 时,取 2 白或 1 红 1 黑 p( ? =2)=

? =3 时,取 1 白 1 红,概率 p( ? =3)=

? =4 时,取 2 红,概率 p( ? =4)=
?
p 0

2 C2 1 ? 2 C 9 36

1

2

3

4

∴ ? 分布列为

1 6

1 3

11 36

1 6

1 36

(2)期望 E ? =0×

1 1 1 11 1 14 +1× +2× +3× +4× = 6 3 6 36 36 9
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3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学,为保证设备正常工作,事先进行独立试验,已知各设备 产生故障的概率分别为 p1、p2、p3,求试验中三台投影仪产生故障的数学期望 解:设 ? 表示产生故障的仪器数,Ai 表示第 i 台仪器出现故障(i=1、2、3)

Ai 表示第 i 台仪器不出现故障,则:
p( ? =1)=p(A1· A2 · A3 )+ p( A1 ·A2· A3 )+ p( A1 · A2 ·A3) =p1(1-p2) (1-p3)+ p2(1-p1) (1-p3)+ p3(1-p1) (1-p2) = p1+ p2+p3-2p1p2-2p2p3-2p3p1+3p1p2p3 p( ? =2)=p(A1· A2· A )+ p(A1· A2 · A3 )+ p( A1 ·A2·A3) = p1p2 (1-p3)+ p1p3(1-p2)+ p2p3(1-p1) = p1p2+ p1p3+ p2p3-3p1p2p3 p( ? =3)=p(A1· A2·A3)= p1p2p3 ∴ E? =1×p( ? =1)+2×p( ? =2)+3×p( ? =3)= p1+p2+p3

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注:要充分运用分类讨论的思想,分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望
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4.一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球, 从中同时取出 2 个, 含红球个数的数学期望 是 1.2
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7

解:从 5 个球中同时取出 2 个球,出现红球的分布列为

?
P

0
2 C2 ? 0 .1 2 C5

1
1 1 C3 ? C2 ? 0 .6 2 C5

2
2 C3 ? 0.3 2 C5

? E? ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.6 ? 2 ? 0.3 ? 1.2
5.

A 、 B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员, A 队队员是 A1 , A2 , A3 , B 队队

员是 B1 , B2 , B3 ,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下: 对阵队员 A1 对 B1 A2 对 B2 A3 对 B3 A 队队员胜的概率 B 队队员胜的概率

2 3 2 5 2 5

1 3 3 5 3 5
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现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队, B 队最后所得分分别为 ? , ? (1)求 ? , ? 的概率分布; (2)求 E? , E?

解: (Ⅰ) ? , ? 的可能取值分别为 3,2,1,0
2 3 2 P ?? ? 2? ? 3 2 P ?? ? 1? ? 3 1 P ?? ? 0? ? 3 P ?? ? 3? ? 2 5 2 ? 5 3 ? 5 3 ? 5 ? 2 5 3 ? 5 3 ? 5 3 ? 5 ? ?

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8 , 27 1 2 2 2 3 2 28 ? ? ? ? ? ? ? , 3 5 5 3 5 5 75 1 2 3 1 3 2 2 ? ? ? ? ? ? ? , 3 5 5 3 5 5 5 3 ? 25

根据题意知 ? ? ? ? 3 ,所以
P ?? ? 0? ? P ?? ? 3? ? P ?? ? 2? ? P ?? ? 1? 8 28 , P ?? ? 1? ? P ?? ? 2? ? , 75 75 2 3 ? , P ?? ? 3? ? P ?? ? 0? ? 5 25

8 28 2 3 22 ; ? 2? ? 1? ? 0 ? ? 75 75 5 25 15 23 因为 ? ? ? ? 3 ,所以 E? ? 3 ? E? ? 15
(Ⅱ) E? ? 3 ?
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七、板书设计(略) 八、教学反思:

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(1)离散型随机变量的期望,反映了随机变量取值的平均水平;
8

(2)求离散型随机变量 X 的期望的基本步骤: ①理解 X 的意义,写出 X 可能取的全部值; ②求 X 取各个值的概率,写出分布列; ③根据分布列,由期望的定义求出 EX 机变量的期望 EX=np 。
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公式 E(aX+b)= aEX+b,以及服从二项分布的随

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