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【成才之路】2014-2015高中数学北师大版必修3同步练习:2.1算法的基本思想


第二章

§1

一、选择题 1.下面四种叙述能称为算法的是( A.在家里一般是妈妈做饭 B.煮茶水一般分为刷茶壶、放茶叶、添水、加热这些步骤 C.在野外做饭叫野炊 D.做饭必须要有米 [答案] B [解析] 利用算法的定义求解,算法是做一件事情的方法和步骤. 2.下面的结论正确的是( ) )

A.一个程序的算法步骤是

可逆的 B.一个算法可以无止境地运算下去 C.完成一件事情的算法有且只有一种 D.设计算法要本着简单方便的原则 [答案] D [解析] 选项 A 不正确,算法只需要每一步都可以顺序进行,并且结果唯一,不能保证 可逆.选项 B 不正确,一个算法必须在有限步内完成,不然就不符合算法的有穷性.选项 C 不正确 ,一般情况下,一个问题的解决办法不止一个.选项 D 正确,设计算法要尽量使程 序运算简单,节约时间,故选 D. 3.下面对算法描述正确的项是( A.算法只能用自然语言来描述 B.算法只能用图形方式来表示 C.同一个问题可以有不同的算法 D.同一个问题算法不同,结果必然不同 [答案] C [解析] 算法的描述方式不唯一,且同一个问题可以有不同算法,但无法哪个算法得到 的结果都是一样的. 4.下列语句表达中是算法的有( ) )

①从济南到巴黎可以先乘火车到北京,再坐飞机抵达; 1 ②利用公式 S= ah 计算底为 1,高为 2 的三角形的面积; 2 1 ③ x>2x+4; 2

④求 M(1,2)与 N(-3,-5)两点所在直线的方程,可先求 MN 的斜率,再利用点斜式求 方程. A.1 个 C.3 个 [答案] C [解析] 算法是解决某类问题的步骤与过程,这个问题并不仅仅限于数学问题,①②④ 都表达了一种算法,故应选 C.
? ?a1x+b1y=c1 5.对于一般的二元一次方程组? ,在写解此方程组的算法时,需要注意的 ?a2x+b2y=c2 ?

B.2 个 D.4 个

是(

) A.a1≠0 C.a1b2-a2b1≠0 [答案] C [解析] 采用加减法解方程组,未知数 x,y 的系数是 a1b2-a2b1,故 a1b2-a2b1≠0 才能 B.a2≠0 D.a1b1-a2b2≠0

保证方程组有解. 6.下列叙述能称为算法的个数为( )

①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤; ②依次进行下列运算:1+1=2,2+1=3,3+1=4,…,99+1=100; ③从枣庄乘火车到徐州,从徐州乘飞机到广州; ④3x>x+1; ⑤求所有能被 3 整除的正整数,即 3,6,9,12,…. A.2 C.4 [答案] B [解析] 由算法定义,知①,②,③符合算法的定义,而④没有给出解题步骤,⑤也不 符合算法定义要求,故选 B. 二、填空题 7.写出 1+3+5+7+9 的算法的第一步是 1+3 得 4,第二步是将第一步中的运算结果 4 与 5 相加得 9,第三步是__________________. [答案] 将第二步中的运算结果 9 与 7 相加得 16 [解析] 注意体会这种累加法的本质,把这种累加的思想进行推广. 8.下列所给问题中: ①二分法解方程 x2-3=0(精确到 0.01); B.3 D.5

? ?x+y+5=0, ②解方程组? ?x-y+3=0; ?

③求半径为 2 的球的体积; ④判断 y=x2 在 R 上的单调性.其中可以设计一个算法求解的是________(填上你认为 正确的序号). [答案] ①②③ [解析] 由算法的特征可知①②③都能设计算法.对于④,当 x≥0 或 x≤0 时,函数 y =x2 是单调递增或单调递减函数,但当 x∈R 时, 由函数的图像可知在整个定义域 R 上不 是单调函数,因此不能设计算法求解. 三、解答题 9.写出求 1+2+3+…+n 的一个算法. [分析] 这是一个累加求和问题,可按照逐个相加的办法计算,就得到一种解决它的步 n?n+1? 骤,即一种算法;若想到公式 1+2+3+…+n= ,也可运用它解决. 2 [解析] 解法一:逐个相加,算法步骤如下: 1.计算 1+2 得到 3; 2.将第 1 步的运算结果 3 与 3 相加,得到 6; 3.将第 2 步的运算结果 6 与 4 相加,得到 10; 4.将第 3 步的运算结果 10 与 5 相加,得到 15; 5.将第 4 步的运算结果 15 与 6 相加,得到 21. … n-1. 将第 n-2 步的运算结果与 n 相加; n. 第 n-1 步的运算结果即为所求. 解法二:利用公式,算法步骤如下: 1.给定 n; n?n+1? 2.计算 ; 2 3.第 2 步的计算结果即为所求. [点评] 一个问题可以有多个算法,可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算 法.上面的两种算法都符合题意,但算法二利用求和公式,这样步骤就比算法一少了许多, 因此更为科学.本题体现了算法的特征:(1)一个算法往往具有代表性,能够解决一类问题; (2)算法不是唯一的;(3)两个算法各自体现了不同的思想内涵.

一、选择题 1.已知算法: 1.输入 n; 2.判断 n 是否是 2, 若 n=2,则 n 满足条件; 若 n>2,则执行第 3 步; 3.依次检验从 2 到 n-1 的整数能不能整除 n,若不能整除 n,满足条件.上述满足条 件的数是( A.质数 C.偶数 [答案] A [解析] 由质数定义知,满足条件的数是质数. 2.早晨起床后需要:洗脸刷牙(5 min),刷水壶(2 min),烧水(8 min),泡面(3 min),吃 饭(10 min),听广播(8 min),下列选项中最好的一种算法设计是( 1.洗脸刷牙 2.洗水壶 3.烧水 A. 4.泡面 5.吃饭 6.听广播 1.吃饭,同时听广播 2.泡面 C. 3.烧水, 同时洗脸刷牙 4.洗水壶 [答案] D [解析] 由算法的概念及特点知选 D. 二、填空题 3.阅读下面的算法,回答所给问题: 第一步,输入 a; 第二步,若 a≥4,则执行第三步,否则执行第四步; 第三步,输出 2a-1; 第四步,输出 a2-2a-1. (1)上述算法的功能是________; 1.洗水壶 2.烧水,同时洗脸刷牙 B.3.泡面 4.吃饭 5.听广播 1.洗水壶 2.烧水,同时洗脸刷牙 D. 3.泡面 4.吃饭同时听广播 ) ) B.奇数 D.4 的倍数

(2)当输入的 a 值为________时,输出的数值最小,其最小值为________.
? ?2a-1,a≥4, [答案] (1)求分段函数 f(a)=? 2 的函数值 (2)1 -2 ?a -2a-1,a<4 ?

4.一个算法步骤如下: 1 2 3 4 5 6 S 取值 0,i 取值 1. 如果 i≤10,则执行 3,否则执行 6. 计算 S+i,并让 S 取计算结果的值. 计算 i+2,并让 i 取计算结果的值. 转去执行 2. 输出 S.

运行以上步骤输出的结果为 S=________. [答案] 25 [解析] 由以上算法可知:S=1+3+5+7+9=25. 三、解答题 5.用二分法设计一个求方程 x2-2=0 的近似解的算法. [解析] 假设所求近似解与精确解的差的绝对值不超过 0.005,则不难设计出以下算法 步骤. 1 2 令 f(x)=x2-2,因为 f(1)<0,f(2)>0,所以设 x1=1,x2=2. x1+x2 令 m= ,判断 f(m)是否为 0,若是,则 m 即为所求;否则,继续判断 f(x1)· f(m) 2

大于 0 还是小于 0. 3 4 若 f(x1)· f(m)>0,则 x1=m;否则,x2=m. 判断|x1-x2|<0.005 是否成立,若是,则 x1,x2 之间的任意值均为满足条件的近似解;

否则,返回第二步. 5 输出结果.

6.试描述解下面方程组的算法: x+y+z=12, ① ? ? ② ?3x-3y-z=16, ? ③ ?x-y-z=-2. [解析] 设计如下: 1.①+②化简得 2x-y=14.④ 2.②-③化简得 x-y=9.⑤ 3.④-⑤得 x=5.⑥ 4.将⑥代入⑤得 y=-4.

5.将 x,y 代入①得 z=11. 6.输出 x,y,z 的值. 7.(1)试描述判断圆(x-a)2+(y-b)2=r2 和直线 Ax+By+C=0 位置关系的算法. (2)写出求过点 M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成三角形面积的一个算法. [解析] (1)1.输入圆心的坐标(a,b),直线方程的系数 A、B、C 和半径 r; 2.计算 z1=Aa+Bb+C; 3.计算 z2=A2+B2; 4.计算 d= |z1| ; z2

5.如果 d>r,则相离;如果 d=r,则相切;如果 d<r,则相交. (2)已知直线上的两点 M、N,由两点式可写出直线方程,令 x=0,得出与 y 轴交点; 令 y=0,得出与直线 x 轴交点,求出三角形两直角边的长,根据三角形面积公式可求出其 面积. 算法步骤如下: 1.取 x1=-2,y1=-1,x2=2,y2=3; y-y1 x-x1 2.得直线方程 = ; y2-y1 x2-x1 3.令 x=0,得 y 的值 m,从而得直线与 y 轴交点的坐标(0,m); 4.令 y=0,得 x 的值 n,从而得直线与 x 轴交点的坐标(n,0); 1 5.根据三角形面积公式求 S= · |m|· |n|; 2 6.输出算法结果.


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