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选修2-2人教版B版1.2.1常数函数与幂函数的导数


1.2.1常数函数与幂函数的导数 常数函数与幂函数的导数

制作人: 制作人:郭明珍

审核人: 审核人:临朐七中高二数学组全体成员

1.按定义求导数有哪几个步骤? 按定义求导数有哪几个步骤? 按定义求导数有哪几个步骤
(1)求函数的改变量 ?y = f ( x + ?x ) ? f ( x )
新疆 王新敞 奎屯

?y f ( x + ?x) ? f ( x) (2)求平均变化率 = ?x ?x ?y ' (3)取极限,得导数 y = f ′( x) = lim ?x → 0 ?x

新 疆 王 新敞 奎 屯

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2.用导数定义求函数 用导数定义求函数y=C(常数)的导数 用导数定义求函数 (常数)的导数.
解: ?y = f ( x + ?x) ? f ( x) = C ? C = 0

所以
'

?y 所以 (x) = C' = lim = 0 f ?x → 0 ?x

?y = 0 ?x

问题1:常数函数的导数是什么? 问题 :常数函数的导数是什么?几何意义是 什么? 什么?

C ' = 0 (C 为常数
几何意义: 几何意义

)

常数函数在任何一点处的切线平行或重合x轴 常数函数在任何一点处的切线平行或重合 轴。 即与y轴垂直。 即与 轴垂直。 轴垂直

问题2: 问题 :运用导数的定义求下列几个幂函数的 导数 1. 函数 函数y=x的导数 的导数 设函数y=f(x)=x, 设函数 ,

x′ = 即 x′ = 1

f ( x + ?x ) ? f ( x ) ( x + ?x ) ? x lim = lim =1 ?x → 0 ?x → 0 ?x ?x

.

2. 函数 函数y=x2的导数 设函数y=f(x)=x2, 设函数
f ( x + ?x) ? f ( x) ( x + ?x) 2 ? x 2 2 = lim ′ x→ (x )= ?lim0 ?x →0 ?x ?x

= lim (2 x + ?x) = 2 x
?x → 0

′ 即(x )= 2 x
2

3. 函数 函数y=x3的导数 设函数y=f(x)=x3, 设函数

′ (x )=
3

f ( x + ?x ) ? f ( x ) ( x + ?x)3 ? x 3 lim = lim ?x → 0 ?x → 0 ?x ?x
2 2 2

= lim (3x + 3 x?x + ?x ) = 3 x
?x → 0

′ 即(x )= 3 x .
3 2

1 4. 函数 函数y= 的导数 x
1 设函数y=f(x)= ,(x≠0) 设函数 x
1 f ( x + ?x) ? f ( x) 1 1 1 ( ) ' = lim = lim ( ? ) ?x → 0 ?x → 0 ?x x + ?x x ?x x
?1 1 = lim =? 2 ?x → 0 x ( x + ?x ) x

1 1 ∴ ( ) ' = ? 2 ( x ≠ 0) x x

5. 函数 函数y=

x 的导数

设函数y=f(x)= 设函数

, x (x>0),

f ( x + ?x ) ? f ( x ) x + ?x ? x ( x ) ' = lim = lim ?x → 0 ?x → 0 ?x ?x

?x 1 = lim = ?x → 0 ? x ( x + ? x + x) 2 x

∴ ( x)' =

1 2 x

( x > 0)

问题3:通过以上五个幂函数的求导过程, 问题 :通过以上五个幂函数的求导过程,你有没 有发现求幂函数的导数的规律? 有发现求幂函数的导数的规律? 我们把这些幂函数的求导结果的形式改写一下: 我们把这些幂函数的求导结果的形式改写一下:

= 2x 3?1 3 2 ′ (x )= 3x = 3 x 1 ?1 ?1?1 1 ( )′ = ( x )′ = ? = ? x x x
′= (x ) 2x
2
2

x′ = ( x )′ = 1
1

= 1x

1?1

2 ?1

( x )′ =

( x )′ = 2

1 2

1

1 = x x 2

1 ?1 2

由此我们推测, 由此我们推测, 对任意的幂函数y=xα,当α∈Q时,都 对任意的幂函数 ∈ 时 有

(x ) ' = α x
α

α ?1

(α ∈ Q)

例1.求下列函数的导数: .求下列函数的导数: 12; (2) = 1 ; (1)y=x ) )y 4 ;(4) (3) = 5 x3 ;( )y=1 ) y 12 11 :(1) 解:( ) y′ = ( x )′ = 12 x
4 (2) y ' = ( x ) ' = ?4 x = ? 5 ) x 3 2 ? 3 5 3 5 3 5 (3) y ' = ( x ) ' = ( x ) ' = x = 5 2 ) 5 5 x (4) y ′ = 0 )
?4 ?5

x

小结: 小结:
对于简单函数的求导, 对于简单函数的求导,关键是学会合理转化关 系式, 系式,写成幂的形式,以便可以直接利 用公式求解。 用公式求解。

?y 1、如果函数,那么的 f ( x ) = c(c为常数), 那么 、如果函数, ?x 的值为( 的值为( A)
A.0 0 B.1 1 C.c c 下列结论不正确的是( 2、下列结论不正确的是(

练习: 练习:

B

D.不存在 不存在 )

A.若y = 3, 则y′ = 0
C.若y = x , 则y′ = 1 2 x

1 1 B.若y = , 则y′ = ? x 2 x
D .若 y = x , 则 y ′ = 1

1 例2:质点的运动方程是 S = 5 ,求质点在 t =2 : t
时的速度. 时的速度

1 解:因为 s = 5 = t ? 5 , t ?5 ?6 所以 s ′ = (t ) ′ = ? 5t , 所以

s′

t=2

= ?5 × 2

?6

5 =? 64

5 答:质点在 t = 2时的速度是 64

练习
1.曲线 y = x 在点 处切线斜率为 ,那 曲线 在点P处切线斜率为 处切线斜率为1, 1 么点P的坐标为 么点 的坐标为( 1 , )
2

2 4

2.质点运动方程是 =t4,则质点运动加速 质点运动方程是S= 质点运动方程是 度为 a=12t2 .

当堂检测 1.已知语句p:函数 .已知语句 :函数y=f(x)的导函数是常 的导函数是常 数函数;语句 :函数y=f(x)是一次函数, 是一次函数, 数函数;语句q:函数 是一次函数 则语句p是语句 的 则语句 是语句q的( ) B 是语句 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 充分不必要条件 必要不充分条件 C.充要条件 充要条件 D.既不充分也不必要条件 既不充分也不必要条件

以是下列各式中的哪一个( B ) 以是下列各式中的哪一个(
1 A. . x
1 B.- .- x 1 D.- 3 .- 2x

1 2. y ′ = f ′( x ) = 2 . x

,则函数y=f(x)可 则函数 = 可

C.- -3 .-2x .-

3.曲线y=x3在点P处切线斜率为 ,当k .曲线 = 在点 处切线斜率为k, 处切线斜率为 时的P点坐标为 =3时的 点坐标为( B ) 时的 点坐标为( A.(-2,- . - ,- ,-8) B.(-1,- ,(1,1) . - ,- ,-1), , C.(2,8) . ,
1 1 D.(- ,- ) .- 8 2

4.曲线y= 5 x 2 在点(1,1)处的切线方程 .曲线 = 在点 , 处的切线方程 是 2x-5y+3=0 - 。

5.函数y=f(x)满足 -1)=1-2x+x2, .函数 满足f(x- = - + 满足 则

y′ = f ′(x) =

2x

.

归纳总结: 归纳总结:
常数函数的导数 幂函数的导数


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