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方程的根与函数的零点课件2


f ( x) ? 0
2016/10/19

y ? f ( x)
1

求下列方程的根. (1) 3 x ? 2 ? 0 ; (2) x ? 5x ? 6 ? 0 ;
2

(3) ln x ? 2 x ? 6 ? 0 .

2016/10/19

> 问题1:方程x ? 1 ? 0的根与函数y ? x ? 1与x轴 的交点坐标有什么关系 ?
y

y ? x ?1
2
1
-1

0

1
-1 -2 -3

2

3

x

-4

2016/10/19

3

问题2:求出表中的一元二次 方程的根,并 画出相应的二次函数图 像的草图。并判断 函数图像与x轴是否有交点。若有, 请写出 交点坐标。
(1)

x ? 2x ? 3 ? 0
2

(2)

x ? 2x ?1 ? 0
2

(3)
2016/10/19

x ? 2x ? 3 ? 0
2
4

方程 函数 函 数 的 图 像

2 x -2x+3=0 x -2x+1=0 y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3

x2-2x-3=0
y
2 1

2

y

y

. . -1

.
-1

0

1

2

.

.
x
-1

2 1

. .

.
3 2 1
-1

5

.

4

3

-3
-4

-2

0

.

1

.

.
2

.
1

.
2

.

x

0

3

x

方程的实数根 x1=-1,x2=3

x1=x2=1 (1,0)

无实数根 无交点

函数的图 (-1,0)、(3,0) 像 与x轴交点
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思考:二者之间有何联 系?

5

问题3:上述结论推广至一般 的一元二次方 程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)与相应的二次函数
2

y ? ax ? bx ? c会有什么结论?
2

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6

一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二 次函数 y= ax2+bx+c (a≠0)的图像有如下关系:
判别式 ?=b2-4ac

?>0
y

??0
y

?<0
y

二次函数 y=ax2+bx+c 的图像
一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根

x1

x2

x

x1=x2

x

x

有两个不等的 实数根x1,x2 (x1,0), (x2,0)

有两个相等实 数根x1=x2 (x1,0)

没有实数根

二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x轴 2016/10/19 的交点

没有交点
7

问题4:将上述结论推广至一 般方程f ( x) ? 0 与相应的函数 y ? f ( x)又会有什么结论?
结 论

方程的实数根就是对应函数图像与x轴交点的横坐标。

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8

1、函数零点的定义
对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实 数x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点。

2、结论
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图像与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
2016/10/19 9

对零点的理解
1、“数”的角度:即是使f(x)=0的实数x的 值 2、“形”的角度:即是使f(x)的图像与x轴 的交点的横坐标的值

求函数零点的方法
1、方程法:解方程f(x)=0,得到y=f(x)零点 2、图像法:画出y=f(x)的图像,其图像 与x轴交点的横坐标是函数y=f(x)零点
2016/10/19

求下列函数的零点 (1) f(x)=x2-5x+6 (2) f(x)=lgx
(代数法)求函数零点的步骤:
(1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0;

(3)写出零点

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问题5:方程的实数根即函数 的零点,如何根据 图像寻找零点呢?观察 函数y ? f ( x)?x ? R ?的图 像,说一说y ? f ( x)有几个零点?
y

0

x

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12

如何寻找函数的零点?
观察函数y=f(x)的图象 ①在区间(a,b)上______(有/无)零点; f(a).f(b)_____0(<或>). ② 在区间(b,c)上______(有/无)零点; f(b).f(c) _____ 0(<或>). ③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点; f(c).f(d) _____ 0(<或>).

2016/10/19

如果将定义域改为区间[a,b]观察图像 说一说零点个数的情况,有什么发现?
y

a ab b

a

0

b

x

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结 论

f (a) ? f (b) ? 0

14

问题7:如果闭区间 [a, b]上函数y ? f ( x)端点函数值 f (a) ? f (b) ? 0是否一定有零点?
y

0

a

a

b

x

b

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结 论

函数 y ? f ( x) 的图像在闭区间[a,b]上连续不断。
15

问题8:满足上述两个条件,能否确定零点 个数呢?
y y 0 a

0 a

b x

b

x

结 论
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有零点,至少有一个,但不确定个数,即存在零点。

16

函数零点存在性的判定方法: 结 论

如果函数y ? f ( x)在区间 [a, b]上的图像是连续 不断的一条曲线,

并且有f (a) ? f (b) ? 0, 那么,函数y ? f ( x)在区 间(a, b)内有零点,

即存在c ? (a, b),使得f (c) ? 0, 这个c也就是方程 f ( x) ? 0的根。
2016/10/19 17

已知函数 f(x) 的图象是连续不断 的,有如下的x,f(x)对应值表:
x
f(x) 1 2 3 4 5 6

2

3.2

-7

11

-2

-1

函数在区间[1,6]上的零点至少有
2016/10/19

个.
18

问题9:求函数f ( x) ? ln x ? 2x ? 6的零点个数。
表3--1
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
y
14 12 10

解:用计算器或计算机作出 x、f ( x) 的对应值表(表3--1)和图像。

8
6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x
19

-2
2016/10/19

-4

-6

2016/10/19

为什么上个问题中只有一个零点呢? 说一说理由?
函数f ( x)在( 0, ? ?)是增函数,请证明它 。
y
14 12 10

8
6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x
21

-2
2016/10/19

-4

-6

求函数零点的步骤:
(1)令f(x)=0;

(2)解方程f(x)=0;
(3)写出零点.

2.判断下列函数是否有零点,若有,

请求出.
(1) y ? x ? 1
1 (2) y ? x
(4) y ? log 2 x ? 2

(3) y ? 2

x

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23

小结
函数的零点定义:

对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系: 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点 函数y=f(x)有零点

知识点1:函数的零点
对于函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

注:零点不是点 它是一个实数




【推广】:
函数y=f(x)的零点 就是 方程f(x)=0的实数根,也就是 函数y=f(x)的图象与x轴交点的 横坐标。

知识点2:三个等价关系
方程f(x)=0有实数根



函数y=f(x)的图象与x轴有交点

函数y=f(x)有零点



求函数y=f(x)的零点的步骤:
(1)令f(x)=0;

(2)解方程f(x)=0;
(3)写出零点.

如果函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ?上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点 即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

知识点3:
y
a o

零点存在性定理

图(1)
b

y 图(2)
o

y
o

x x

a

y
图(4)
o

b

x

图(3)
a
b

a

b

x

函数零点存在性的判定方法: 函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有f(a)?f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0 的根. 为何要有“图象是连续不断的一条曲线”这一条件?

y oa
b

x

(1)定理成立的条件是 什么? (2)在定理成立条下, 能确定零点个数吗? (3)再加个什么条件 能确定唯一零点?

函数何时只有一个零点?
函数零点存在且唯一的判定方法: 函数y=f(x)在区间[a,b]上 ①图象连续不断 ②两个端点的函数值f(a)?f(b)<0 0
a

y 0a

b x

y
b

x

③若函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调函数 则函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点且唯一.
y
0
a

b

x

判定函数零点所在区间的3个步骤:
(零点存在性定理的应用) 1、代入:将区间端点值代入函数求出函数的值;
2、判断:把所得的函数值相乘,进行符号判断; 3、结论: (1)若符号为正且函数在区间内是单调函数, 则在该区间内无零点; (2)若符号为负且函数连续不 断, 则在该区间内至少有一个零点。

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练习1:在下列哪个区间内,函数f(x)= x3+x-2 一定有零点( ) A、(-1,0) B、(0,2) C、(1,2) D、(2,3)

B

练习2:已知函数f(x)的图象是连续不断且有 如下的x,f(x)的对应值表

x f(x)

-2 10

-1 -10

0 1

1 8

2 -9

那么该函数在区间[-2,2]上( )零点 A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定

B

例3:已知函数f(x)=lnx+2x-6,判断f(x)在

区间[1,e]有无零点?能否判断有几个?
解:∵函数y=f(x)在区间[1,e]上 图象是连续不断 f(1)=ln1 + 2 – 6 = - 4 < 0 f (e) =lne + 2e – 6 = 2e – 5 > 0 ∴f(1) ? f(e) <0, ∴函数y=f(x)有零点

又∵函数f(x)=lnx+2x-6在[1,e]单调递增
∴函数f(x)=lnx+2x-6有一个零点。

变式



把例3中的区间去掉呢?

求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数. 如果我们没有计算器,没有计算机那能否解决这道题? 解法二:通过数形结合,把讨论原函数的零点个数问题, 转化为讨论方程的根个数问题,再转化为两个简 单函数的图象交点个数问题,其步骤是 ①令y=0, 得方程 ②方程变形,lnx=-2x+6 ,拆成两个函数y=lnx, y=6-2x ③画两函数图象 ④根据两函数图象交点个数即为原函数的零点个数,得结果.

判定函数存在零点的三种方法:
1、方程法:通过解方程。 2、图像法:函数f(x)=g(x)-h(x),由f(x)=g(x)-h(x)=0, 得g(x)=h(x),在同一个坐标系内做出函数g(x)与h(x)的 图像,根据两个图像交点的个数来判定函数零点的 个数。 3、定理法 函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一 条曲线,并且有f(a)?f(b)<0,那么,函数y=f(x)在 区间(a,b)内有零点,若函数y=f(x)在区间[a,b] 上是单调函数,则函数y=f(x)在区间(a,b)内存 在零点且唯一.
2016/10/19

判定函数零点所在区间的3个步骤:
(零点存在性定理的应用) 1、代入:将区间端点值代入函数求出函数的值;
2、判断:把所得的函数值相乘,进行符号判断; 3、结论: (1)若符号为正且函数在区间内是单调函数, 则在该区间内无零点; (2)若符号为负且函数连续不 断, 则在该区间内至少有一个零点。

2016/10/19

求函数y=f(x)的零点的步骤:
(1)令f(x)=0;

(2)解方程f(x)=0;
(3)写出零点.


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