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空间几何课件


知识概述 柱体、锥体、台体和球体都是简单的几何体,复杂的几何体大都是由这些简单 的几何体组合而成的.有关柱体、锥体、台体和球体的研究是研究比较复杂的几何 体的基础. 本章研究空间几何体的结构特征、 三视图和直观图、 表面积和体积等. 运 用直观感知、操作确认、度量计算等方法,认识和探索空间图象及其性质. 重难点知识归纳 1.柱、锥、台、球的结构特征 ①棱柱 (1)定义:如果一个多

面体有两个面互相平行,其余面都是四边形,并且每相邻 两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱.两个互相平行的 面叫做棱柱的底面,简称底,其余各面叫做棱柱的侧面;两个面的公共边叫做棱柱 的棱,其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,两个底面的距离叫做棱柱的高. (2)棱柱的表示:用上下底面的对应字母来表示或用它的对角线的端点字母来表 示. (3)棱柱的分类:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱,侧棱垂直于底面的棱柱 叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. (4)棱柱的性质:

I.棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等,直棱柱的各个侧面都 是矩形,正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. II.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.

III.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. ②棱锥

(1)定义:如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三 角形,那么这个多面体叫做棱锥.棱锥中有公共顶点的三角形叫做棱锥的侧面,余 下的那个多边形叫做棱锥的底面或底,相邻两个侧面的公共边,叫做棱锥的侧棱, 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.由顶点到底面所在平面的垂线段,叫做棱锥的 高. (2)棱锥的表示:顶点-底面,或顶点-底面对角线.

(3)棱锥的分类:依据棱锥的底的多边形的边数分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱 锥等.底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫作正 棱锥.相应的有正三棱锥、正四棱锥. (4)棱锥的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相 似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高比的平方. ③棱台 (1)定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这 样的多面体叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面. (2)棱台的表示:与棱柱一样,用上下底面的对应字母来表示. ④圆柱 (1)定义:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋 转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底 面;平行与轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面. (2)圆柱的表示:圆柱用表示它的轴的字母表示.

(3)圆柱和棱柱统称为柱体. ⑤圆锥

(1)以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围 成的旋转体叫做圆锥. (2)圆锥的表示:圆锥也用表示它的轴的字母表示.

(3)棱锥与圆锥统称为锥体. ⑥圆台 (1)定义:与棱台类似,用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的 部分叫做圆台. (2)棱台与圆台统称为台体. ⑦球 (1)以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体, 简称球.半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球 的直径. (2)球的表示:球常用表示球心的字母表示. 2.三视图与直观图 ①三视图是利用物体的三个正投影来表现空间几何体的方法.三视图包括:正 视图,侧视图,俯视图.画几何体的三视图时应注意:一个几何体的俯视图和正视 图高度一样,俯视图与正视图长度一样,侧视图与俯视图宽度一样,侧视图在正视 图的右边,俯视图在正视图的下边.能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的 轮廓线和棱用虚线表示. ②运用斜二侧画法画图时应注意: (1)在画图过程中要注意已知图形和直观图形中什么变和什么不变;

(2)不但要学会把一个立体图形画成直观图形,还要学会把一个直观图还原为立 体图形. 3.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积 ①表面积 柱体、锥体、台体的表面积即为各个面面积之和.棱柱、棱锥、棱台并没有确 定的表面积公式,要求它们的表面积,必须求出各个面面积.圆柱、圆锥、圆台、 球有确定的表面积公式,如下: (1)设圆柱的底面半径为 r,母线长为 l,那么圆柱的表面积 .

(2)设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,那么圆锥的表面积



(3)设圆台上底面半径为

,下底面半径为 r,母线长为 l,则圆台的表面积



(4)设球的半径为 R,则球的表面积 ②体积 (S 为底面积,h 为柱体高);



(S 为底面积,h 为锥体高);

(

分别为上、下底面面积,h 为台体高);

(R 为球半径).

典型例题剖析 例 1.下列命题中正确的是( )

A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱;

B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱;

C.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行的几何体叫棱柱; D.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.

例 2.如图所示,在体积为 15 的斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,S 是 C1C 上的一点,S -ABC 的体积为 3,则三棱锥 S-A1B1C1 的体积为( )

A.1

B.

C.2

D.3

例 3. 如图, 一个空间几何体的正视图、 侧视图、 俯视图为全等的等腰直角三角形. 如 果直角三角形的直角边的长为 1,那么这个几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.1

例 4.正棱锥的底面边长为 a,侧棱长为 2a,求对角面的面积和侧面积.

例 5.求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.

高考解析
例 1、(2009 年辽宁卷)正六棱锥 P-ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为( ) A.1:1 C.2:1 B.1:2 D.3:2 ,则以该正方体各个面的中心为顶

例 2、(2009 年陕西卷)若正方体的棱长为 点的凸多面体的体积为( )

例 3、 (2009 年江苏卷)在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的 面积比为 1:4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1:2,则它们的 体积比为_______. 例 4、(广东卷)一个四面体的所有棱长都为 表面积为( ) ,四个顶点在同一球面上,则此球的

A. 习题 一、选择题

B.

C.

D.

1.过正三棱柱底面一边的截面是(



A.三角形

B.三角形或梯形

C.不是梯形的四边形 2.正方体的对角线长为 3cm,则它的体积为(

D.梯形



A.4cm3

B.8cm3

C.9cm3 3.球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于(

D.3

cm3



A.

B.1

C.2

D.3

4.将一个边长为 a 的正方体,切成 27 个全等的小正方体,则表面积增加了(



A.

B.12a2

C.18a2

D.24a2

5.若圆台两底面周长的比是 1∶4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分 成两部分的体积比是( ) A.1∶16 B.3∶27

C.13∶129

D.13∶43

6.两个球体积之和为 12π,且这两个球大圆周长之和为 6π,那么这两球半径之差 是( )

A.

B.1

C.2 7.若一个几何体的俯视图是圆,则它不可能是( )

D.3

A.球

B.圆柱

C.圆锥

D.三棱锥

8.直径为 10cm 的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为 2cm 的削球,如果不 计损耗,可铸成这样的小球的个数为( A.5 ) B.15

C.25

D.125

9.与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体的表面积之比为( )

A.

B.

C.

D.

10.中心角为 135°的扇形,其面积为 B,其围成的圆锥的全面积为 A,则 A∶B 为 ( )

A.11∶8

B.3∶8

C.8∶3 二、填空题

D.13∶8

11.一个圆柱的轴截面是正方形,其体积与一个球的体积之比为 3∶2。则这个圆柱 的侧面积与这个球的表面积之比为____________.

12.正六棱锥的高为 4cm,最长的对角线为

cm,则它的侧面积为___________.

13.球的表面积扩大为原来的 4 倍,则它的体积扩大为原来的___________倍.

14.已知正三棱锥的侧面积为 18 三、解答题

cm2,高为 3cm. 求它的体积___________.

15.①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱.

已知:等边圆柱的底面半径为 r,求:全面积; ②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥. 已知:等边圆锥底面半径为 r,求:全面积.

16.已知:一个圆锥的底面半径为 R,高为 H,在其中有一个高为 x 的内接圆柱.

(1)求圆柱的侧面积;

(2)x 为何值时,圆柱的侧面积最大.

17.试比较等体积的球与正方体的表面积的大小.

18.已知一个半径为

的球有一个内接正方体(即正方体的顶点都在球面上),

求这个球的球面面积与其内接正方体的全面积之比.


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