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【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量章末综合检测 新人教A版必修4


【优化方案】 2016 高中数学 第二章 平面向量章末综合检测 新人教 A 版必修 4
(时间:100 分钟,分数:120 分) 一、选择题(本大题共有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每个小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列说法正确的是( ) A.共线向量的方向相同 B.零向量是 0 C.长度相等的向量叫做相等向量 D.共线向量是在一条直线上的向量 解析:选 B.对 A,共线向量的方向相同或相反,错误;对 B,零向量是 0,正确;对 C, 方向相同且长度相等的向量叫做相等向量,错误;对 D,共线向量所在直线可能平行,也可 能重合,错误.故选 B. → 4→ → 2.已知 A、B、D 三点共线,存在点 C,满足CD= CA+λ CB,则 λ =( ) 3 2 1 A. B. 3 3 1 2 C.- D.- 3 3 → → → → → → 解析: 选 C.因为 A, B, D 三点共线, 所以存在实数 t, 使AD=tAB, 则CD-CA=t(CB-CA), 4 ? ?1-t= , → → → → → → 3 即 λ =-1. 即CD=CA+t(CB-CA)=(1-t)CA+tCB,所以? 3 ? ? t= λ , 3.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λ b)∥c,则 λ =( ) 1 1 A. B. 4 2 C.1 D.2 解析:选 B.a+λ b=(1+λ ,2),由(a+λ b)∥c 得(1+λ )?4-3?2=0,所以 λ = 1 . 2 → → → → → → 4.已知点 O,N 在△ABC 所在平面内,且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0,则点 O, N 依次是△ABC 的( ) A.重心,外心 B.重心,内心 C.外心,重心 D.外心,内心 → → → → → → → → 解析:选 C.由|OA|=|OB|=|OC|知,O 为△ABC 的外心;由NA+NB+NC=0,得AN=NB+ → → → → → NC,取 BC 边的中点 D,则AN=NB+NC=2ND,知 A、N、D 三点共线,且 AN=2ND,故点 N 是 △ABC 的重心. ?π ? 5.已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),其中 θ ∈? ,π ?,b=(0,-1),则 a 与 b 的夹 ?2 ? 角等于( ) π π A.θ - B. +θ 2 2

1

3π -θ D.θ 2 解析:选 C.设 a 与 b 的夹角为 α ,a?b=cos θ ?0+sin θ ?(-1)=-sin θ ,|a| a?b 3π ?π ? =1,|b|=1,所以 cos α = =-sin θ =cos( -θ ),因为 θ ∈? ,π ?,α ∈ |a||b| 2 ?2 ? [0,π ], 3π y=cos x 在[0,π ]上是递减的,所以 α = -θ ,故选 C. 2 → → → 6.已知等边三角形 ABC 的边长为 1,BC=a,CA=b,AB=c,则 a?b-b?c-c?a 等 于( ) 3 3 A.- B. 2 2 1 1 C.- D. 2 2 解析:选 D.由平面向量的数量积的定义知, a?b-b?c-c?a=|a||b|cos(π -C)-|b||c|cos(π -A)-|c||a|cos(π -B) 1 =cos(π -C)-cos(π -A)-cos(π -B)=-cos C+cos A+cos B=cos 60°= .故 2 选 D. 7.已知平面向量 a,b,|a|=1,|b|= 3,且|2a+b|= 7,则向量 a 与向量 a+b 的 夹角为( ) π π A. B. 2 3 π C. D.π 6 C. 解析:选 B.因为|2a+b| =4|a| +4a?b+|b| =7,|a|=1,|b| = 3, 所以 4+4a?b+3=7,a?b=0,所以 a⊥b.如图所示,a 与 a+ |CA| b 的夹角为∠COA,因为 tan∠COA= = 3, |OA| π π 所以∠COA= ,即 a 与 a+b 的夹角为 . 3 3 → → 8. 在△ABC 中, ∠BAC=60°, AB=2, AC=1, E, F 为边 BC 的三等分点, 则AE?AF=( 5 5 A. B. 3 4 10 15 C. D. 9 8 → 1→ → → → → 1 → → 解析:选 A.依题意,不妨设BE= EC,BF=2FC,则有AE-AB= (AC-AE), 2 2 → 2→ 1→ 即AE= AB+ AC; 3 3 → → → → → 1→ 2→ AF-AB=2(AC-AF),即AF= AB+ AC. 3 3 2→ 1→ 1→ 2→ → → 所以AE?AF=( AB+ AC)?( AB+ AC) 3 3 3 3 1 → → → → = (2AB+AC)?(AB+2AC) 9 )
2 2 2

2

1 →2 →2 → → = (2AB +2AC +5AB?AC) 9 1 5 2 2 = (2?2 +2?1 +5?2?1?cos 60°)= ,故选 A. 9 3 9.已知非零向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,向量 a,b 的夹角为 60°,且|b|=|a|=1, 则向量 a 与 c 的夹角为( ) A.60° B.30° C.120° D.150° 解析:选 D.因为 a+b+c=0,所以 c=-(a+b), 2 2 2 2 所以|c| =(a+b) =a +b +2a?b=2+2cos 60°=3,所以|c|= 3. 3 2 又 c?a=-(a+b)?a=-a -a?b=-1-cos 60°=- , 2 3 - 2 a?c 3 设向量 c 与 a 的夹角为 θ ,则 cos θ = = =- , |a||c| 2 3?1 因为 0°≤θ ≤180°,所以 θ =150°. 1 → → → 10.在△ABC 中,AC=6,BC=7,cos A= ,O 是△ABC 的内心,若OP=xOA+yOB,其 5 中 0≤x≤1,0≤y≤1,则动点 P 的轨迹所覆盖的面积为( ) 10 5 A. 6 B. 6 3 3 10 20 C. D. 3 3 → → → 解析:选 A.如图,因为OP=xOA+yOB,其中 0≤x≤1,0≤y≤1,所以 动点 P 的轨迹所覆盖的区域是以 OA,OB 为邻边的平行四边形 OAMB,则动点 P 的轨迹所覆盖的面积 S=AB?r,r 为△ABC 的内切圆的半径. → → → 在△ABC 中,由向量的减法法则得BC=AC-AB, →2 → → 2 → 2 → 2 → 2 → → 所以BC =(AC-AB) ,即|BC| =|AC| +|AB| -2|AC||AB|cos A, 1 → 2 → 2 2 由已知得 7 =6 +|AB| -12?|AB|? , 5 → 2 → → 所以 5|AB| -12|AB|-65=0,所以|AB|=5. 1 所以 S△ABC= ?6?5?sin A=6 6,又 O 为△ABC 的内心,故 O 到△ABC 各边的距离均 2 为 r, 1 此时△ABC 的面积可以分割为三个小三角形的面积的和,所以 S△ABC= (6+5+7)?r, 2 1 即 (6+5+7)?r=6 6, 2 2 6 2 10 所以 r= ,故所求的面积 S=AB?r=5? 6= 6. 3 3 3 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上) 11. 已知向量 a=(2, 3), b=(-1, 2), 若 ma+4b 与 a-2b 共线, 则 m 的值为________. 解析:ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1),因为 ma+4b 与 a-2b 共线, 所以-1(2m-4)=4(3m+8),解得 m=-2. 答案:-2

3

→ → → → → 12.如图,在四边形 ABCD 中,AC 和 BD 相交于点 O,设AD=a,AB=b,若AB=2DC,则AO =________(用向量 a 和 b 表示). μ → → → → ? 1 ? 解析:因为AO=μ AC=μ (AD+DC)=μ ?a+ b?=μ a+ b. 2 2 ? ? μ 2 → 2 1 因为 μ + =1,解得 μ = .所以AO= a+ b. 2 3 3 3 2 1 答案: a+ b 3 3 13.已知两点 A(-1,0),B(-1, 3),O 为坐标原点,点 C 在第一象限,且∠AOC= → → → 120°.设 OC=-3OA+λ OB(λ ∈R),则 λ =________. → 解析: 由题意, 得OC=-3(-1, 0)+λ (-1, 3)=(3-λ , 3λ ), 因为∠AOC=120°, → → OA?OC 1 λ -3 1 3 所以 =- ,即 =- ,解得 λ = . 2 2 → → 2 2 2 (3-λ ) +3λ |OA||OC| 3 答案: 2 14.已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC、DC 上,BC=3BE, → → DC=λ DF.若AE?AF=1,则 λ 的值为________. → → → → 1→ → → → → 1 → 解析:因为AE=AB+BE=AB+ AD,AF=AD+DF=AD+ AB, 3 λ 1 1 → → → → → → 所以AE?AF=(AB+ AD)?(AD+ AB) 3 λ 1 →2 1+3λ → → 1→2 = AB + AD?AB+ AD λ 3λ 3 4 1+3λ 4 10-2λ = + ?2?2?cos 120°+ = =1. λ 3λ 3 3λ 解得 λ =2. 答案:2 π 15. 若将向量 a=(1, 2)绕原点按逆时针方向旋转 得到向量 b, 则 b 的坐标是________. 4

解析:如图,设 b=(x,y), 则|b|=|a|= 5, π 2 5 2 a?b=|a||b|?cos = 5? 5? = , 4 2 2 5 2 2 2 又 x +y =5,a?b=x+2y,得 x+2y= , 2 解得 x=- 2 3 2 3 2 2 ,y= (舍去 x= ,y= ). 2 2 2 2
4

2 3 2? ? , ?. 2 ? ? 2 2 3 2? ? 答案:?- , ? 2 ? ? 2 故 b=?- 三、解答题(本大题共 5 小题,共 55 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 10 分)已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c 的坐标; 5 (2)若|b|= ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ . 2 解:(1)由 a=(1,2),得|a|= 1 +2 = 5, 又|c|=2 5,所以|c|=2|a|. 又因为 c∥a,所以 c=±2a, 所以 c=(2,4)或 c=(-2,-4). (2)因为 a+2b 与 2a-b 垂直,所以(a+2b)?(2a-b)=0, 5 5 2 2 即 2|a| +3a?b-2|b| =0,将|a|= 5,|b|= 代入,得 a?b=- . 2 2
2 2

a?b =-1,又由 θ ∈[0,π ],得 θ =π ,即 a 与 b 的夹角为 π . |a|?|b| 17.(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,4),B(-2,3),C(2,
所以 cos θ = -1). → → → → (1)求AB,AC及|AB+AC|; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)⊥OC,求 t 的值. 解: (1)因为 A(1,4),B(-2,3),C(2,-1). → → → → 所以AB=(-3,-1),AC=(1,-5),AB+AC=(-2,-6), → → 2 2 |AB+AC|= (-2) +(-6) =2 10. → → → → → → (2)因为(AB-tOC)⊥OC,所以(AB-tOC)?OC=0, → → →2 → → 即AB?OC-tOC =0,因为AB?OC=-3?2+(-1)?(-1)=-5, →2 OC =22+(-1)2=5,所以-5-5t=0,所以 t=-1. → → → → → → → → 18.(本小题满分 10 分)已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2 → |=|OP3|=1. 求证:△P1P2P3 是正三角形. → → → 证明:因为OP1+OP2+OP3=0, → → → 所以OP1+OP2=-OP3, → → 2 → 2 → 2 → 2 → → → 2 所以(OP1+OP2) =(-OP3) ,所以|OP1| +|OP2| +2OP1?OP2=|OP3| , → → 1 OP1?OP2 1 → → 所以OP1?OP2=- ,又 cos∠P1OP2= =- ,所以∠P1OP2=120°. 2 → → 2 |OP1|?|OP2| → → → →2 →2 → → → → 2= OP 所以|P1P2|=|OP2-OP1|= (OP 3. 1 +OP2 -2OP1?OP2= 2-OP1) → → 同理可得|P2P3|=|P3P1|= 3. 故△P1P2P3 是等边三角形. 19.(本小题满分 12 分)已知正方形 ABCD,E、F 分别是 CD、AD 的中点,BE、CF 交于点 P.求证: (1)BE⊥CF;
5

(2)AP=AB. 证明:如图建立直角坐标系 xOy,其中 A 为原点,不妨设 AB=2,

则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1). → → → (1)BE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(-1,2), → → → CF=OF-OC=(0,1)-(2,2)=(-2,-1), → → 因为BE?CF=-1?(-2)+2?(-1)=0, → → 所以BE⊥CF,即 BE⊥CF. → → (2)设 P(x,y),则FP=(x,y-1),CF=(-2,-1), → → 因为FP∥CF,所以-x=-2(y-1),即 x=2y-2. → → 同理,由BP∥BE,得 y=-2x+4,代入 x=2y-2. 6 8 ?6 8? 解得 x= ,所以 y= ,即 P? , ?. 5 5 ?5 5? 2 8 2 →2 ?6? →2 ? ? 所以AP =? ? +? ? =4=AB , 5 5 ? ? ? ? → → 所以|AP|=|AB|,即 AP=AB. 20.(本小题满分 13 分)(1)如图,设点 P,Q 是线段 AB 的三等分点, → → → → → → → → 若OA=a,OB=b,试用 a,b 表示OP,OQ,并判断OP+OQ与OA+OB的关系. (2)受(1)的启示,如果点 A1,A2,A3,…,An-1 是 AB 的 n(n≥3)等分 点,你能得到什么结论?请证明你的结论. → → → → 1→ 解:(1)OP=OA+AP=OA+ AB 3 2→ 1→ 2 1 → 1 → → =OA+ (OB-OA)= OA+ OB= a+ b. 3 3 3 3 3 1 2 → 同理OQ= a+ b. 3 3 → → → → OP+OQ=a+b=OA+OB. → → → → → → (2)结论:OA1+OAn-1=OA2+OAn-2=…=OA+OB. 证明如下: → → → → 1→ 由(1)可推出OA1=OA+AA1=OA+ AB

n

n-1 → 1 → → 1 → → =OA+ (OB-OA)= OA+ OB, n n n
→ n-1 1 所以OA1= a+ b,

n

n

1 n-1 → 同理OAn-1= a+ b,

n

n

6

→ → → → 所以OA1+OAn-1=a+b=OA+OB. n-2 2 又 OA2= a+ b,

n

n

2 n-2 → OAn-2= a+ b, n n → → → → 所以OA2+OAn-2=a+b=OA+OB,…, → → → → → → 因此有OA1+OAn-1=OA2+OAn-2=…=OA+OB.

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