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第三课 CUSUM & EWMA


高级统计质量控制工具

1

内容: 内容:
CUSUM控制及其应用 控制及其应用 EWMA控制及其应用 控制及其应用 自相关过程的质量控制

2

CUSUM控制及其应用 控制及其应用

3

常规控制图的不足
常规休哈特控制图存在着

对过程小偏移不 灵敏的缺陷。 灵敏的缺陷。 CUSUM控制图的诞生正是为了解决过程小 控制图的诞生正是为了解决过程小 偏移的质量控制问题。 偏移的质量控制问题。 CUSUM控制图是 控制图是1954年佩基 年佩基(Page)提出的。 提出的。 控制图是 年佩基 提出的

4

常规休哈特控制图在诞生之时, 常规休哈特控制图在诞生之时,只有一条 判异准则“点出界就判异” 判异准则“点出界就判异”,至于其它的 判异准则,诸如:关于“ 判异准则,诸如:关于“界内点排列不随 的准则,都是后来人们增加的。 机”的准则,都是后来人们增加的。增加 这类判异准则的原因,这是受到CUSUM、 这类判异准则的原因,这是受到 、 EWMA控制图设计思想的影响。 控制图设计思想的影响。 控制图设计思想的影响

5

CUSUM控制图的原理 控制图的原理
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 原始观测值 9.45 7.99 9.29 11.66 12.16 10.18 8.04 11.46 9.20 10.34 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 原始观测值 9.03 11.47 10.51 9.40 10.08 9.37 10.62 10.31 8.52 10.84 序号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 原始观测值 10.40 8.83 11.79 11.00 10.10 10.58 9.88 11.12 10.81 10.02

——示例 示例

6

前20个观测值随机地取自均值为 ? =10、 个观测值随机地取自均值为 、 2 的正态分布。 方差为 σ =1的正态分布。 的正态分布 后10个观测值随机地取自均值为 ? =10.5、 个观测值随机地取自均值为 、 2 的正态分布。 方差为 σ =1的正态分布。 的正态分布

——机理 机理

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30个数据的单值控制图 个数据的单值控制图

8

常规控制图中的均值控制图对于偏移幅度, 常规控制图中的均值控制图对于偏移幅度, 如1.5σ、2σ或者更大的偏移情况,都是很 σ σ或者更大的偏移情况, 有效的,而对于较小的偏移则不太有效。 有效的,而对于较小的偏移则不太有效。 对小偏移的检测非常重要时, 对小偏移的检测非常重要时,CUSUM控制 控制 图不失为一种好方法。 图不失为一种好方法。

9

CUSUM控制图包容了观测值序列的全部信 控制图包容了观测值序列的全部信 计算观测值与目标值差值的累积和。 息,计算观测值与目标值差值的累积和。 的样本, 假设采集到样本容量 n ≥ 1 的样本,用 x j 表示第j个样本的均值 个样本的均值。 表示第 个样本的均值。如果以 ?0 表示过 程均值的目标值,那么, 统计量为: 程均值的目标值,那么,CUSUM统计量为: 统计量为

Si = ∑ ( x j ? ?0 )
j =1

i

10

当过程处于稳态时, 统计量S 当过程处于稳态时,CUSUM统计量 i是在 统计量 附近波动的随机变量,即均值为零。 零附近波动的随机变量,即均值为零。 若过程出现偏移, 若过程出现偏移,
偏移后的过程均值上升为? 那么, 偏移后的过程均值上升为?1 > ?0,那么,向上 的正偏移就会不断累积到CUSUM统计量 i中; 统计量S 的正偏移就会不断累积到 统计量 偏移后的过程均值下降为?1 < ?0,那么,向下 偏移后的过程均值下降为? 那么, 的负偏移就会在CUSUM统计量 i中不断累积。 统计量S 的负偏移就会在 统计量 中不断累积。

依据CUSUM统计量 i打点形成向上或向下 统计量S 依据 统计量 的趋势, 的趋势,可以作出过程均值是否发生偏移 的判断。(优点?) 。(优点 的判断。(优点?)
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序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

CUSUM值 值 -0.55 -2.56 -3.27 -1.61 0.55 0.73 -1.23 0.23 -0.57 -0.23

序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

CUSUM值 值 -1.20 0.27 0.78 0.18 0.26 -0.37 0.25 0.56 -0.92 -0.08

序号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

CUSUM值 值 0.32 -0.85 0.94 1.94 2.04 2.62 2.50 3.62 4.43 4.45

——示例 示例CUSUM统计量的结果 示例 统计量的结果
12

——示例 示例CUSUM统计量的打点结果 示例 统计量的打点结果
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CUSUM控制的设计思想 控制的设计思想
CUSUM控制图的理论基础是序贯分析原理 控制图的理论基础是序贯分析原理 中的序贯概率比检验(Sequential Probability 中的序贯概率比检验 Ratio Test,简称 ,简称SPRT),这是一种基本的 , 序贯检验法。 序贯检验法。 CUSUM控制图的设计思想是对信息加以累 控制图的设计思想是对信息加以累 将过程的小偏移累加起来, 积,将过程的小偏移累加起来,以起到放 大的效果,进而, 大的效果,进而,提高检测过程小偏移的 灵敏度。 灵敏度。
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在检测过程均值的小偏移时, 在检测过程均值的小偏移时,如偏移幅度 倍标准差之间, 在0.5到2倍标准差之间,CUSUM控制图更 到 倍标准差之间 控制图更 有效。检测这个范围的过程偏移量, 有效。检测这个范围的过程偏移量, CUSUM控制图比相应的常规控制图要快 控制图比相应的常规控制图要快2 控制图比相应的常规控制图要快 即所需的样本数更少 样本数更少。 倍,即所需的样本数更少。 利用CUSUM控制图,过程偏移量可以利用 控制图, 利用 控制图 点子倾斜程度的变化进行估计。并且, 点子倾斜程度的变化进行估计。并且,通 过观察倾斜程度的变化, 过观察倾斜程度的变化,可找到过程出现 变化的起点。 变化的起点。
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CUSUM控制方法 控制方法——V型模板 控制方法 型模板

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V型模板的应用方法: 型模板的应用方法: 型模板的应用方法 型模板的O点放在 把V型模板的 点放在 型模板的 最新得到的点子S 最新得到的点子 i上, 直线OP与 轴平行 直线 与x轴平行

每当CUSUM打 打 每当 点图上出现一个 新的点子, 新的点子,就要 移动V型模板 型模板, 移动 型模板, 把O点移到最新 点移到最新 点子上, 与 点子上,OP与x 轴平行,应用V 轴平行,应用 型模板进行控制。 型模板进行控制。

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V型模板的判断准则 型模板的判断准则
V型摸板提供了一种与常规控制图的控制界 型摸板提供了一种与常规控制图的控制界 限相似且可视的控制方法。 限相似且可视的控制方法。 V型模板两臂的作用与常规控制图的控制界 型模板两臂的作用与常规控制图的控制界 线是一致的。 线是一致的。 如果O点位于 点位于S 如果 点位于 n处,S1 ,S2 ,…,Sn-1所有的点 子都落在V型模板的两臂之内 则过程受控。 型模板的两臂之内, 子都落在 型模板的两臂之内,则过程受控。

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如果存在点子S 落在V型模板的臂外 型模板的臂外, 如果存在点子 j落在 型模板的臂外,则认 为过程失控。 为过程失控。
如果存在点子落在V型模板的下臂界外时,表 如果存在点子落在 型模板的下臂界外时, 型模板的下臂界外时 示过程均值出现了向上的偏移。 示过程均值出现了向上的偏移。 如果存在点子落在V型模板的上臂界外时,表 如果存在点子落在 型模板的上臂界外时, 型模板的上臂界外时 示过程均值出现了向下的偏移。 示过程均值出现了向下的偏移。

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V型模板还可得到 型模板还可得到…… 型模板还可得到
因为, 个点子落在臂外 所以, 个点子落在臂外, 因为,第j个点子落在臂外,所以,可初步 判定过程开始出现异常的起点为j。 判定过程开始出现异常的起点为 。 可估计出从第j个点子到第 个点子( 点所 个点子到第i个点子 可估计出从第 个点子到第 个点子(O点所 在位置)之间发生偏移的过程均值为: 在位置)之间发生偏移的过程均值为:

? ? = ?0 +

S i ? S j?1 i ? j +1
20

V型模板的设计 型模板的设计
2 1? β d = ( 2 ) In ( ) δ α

d ≈ ?2
?1

Inα

? θ = tan ( ) 2A
其中: 其中:

δ

2

? δ= σx

A是刻度因子,表示垂直刻度(纵轴)单位与水平刻度 是刻度因子,表示垂直刻度(纵轴) 是刻度因子 横轴)单位的比值, (横轴)单位的比值,往往取 A = 2σ X
21

V型模板的重要参数 型模板的重要参数
H:称为决策值,是V型模板上点 处垂直 :称为决策值, 型模板上点O处垂直 型模板上点 线段长度的一半, 线段长度的一半,即OU或OL。 或 。

H = 2dσ x tan(θ)

K:称为参考值,指V型模板臂的斜度,即 :称为参考值, 型模板臂的斜度, 型模板臂的斜度 x值每增加一个单位,y值要增加幅度。 值每增加一个单位, 值要增加幅度。 值每增加一个单位

? δσ x K= = 2 2

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V型模板的特点 型模板的特点
V型模板本身比较简单,可以用透明的材料 型模板本身比较简单, 型模板本身比较简单 作成,就象一把工具尺,使用方便,直观, 作成,就象一把工具尺,使用方便,直观, 可视性强。 可视性强。 型模板法不适合计算机自动处理。 但V型模板法不适合计算机自动处理。因而, 型模板法不适合计算机自动处理 因而, 近年来, 型模板法逐渐被计算更简单的固 近年来,V型模板法逐渐被计算更简单的固 定控制界法所替代。 定控制界法所替代。

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CUSUM控制 控制——固定控制界法 控制 固定控制界法
平均链长ARL (Average Run Length) :对 平均链长 某一个确定的质量特性水平, 某一个确定的质量特性水平,控制图从开 始进行控制直到发出警报信号为止所抽取 的平均样本数。 的平均样本数。 过程处于稳态时,均值控制图的ARL为 过程处于稳态时,均值控制图的 为 370=1/0.0027 即过程处于稳态时,平均每370个样本中会 即过程处于稳态时,平均每 个样本中会 产生一个失控的信号,即存在一个界外点。 产生一个失控的信号,即存在一个界外点。
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显然,过程处于稳态时, 显然,过程处于稳态时,ARL越长越好; 越长越好; 过程出现异常时, 越短越好。 过程出现异常时,ARL越短越好。 越短越好 δσ x 令 L(δ ) 表示均值的偏移量为 时 的ARL。 。

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固定控制界法的常见设计思路
CUSUM统计量 统计量

Si = ∑ [ x j ? (? 0 + K )]
j=1

i

其中: 是参考值 是参考值(Reference Value),通常 其中:K是参考值 , 取稳态过程均值?0 与需要检测出的过程偏 之间差值的一半, 移 之间差值的一半,即

?1 = ? 0 + ?

? δσ x K= = 2 2

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假设 ?1 > ?0 小于零, 自动设置为0 如果 Si 小于零,则Si 自动设置为0。 如果 Si 大于决策值 (Decision Value) H, , 那么, 那么,可以判断过程均值已经偏移到?1

H = 2dσ x tan θ

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双侧CUSUM控制图可以通过同时使用两个 控制图可以通过同时使用两个 双侧 单侧CUSUM控制图来实现,其中:上单侧 控制图来实现, 单侧 控制图来实现 其中: 与下单侧CUSUM的参考值分别记为 1和K2, 的参考值分别记为K 与下单侧 的参考值分别记为 它们的ARL记为 L1 (δ) L和δ) 它们的 记为 。 2( 单侧CUSUM控制图的 控制图的ARL与双侧 与双侧CUSUM 单侧 控制图的 与双侧 控制图的ARL即 L(δ) 控制图的 即 之间的关系为

L (δ) = L (δ) + L (δ)
?1 ?1 1 ?1 2
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CUSUM控制图的设计 控制图的设计
CUSUM统计量 统计量 为上单侧CUSUM控制的统计 令 S H (i) 为上单侧 控制的统计 量L (i) S, 为下单侧CUSUM控制的统计 为下单侧 控制的统计 S H (i) = max[0, x i ? (? 0 + K ) + S H (i ? 1)] 量

S L (i) = max[0, (? 0 ? K ) ? x i + S L (i ? 1)]
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CUSUM控制参数: 控制参数: 控制参数
初值S 初值 H(0)=SL(0)=0 K是参考值,通常取稳态过程均值 是参考值, 是参考值 ? 检测出的过程偏移1 = ?0 + ? 差值的一半, 差值的一半,即 ? δσ

?0 与需要

K=

2

=

x

2

30

CUSUM控制准则 控制准则 ?0 SH (i) 和 SL (i ) 只累积与 的偏差中大 的部分。 于K的部分。如果 SL (i ) 的部分 SH (i ) 或 为负 SH (i) S 则将其置为0; L (i ) 值,则将其置为 ;如果 或 大于决策值H,则判断过程失控。 大于决策值 ,则判断过程失控。

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CUSUM控制图的设计原则 控制图的设计原则 设计CUSUM控制图取决于对参考值 和决 控制图取决于对参考值K和决 设计 控制图取决于对参考值 策值H的选择 的选择。 策值 的选择。 建议:基于对ARL的设计要求,选取参数。 的设计要求, 建议:基于对 的设计要求 选取参数。

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初值的设置——FIR(Fast Initial 初值的设置 Response,加速初值处理方法 ,加速初值处理方法)
加速初值处理FIR不将初值 H(0)和SL(0)设 不将初值S 加速初值处理 不将初值 和 设 为0,而取非零值,最常用的是 ,而取非零值,最常用的是H/2。 。 如果过程就处于受控状态,那么, 如果过程就处于受控状态,那么,CUSUM 统计量会快速衰减到0, 统计量会快速衰减到 ,非零初值对受控 ARL的影响极小。 的影响极小。 的影响极小 如果过程初始就处于某一不同于目标值的 状态,非零初值的设计可使CUSUM更快地 状态,非零初值的设计可使 更快地 检测出异常,减小失控ARL值。 检测出异常,减小失控 值
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EWMA控制及其应用 控制及其应用

34

年佩基( 继1954年佩基(Page)提出累积和 年佩基 )提出累积和CUSUM 控制图之后, 年罗伯特( 控制图之后,1959年罗伯特(Robert)又 年罗伯特 ) 提出另一种能够有效控制过程小偏移的方 法:EWMA(Exponentially Weighted Moving Average,指数加权滑动平均)控制 ,指数加权滑动平均 控制 同样充分利用了所有的历史数据, 图,同样充分利用了所有的历史数据,且 对数据的处理更有特色。 对数据的处理更有特色。

35

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EWMA控制图的统计量 控制图的统计量
是相互独立的随机变量序列, 设X1, X2, ……是相互独立的随机变量序列, 是相互独立的随机变量序列 统计量Z 则EWMA统计量 i为: 统计量

Z i = λX i + (1 ? λ ) Z i ?1 其中: 是一个常数。 其中:0 < λ ≤ 1 是一个常数。
EWMA统计量的初值 0一般取 统计量的初值Z 一般取E(X) = ?。 统计量的初值

Zi = λ ∑ (1 ? λ ) X i ? j + (1 ? λ ) Z 0
j i j =0
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i ?1

显然, 距离当前越远的数据, 权重越小, 显然 , 距离当前越远的数据 , 权重越小 , 以指数形式递减。 其中, 以指数形式递减 。 其中 , 数据权重的累积 i ?1 和为: 和为: i
λ ∑ (1 ? λ ) = 1 ? (1 ? λ )
j =0

所有数据项与Z 的权重之和为1。 所有数据项与 0的权重之和为 。

38

Z i = λX i + (1 ? λ ) Z i ?1
权重趋近于1。 若 λ →1 ,i则 权重趋近于 。 X 若 λ =1 ,则EWMA控制图就完全退 控制图就完全退 化为单值控制图。 化为单值控制图。 统计量中, 若λ→0 ,则EWMA统计量中,观测 统计量中 值的权重基本一致, 值的权重基本一致,EWMA统计量近似于 统计量近似于 经典的CUSUM统计量。 统计量。 经典的 统计量 0< λ <1 的EWMA控制对历史数 控制对历史数 据的处理介于单值控制图与CUSUM控制之 据的处理介于单值控制图与 控制之 间。

39

Z i = λX i + (1 ? λ )Z i ?1 = Zi ?1 + λ ( X i ? Zi ?1 )
EWMA统计量的另一种解释:EWMA统计 统计量的另一种解释: 统计量的另一种解释 统计 量为对下一个观测值的预测。即将统计量Z 量为对下一个观测值的预测。即将统计量 i 看作对X 的预测,其数值等于当前X 看作对 i+1的预测,其数值等于当前 i的预 测值Z 加上λ倍的预测误差(X 测值 i-1加上λ倍的预测误差 i-Zi-1)。 。 EWMA除了具有控制过程发生偏移的作用 除了具有控制过程发生偏移的作用 以外,还具有预测功能。 以外,还具有预测功能。
40

EWMA统计量的性质 统计量的性质

? EWMA = ?

σ EWMA = σ λ /(2 ? λ )

41

EWMA控制图的设计 控制图的设计
3σ原则的控制界限 σ

?EWMA ± 3σ EWMA = ? ± 3σ λ /(2 ? λ )
控制参数 λ 的选取 采用对数据反复叠代的方法, 可采用对数据反复叠代的方法,通过寻找 n 最小的λ 使 ∑ ( Zi ?1 ? X i )2 最小的λ值来得 到。i =1
42

最优λ 偏移量和稳态 最优λ、偏移量和稳态ARL(0)

43

44

控制参数K、 和稳态 控制参数 、λ和稳态ARL(0)

45

46

EWMA控制图的设计步骤 控制图的设计步骤
选择过程稳态时可接受的较小ARL(0); ; 选择过程稳态时可接受的较小 决定必须迅速检测出的偏移幅度, 决定必须迅速检测出的偏移幅度,并确定 对此偏移量使ARL最小的 最小的λ 对此偏移量使ARL最小的λ; 利用步骤2得到的 得到的λ 寻找满足步骤1要求 利用步骤 得到的λ,寻找满足步骤 要求 ARL(0)的控制界参数 ; 的控制界参数K; 的控制界参数 进行敏感性分析,将上述得到的最优参数(λ 进行敏感性分析,将上述得到的最优参数 λ, K)组合的失控 组合的失控ARL与相同 与相同ARL(0)对应的其 组合的失控 与相同 对应的其 组合的失控ARL作比较,分析失控 作比较, 他(λ, K)组合的失控 λ 组合的失控 作比较 ARL的变化。 的变化。 的变化
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自相关过程的质量控制

48

起因
传统的统计过程控制理论的基本假设是: 传统的统计过程控制理论的基本假设是: 过程的观测数据统计独立。 过程的观测数据统计独立。 实际工作中, 实际工作中,过程数据并不是总能满足彼 此统计独立的假设前提,如化工、 此统计独立的假设前提,如化工、制药等 连续型生产,多数数据会存在自相关现象, 连续型生产,多数数据会存在自相关现象, 某些已实现数据自动采集的过程, 某些已实现数据自动采集的过程,采集到 的数据往往会存在数据自相关。 的数据往往会存在数据自相关。
49

近年来,随着测量技术和采集数据技术的发展, 近年来,随着测量技术和采集数据技术的发展, 高频率的数据采集越来越普遍。 高频率的数据采集越来越普遍。数据采集的高频 率往往会导致过程的检测数据存在自相关现象。 率往往会导致过程的检测数据存在自相关现象。 当数据存在自相关现象时, 当数据存在自相关现象时,传统的统计过程控制 理论不能有效、恰当地控制和改进过程质量。 理论不能有效、恰当地控制和改进过程质量。在 某些情况下, 某些情况下,运用常规控制图控制处于统计控制 状态的自相关过程,会出现大量的虚发警报, 状态的自相关过程,会出现大量的虚发警报,以 至于对过程做出错误的判断,给质量管理、 至于对过程做出错误的判断,给质量管理、质量 控制工作带来严重误导, 控制工作带来严重误导,减弱了控制图的使用效 甚至丧失监控过程的作用。 果,甚至丧失监控过程的作用。
50

内容
针对等数据采集间隔的情况, 针对等数据采集间隔的情况,以简单而广 为使用的一阶自回归AR(1)模型为例,介绍 模型为例, 为使用的一阶自回归 模型为例 了残差控制图, 了残差控制图,比较了残差控制图和常规 控制图的控制效果, 控制图的控制效果,进行了自相关过程的 统计控制状态分析,分别以案例进行说明。 统计控制状态分析,分别以案例进行说明。

51

针对数据采集间隔不等的情况, 针对数据采集间隔不等的情况,尤其是子 组内数据采集间隔相对短, 组内数据采集间隔相对短,子组间的采集 间隔相对长的情况,介绍调整均值控制图。 间隔相对长的情况,介绍调整均值控制图。 针对化工业常见的储液罐模型, 针对化工业常见的储液罐模型,对采样间 隔与控制图的控制效果之间关系进行分析, 隔与控制图的控制效果之间关系进行分析, 探讨了模型参数的估计问题, 探讨了模型参数的估计问题,分析了单值 控制图的应用, 控制图的应用,并就其控制效果与残差控 制图进行比较。 制图进行比较。
52

残差控制图

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模型
残差控制图( 残差控制图(RES, residual control chart) ) 运用时间序列模型的残差来控制过程质量。 运用时间序列模型的残差来控制过程质量。 一阶自回归AR(1)模型: 模型: 一阶自回归 模型

X t ? ? = φ ( X t ?1 ? ? ) + ε t

54

控制图
残差——控制统计量 控制统计量 残差

? ? ? ( 1 ? φ ) ? φX t ?1 Rt = X t ? ?
ε t = X t ? ? ? φ ( X t ?1 ? ? ) = X t ? ? (1 ? φ ) ? φX t ?1
控制界限:-3 控制界限:-3,0,3 :-
55

案例分析
受控过程的控制

单值控制图( ) 单值控制图(0.5)

56

单值控制图( 单值控制图(- 0.5) )

57

残差控制图

58

失控过程 单值控制图( 单值控制图(- 0.5) )

残差控制图 ( - 0.5 )

59

残差控制图 (0.5) )

60

调整均值控制图

61

模型
X t ,i = ? t + ε i;ε i ~ N (0, σ ε )
2

? t = ξ + φ ( ? t ?1 ? ξ ) + ηt;ηt ~ N (0, σ η )
2

62

控制界限

UCL = X + A4 s CL = X LCL = X ? A4 s

*

*

1 m * X = ∑ X t ;s = m t =1
*2

1 m 2 ∑(Xt ? X ) m ? 1 t =1
2

ση lim E ( s ) = + = Var ( X t ) 2 m →∞ n 1?φ σε
2
63

64

65

自相关过程的 统计过程控制

66

第1步:收集或利用历史上已积累的过程运 步 作较平稳的一段时间内的数据。 作较平稳的一段时间内的数据。 2步 根据采集该段数据的时间间隔, 第2步:根据采集该段数据的时间间隔,确 定样本容量n和样本间隔 注意: 和样本间隔。 定样本容量n和样本间隔。注意:样本之间 的时间间隔与采集数据的时间间隔之比要 大于20n;样本最好能够选择 到40组。即 大于 ;样本最好能够选择35到 组 从大量的数据中选择出有限的35组到 组到40组 从大量的数据中选择出有限的 组到 组 样本,每组样本的样本容量为n。 样本,每组样本的样本容量为 。
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步整理得到的样本, 第3步:对第 步整理得到的样本,可利用常规控 步 对第2步整理得到的样本 制图中的均值控制图或单值控制图, 制图中的均值控制图或单值控制图,判断过程是 否处于统计控制状态。 否处于统计控制状态。 4步 若过程处于统计控制状态,那么, 第4步:若过程处于统计控制状态,那么,利用观 测得到的大量数据, 测得到的大量数据,来寻找恰当描述平稳过程的 时间序列模型,进而, 时间序列模型,进而,进入保持统计过程控制状 态的阶段。若过程未处于统计控制状态,那么, 态的阶段。若过程未处于统计控制状态,那么, 寻找原因进行调整,重新收集数据,回到第1步 寻找原因进行调整,重新收集数据,回到第 步。

68

The end

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