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高一数学 3.1《直线的倾斜角与斜率》教案 人教A版必修2


课 3.1

题:

直线的倾斜角与斜率

教学内容: 3.1.1 直线倾斜角与斜率 教学目的: 理解和掌握直线的倾斜角和斜率的定义. 掌握经过两点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)的
直线斜率公式.

教学重点: 直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点: 直线

的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学过程: 一、课前复习
本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、 斜率等概念;然后建立直线的方程: 点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以 及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等. 解析几何研究问题的主要方法是坐标法 ,它是解析几何中最基本的研究方法 .坐标法的基 本特点是,首先用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系 ,将几何问题代数化;解决代 数问题,得到结果;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题. 本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中,注意代数方法的使用;在代数方 法的使用过程中,加强与图形的联系. 直线是最基本、最简单的几何图形,能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打 好坚实的基础. 教学中一定要注重由浅及深的学习规律,渗透常用的数学思想方法(数形结合、分类讨论、 类比、推广、特殊化、化归等),体现由特殊到一般的研究方法,化难为易、化抽象为具体.

二、讲解新课
(1)为什么学习解析几何? (2)解析几何的桥梁是坐标系,理论根据是曲线的方程与方程的曲线的概念。 在初中,我们已经学习过一次函数:一次函数 y ? kx ? b ,它的图象是一条直线.对于一 给定函数 y ? kx ? b ,作出它的图象的方法:由于两点确定一条直线,所以在直线上任找两点 即可.这两点就是满足函数式的两对 x, y 值.因此,我们可以得到这样一个结论:一般地,一次 函数 y ? kx ? b 的图象是一条直线: 它是以满足 y ? kx ? b 的每一对 x, y 的值为坐标的点构成 的.由于函数式 y ? kx ? b 也可以看作二元一次方程.所以我们可以说,这个方程的解和直线上 的点也存在这样的对应关系. 直线的方程;方程的直线 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的点的坐标都是 这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线 指出:在平面直角坐标系中研究直线时,就是利用直线与方程的这种关系,建立直线的 方程的概念,并通过方程来研究直线的有关问题.这就是解析几何的思想。 (可举例) 提出问题 经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗?这些直线有 什么联系和区别呢?它们的倾斜程度不同 怎样描述直线的倾斜程度呢?
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王新敞
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-1-

引入新课 知识点 1 直线的倾斜角 直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角 . ... 指出:(1)在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按逆 时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ? , 那么 ? 就叫做直线的倾斜角( . 定义二) 当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为 0° 。根据定义,我们可以得到倾 斜角的取值范围是 0°≤ ? <180° 坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角,而每一个倾斜角都能确定一条直线的方 向.倾斜角直观地(从形的方面)表示了直线对 x 轴正方向的倾斜程度. 知识点 2 直线的斜率 倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示 . 即 k ? tan ? 。
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倾斜角是 90 ? 的直线没有斜率 即 ? ?
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?
2

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, k 不存在。 (斜率是从数的方面刻划直线相对于 x 轴倾

斜程度.) 指出: (1)角的问题(几何)用角的函数(代数)来研究,为什么选择正切?(只涉及 点的坐标,而不涉及距离,很方便。但又有定义域需要讨论的问题,最容易犯错误的地方。 ) (2)倾斜角 ? 和斜率 k 之间的关系: (单调性的充要结论) (3)强调:? ?

?

2

? k 不成在。凡是在研究直线的任何问题时,一定要讨论斜率的存在

与不存在两 种情况。 (4)两个基本类型:已知倾斜角 ? 的值 ? 求斜率 k 的值;已知倾斜角 ? 的范围 ? 求斜 率 k 的范围。 (求范围是难点,强调要画出两个图形,用形数结合的方法处理) 知识点 3 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) 的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 x2 ? x1

( x1 ? x2 )

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分析: (1)只能借助于倾斜角 ? 及 k ? tan ? ,故要讨论。 (2)当 ? ? 是 x1 ? x2 .

?
2

时的代数形式

推导: (用向量的观点)设直线 P 1P 2 的倾斜角是 ? ,斜率是 k ,向量 P 1P 2 的方向是向上 的 ( 如 上 图 所 示 ). 向 量 P 1P 2 的 坐 标 是 ( x2 ? x1 , y 2 ? y1 ) . 过 原 点 作 向 量
y P1 ? O ? x P2 P

OP ? P1 P2 ,则点 P 的坐标是 ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,而且直线 OP 的倾斜角
y ? y1 也 是 ? , 根 据 正 切 函 数 的 定 义 , tan? ? 2 x2 ? x1
( x1 ? x2 ) , 即

y P P2 ? O P1 ? X

-2-

k?

y 2 ? y1 x2 ? x1

( x1 ? x2 )

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同样,当向量 P2 P1 的方向向上时也有同样的结论. 指出: (1)当 ? = 0 时,公式显然成立。当 x1 ? x2 , y1 ? y 2 (即直线和 x 轴垂直)时, 直线的倾斜角 ? = 90 ? ,没有斜率 (即适用范围,公式不包括 ? = 90 ? 的情况,再次强调凡 是在研究直线的任何问题时,一定要讨论斜率的存在与不存在两种情况。 ) (2)斜率公式的形式特点,及斜率公式与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在 公式中的前后次序可同时颠倒; (3)斜率公式表明,直线对于 x 轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点坐标表示,而 不需求出直线的倾斜角; (即求斜率的第二种方法,还有用向量的观点求斜率。通过直线的方 程求斜率,通过直线的位 置关系求斜率,等)
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三、典例解析
例 1 已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角 还是锐角. 解:直线 AB 的斜率 k1=

1 >0,所以它的倾斜角 α 是锐角; 直线 BC 的斜率 k2=-0.5<0,所以 7

它的倾斜角 α 是钝角; 直线 CA 的斜率 k3=1>0,所以它的倾斜角 α 是锐角. 例 2 求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角 ? : ①P 1 (?2,0) 、 P 2 (?5,3) ; ③P 1 (5,?2) 、 P 2 (?2,?2) ; 解:① k ? ②P 1 (?2,3) 、 P 2 (?2,8) ; ④P 1 (?1,2) 、 P 2 (3,?4) ; ⑤P 1 (1,2) 、 P 2 (m,3)

3?0 ? ?1 ,即 tan ? ? ?1 ,? 0? ? ? ? 180?, ?? ? 135 ? 。所以这条 ? 5 ? (?2)

直线的斜是 -1,倾斜角是 135 ?. ② 斜率不存在, ? ? 90? 。 ③ k ? 0 , ? ? 0? 。 ④ k??

3 3 , ? ? ? ? arctan 。 (重点:要画出图形,然后分析出结论,注意反正切函 2 2
1 1 ,α=arctan ;当 m<1 时, m ?1 m ?1

数的主值区间) ⑤ 当 m=1 时,K 不存在, α=90°;当 m>1 时,K= K=

1 , m ?1 1 。 m ?1

α=π+arctan

指出: (1)此题要求学生掌握已知直线上的两点的坐标求斜率的问题。 (2)此题还要求学生掌握已知斜率求倾斜角 ? 的问题,本质是解三角方程。应结合正切
-3-

函数及反正切函数的知识写出斜率在不同取值范围内所对应的倾斜角表达式: ①当 k ? 0 时,? ? arctan k ; ②当 k ? 0 时,? ? 0? ; ③当 k ? 0 时,? ? ? ? arctank
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王新敞
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例 3 (1)已知直线 l 经过 A(2, 1), B(1, m2)两点(m∈R),求直线 l 的倾斜角的取值范围。 (2)已知直线 l 经过 A(cosθ, sin2θ) 和 B(0,1) 两点,求直线 l 的倾斜角的取值范围。 解: (1)因为直线经过A(2, 1), B(1, m2),∴kAB= 1 ] ,∴倾斜角的范围为 [0, ] ? ( , π ) . (2)当 cosθ=0 时,sin2θ=1-cos2θ=1, 此时 A,B 重合. ∴cosθ≠0,∴K=

m2 ?1 =1-m2,又∵m∈R,∴kAB∈(-∞, 1? 2

π 4

π 2

1 ? sin 2 θ =-cosθ 0 ? cos θ

? π ? ?3 ? ∈ ?? 1,0? ? ?0,1? , 因此倾斜角的范围是 ? 0, ? ? ? π , π ? 。 ? 4? ?4 ?
指出:此题是已知斜率的范围求倾斜角 ? 范围的问题,它的本质是解简单的三角不等式。 难点是含参数,要注意对参数的讨论(关键是讨论的基点是什么。 )以及要画出图形,形数结 合的观点解题。 例 4 已知三角形的顶点 A(0,5),B(1,-2), C(-6,m),BC 的中点为 D, 当 AD 斜率为 1 时, 求 m 的值及|AD|的长.

5 m?2 解:D 点的坐标为(- , ),∴kAD= 2 2

m?2 ?5 5 5 2 =1.∴m=7.∴D 点坐标为(- , ). 5 2 2 ? ?0 2

∴|AD|= ( ) ? (5 ? ) ?
2 2

5 2

5 2

5 2 . 2

四、课堂练习
1. 求经过 A(3, m)、B(m2+1, 2)两点的直线的斜率 k 和倾斜角 α. 解: 当 m2+1=3,即 m=± 2 时,斜率 k 不存在,倾斜角 ? ?

?

2 2?m 时,k= 2 ; m ?2 2?m 2?m 当 tanα=k= 2 ≥0,即 m<- 2 或 2 <m≤2 时,α=arctan 2 ; m ?2 m ?2 2?m m?2 当 tanα=k= 2 <0 时,即- 2 <m< 2 或 m>2 时,α=π-arctan 2 . m ?2 m ?2

; 当 m2+1≠3,即 m≠± 2

2. 直线 l 过点 M(0, 2),N(- 3 , 3m2+12m+11),求直线 l 的倾斜角 α 的范围。 解:∵k=

3m 2 ? 12m ? 11? 2 ? 3

? 3 (m2+4m+3)=- 3 (m+2)2+ 3 ≤ 3 。即 tanα∈(-∞,

3 ],

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? , ? ); 2 ? ? ? 当 tanα∈[0, 3 ]时,α∈[0, ]。综上所述,所求直线 l 的倾斜角 α∈[0, ]∪( , π)。 3 3 2 五、备选习题
而(-∞,

3 ] =(-∞, 0)∪[0,

3 ],当 tanα(-∞, 0)时,由 α∈[0, π ) ,得 α∈(

1. 已知 A(1,3 3 ),B(0,2 3 ),求直线 AB 的斜率及倾斜角.

解: kAB=

3 3?2 3 —180° ,∴直线 AB 的倾斜角为 ? 3 ,∵直线倾斜角的取值范围是 0° 1? 0

60° . 2. 已知直线的倾斜角,求直线的斜率: (1)α=0°; (2)α=60°;(3)α=90°. 解:(1)∵tan0° =0,∴倾斜角为 0° 的直线斜率为 0. (2)∵tan60° = 3 ,∴倾斜角为 60° 的直线斜率为 3 . (3)∵tan90° 不存在,∴倾斜角为 90° 的直线斜率不存在. 3. 求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角 α. (1)P1(-2,3),P2(-2,8); (2)P1(5,-2),P2(-2,-2). 解: (1)∵P1P2 与 x 轴垂直,∴直线斜率不存在,倾斜角 α=90° . (2)k=tanα=

? 2 ? ( ?2) =0,∴直线斜率为 0,倾斜角 α=0°. ?2?5

4. 过点 P(-1,-1)的直线 l 与 x 轴和 y 轴分别交于 A、B 两点,若 P 恰为线段 A 的中心,求 直线 l 的斜率和倾斜角. 解:k=-1,倾斜角为

3? . 4

5. 已知点 A(-2,3),B(3,2),过点 P(0,-2)的直线 l 与线段 AB 有公共点,求直线 l 的斜率 k 的取 值范围. 解:(-∞,

4 5 )∪(- ,+∞). 3 2 y?0 ,所以 x=y.可令 x=1, x?0

6. 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为 1,-1,2 及-3 的直线 a,b,c,d. 解:设直线 a 上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有: 1=

则 y=1,于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1),可作直线 a. 同理,可作直线 b,c, d. 7. 求经过点 A(-2,0),B(-5,3)的直线的斜率和倾斜角. 解:kAB=

3?0 =1,即 tanα=-1,又∵0°≤α<180° ,∴α=135°.∴该直线的斜率是-1, ? 5 ? (?2)

倾斜角是 135° . 8. 若三点 A(2,3),B(3,2),C(

1 ,m)共线,求实数 m 的值. 2 2?3 9 m?3 m?3 解:kAB= =-1,kAC= ,∵A、B、C 三点共线,∴kAB=kAC.∴ =-1.∴m= . 1 1 2 3?2 ?2 ?2 2 2
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9. 已知 P(-3,2) ,Q(3,4)及直线 ax+y+3=0.若此直线分别与 PQ 的延长线、QP 的延 长线相交,试分别求出 a 的取值范围. 解:直线 l:ax+y+3=0 是过定点 A(0,-3)的直线系,斜率为参变数-a,

1 7 5 ,kAQ= ,kAP= ? ,k1=-a. 3 3 3 7 1 若 l 与 PQ 延长线相交,由图,可知 kPQ<k1<kAQ,解得- <a<- ; 3 3 7 5 若 l 与 PQ 相交,则 k1>kAQ 或 k1<kAP,解得 a<- 或 a> ; 3 3 1 5 若 l 与 QP 的延长线相交,则 kPQ>k1>kAP,解得- <a< . 3 3 六、教学小结
易知 PQ、AQ、AP、l 的斜率分别为:kPQ=

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