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2012年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题及答案(高一年级) (word版)


2012 年全国高中数学联合竞赛湖北 省预赛试题 (高一年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分 和 0 分两档;解答题的评阅,只要思路合理、步骤正确,在 评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案 写在横线上。 ) 1 . 已 知 集 合 A ? { x | x ? a }, B ? {

x | x ? b }, a , b ? N , 且
A? B?

N ? {1} ,则 a ? b ?



2.已知正项等比数列 { a n } 的公比 q
a1 ? a 4 ? a 7

? 1 ,且 a 2 , a 4 , a 5

成等

差数列,则 a ? a ? a 3 6 9

?

_____.

3.函数

f (x) ? x

x ?1
2

? 4x ? 7

的值域为______.

2 2 4.已知 3 sin ? ? 2 sin ? ? 1 ,

3 (sin ? ? cos ? ) ? 2 (sin ? ? cos ? )
2
1

2

? 1 ,则

cos 2 (? ? ? ) ? _____.

5.已知数列 { a n } 满足: a 1 为正整数,
a n ?1 ?an ? , ? ? 2 ? 3 a n ? 1, ?
?

a n 为偶数 , a n 为奇数 ,

如果 a 1

? a 2 ? a 3 ? 29

,则 a 1



6 . 在 △ ABC 中 , 角

A, B , C

的 对 边 长 a, b, c 满 足

a ? c ? 2 b ,且 C ? 2 A ,则 sin A ? _____.

7. 在△ ABC 中, AB ? BC ? 2 ,AC ? 3 . O 是△ ABC 设 的内心,若 AO
? p AB ? q AC

,则

p q

的值为____.

8.设 x 1 , x 2 , x 3 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的三个根,则
3

x1 ? x 2 ? x 3 的值为 .
5 5 5

二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分)

2

9.已知正项数列 { a n } 满足
a n a n ?1 ? a n a n ? 2 ? 4 a n a n ?1 ? a n ?1 ? 3 a n a n ?1
2



a1 ? 1 , a 2 ? 8 ,求 { a n } 的通项公式.

2 2 10 . 已 知 正 实 数 a , b 满 足 a ? b ? 1 , 且

a ? b ? 1 ? m ( a ? b ? 1) ,求 m 的最小值.
3 3 3

3

11 . 设 f ( x ) ? log 求 a 的取值范围.

a

( x ? 2 a ) ? log

a

( x ? 3a ) , 其 中

a ? 0 且 a ? 1 .若在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上 f ( x ) ? 1 恒成立,

4

2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

一.填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在 横线上。 )
(1)1; ( 2 ) 3? 2 5 ; (3)[0, 6 6 ]; ( 4 ) ? 1 3 ; (5)5; (6 )

7 4

; (7 )

3 2

; (8) ? 5;

二.解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分)

9.解:在已知等式两边同时除以 a n a n ? 1 , 得
1? a n?2 a n ?1 ? 4 1? a n ?1 an ?3


? 1)

所以

1?

an?2 a n ?1

? 1 ? 4( 1 ?

a n ?1 an



----------4 分



bn ?

1?

a n ?1 an

?1

,则 b 1 ? 4 , b n ? 1 ? 4 b n ,

即数列 { b n } 是以 b1 ? 4 为首项,4 为公比的等比数列,
n ?1 n ? 4 . 所以 b n ? b 1 ? 4

--------8 分
a n ? 1 ? [( 4
n

所以

1?

a n ?1 an

?1 ? 4

n

,即

? 1) ? 1] a n .
2

------------12 分
5

于是,当 n ? 1 时,
a n ? [( 4
n ?1

? 1) ? 1] a n ? 1 ? [( 4
2
k ?1 2

n ?1

? 1) ? 1] ? [( 4
2
k ?1 2

n?2

? 1) ? 1] a n ? 2
2

?? ?

? [( 4
k ?1

n ?1

? 1) ? 1] a 1 ?

? [( 4
k ?1

n ?1

? 1) ? 1]



因此,

an

?1, ? n ?1 ? ? k ?1 2 ? [( 4 ? 1) ? 1], ? ? k ?1

n ? 1, n ? 2.

------16 分

10.解 令 a ? cos ? , b ? sin ? , 0 ? ?
m ? cos
3

?

?
2
3

,则
2

? ? sin ? ? 1
3 3

(cos ? ? sin ? ? 1)

?

(cos ? ? sin ? )(cos

2

? ? cos ? sin ? ? sin

?) ?1

(cos ? ? sin ? ? 1)

--5 分

令 x ? cos ? ? sin ? ,则 且 cos ? sin ? ? 于是
x (1 ? m ? x
2

x ?

2 sin( ? ?

?
4

) ? (1,

2],

x

2

?1 2



---------------10 分

?1 2
3

)?1 ?

2 ? 3x ? x 2 ( x ? 1)
3

3

( x ? 1)

?

2? x? x 2 ( x ? 1)

2 2

?

2? x 2 ( x ? 1)

?

3 2 ( x ? 1)

?

1 2

-15 分

因为函数

f (x) ?

3 2 ( x ? 1)

?

1 2

在 (1,

2 ] 上单调递减,

所以 f ( 2 ) ? m ? f (1) . 因此, m 的最小值为
f ( 2) ? 3 2 ?4 2



--------20 分

6

11.解 由
a ? 3 2

f ( x )?

l o g ? a x ?5 a x ( a
2

2

?6

5a ) xl o g ? a 2

a [? ( 4
2

2



)

]

? x ? 2 a ? 0, ? ? x ? 3a ? 0,

得 x ? 3a , 由 题 意 知 a ? 3 ? 3a , 故

, 而
5a 2



( a ? 3) ?
) ?
2

5a 2

?

3 2

(a ? 2) ? 0









g (x) ? (x ?

a

2

4

在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上单调递增.

----------5 分

(1) 若 0 ? a ? 1 ,则 f ( x ) 在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上单 调递减, 所 以
f (x)

在 区 间 [ a ? 3, a ? 4 ] 上 的 最 大 值 为
a

f ( a ? 3 ) ? log

(2a

2

? 9a ? 9) .
f ( x ) ? 1 恒成立,等价于不等

在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上不等式

2 2 式 log a ( 2 a ? 9 a ? 9 ) ? 1 成立,从而 2 a ? 9 a ? 9 ? a ,解得

a ?

5? 2

7



a ?

5? 2

7

. --------10 分

结合 0 ? a ? 1 得 0 ? a ? 1 . (2) 若1 ? a ? 递增,
3 2

,则 f ( x ) 在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上单调

所 以 f ( x ) 在 区 间 [ a ? 3, a ? 4 ] 上 的 最 大 值 为
f ( a ? 4 ) ? log
a

(2a

2

? 12 a ? 16 ) .
7

在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上不等式 f ( x ) ? 1 恒成立, 等价于不等式 log a ( 2 a ? 12 a ? 16 ) ? 1 成立,
2

从而 2 a 解得 易知
13 ?

2

? 12 a ? 16 ? a ,即 2 a
41 ? a ? 13 ? 4 41

2

? 13 a ? 16 ? 0 ,

4

. ---------15 分 ---------------20 分

13 ? 4

41

?

3 2

,所以不符合.

综上可知: a 的取值范围为 (0,1) .

8


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