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必修5 1.4.3球的体积和表面积


球的体积 高等于底面半径的旋转体体积对比 R ? V圆 锥 1 3 ? ?R 3 V半球 ? ? 3 3 V圆 柱 ? ?R 3 猜 测 : V半 球 2 4 3 3 ? ?R , 从 而V ? ?R . 3 3 球的表面积 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来.所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法. 我们把一个半径为R的圆分成若干等分,然后如上图重新 . 拼接起来,把一个圆近似的看成是边长分别是 ?R和R的 矩 形 那么圆的面积就近似等 于?R 2 . 球的体积 当所分份数不断增加时,精确程度就越来越高;当 份数无穷大时,就得到了圆的面积公式. 分割 求近似和 化为准确和 下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式 即先把半球分割成n部分,再求出每一部分的近似体积, 并将这些近似值相加,得出半球的近似体积,最后考虑n变 为无穷大的情形,由半球的近似体积推出准确体积. 球的体积 A A O O C2 B2 r1 ? R ? R, 2 R r2 ? R ? ( )2 , n 2 2R 2 r3 ? R ? ( ) , n 2 A 球的体积 ri O R ( i ? 1) n R O 第i层“小圆片”下底面的 半径: ri ? R R ? [ ( i ? 1)]2 , i ? 1,2?, n. n 2 球的体积 R ri ? R ? [ ( i ? 1)]2 , i ? 1,2, ?, n n 3 R ? R i ?1 2 2 Vi ? ?ri ? ? [1 ? ( ) ], i ? 1,2? , n n n n 2 V半球 ? V1 ? V2 ? ?? Vn 12 ? 2 2 ? ? ? ( n ? 1) 2 ? [n ? ] 2 n n ?R 3 ?R 3 1 ( n ? 1) ? n ? ( 2n ? 1) ? [n ? 2 ? ] n n 6 1 ( n ? 1)(2n ? 1) ? ?R [1 ? 2 ? ] n 6 3 球的体积 V半 球 1 1 (1 ? )(2 ? ) n n ] ? ?R 3 [1 ? 6 1 ? 0. n 当n ? ? 时, 2 ?V半 球 ? ?R 3 3 4 从而 V ? ?R 3 . 3 4 3 定理:半径是 R的 球 的 体 积 为 : V ? ?R 3 球的表面积 球面不能展开成平面图形,所以求球的表面积无法用展开图 求出,如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢? 下面,我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式. 1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似 看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近 于甚至等于球的表面积. 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. 球的表面积 ?S i o o 球的表面积 球面被分割成n个网格,表面积分别为: 第 一 步: 分 割 ?S1,?S2,?S3 ,?, ?Sn O 则球的表面积: S ? ?S1 ? ?S2 ? ?S3 ? ?? ?Sn 设“小锥体”的体积为 ?Vi ?Si O 则球的体积为: V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ?

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