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平面向量基本定理教学设计


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2.3.1
教学目标:

平面向量基本定理
虞玲玲

南京市金陵中学

1.了解平面向量基本定理及其意义; 2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌 握应用向量解决实际问题的重要思想方法; 3.能够在具体问题中适当地选取基底,其他向量能够用基底来表达.

教学重点: 平面向量基本定理. 教学难点: 平面向量基本定理的理解与应用.

教学过程: 一、情境创设 火箭在升空的某一时刻,速度可以分 解成竖直向上和水平向前的两个分速度 v=vx+vy=6i+4j. 二、意义构建 问题 1:已知平面中三个向量 e1,e2,c,求向量 c=___e1+___e2.

e2

c

e1

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→ → → 作 OA =e1, OB =e2, OC =c,过点 C 作平行于 OB 的直线,交直线 OA 于 M;过点 C 作平行于 OA 的直线,交 OB 于 N,则有且只有一对实数?1,??,使 → → 得OM=??1e1, ON =?2e2. → → → 因为 OC =OM+ ON ,所以 c=? e1+??e2.
向量 d=____e1+_____e2

d e1

e1

向量 f=____e1+_____e2

f

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请同学们自己作出一向量 a,并把向量 a 表示成:a=____e1+_____e2

由刚才的几个实例,可以得出结论:如果给定向量 e1, e2,平面内的任一 向量 a,都可以表示成 a=?1e1+?2e2. 问题 2:如果 e1,e2 是平面内任意两向量,那么平面内的任一向量 a 还可以 表示成 a=?1e1+?2e2 的形式吗? 不行,e1,e2 必须是平面内两不共线向量. 平面向量基本定理:如果 e1,e2 是平面内两个不共线的向量,那么对于这一 平面内的任一向量 a,有且只有一对实数?1,?2,使 a =??1e1+??2e2. 我们把不共线向量 e1,e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一个平面向量用一组基底 e1,e2 表示成 a=?1e1+??2e2 的形式,我们称它为 向量的分解.当 e1,e2 互相垂直时,就称为向量的正交分解. 说明: (1)基底不惟一,关键是作为基底的两个向量不共线. (2)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1,e2 的条件下进行分解,基底给 定时,分解形式惟一,即?1,?2 是被 a,e1,e2 惟一确定的数量. 三、数学应用 → 例 1. 如图所示, 平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M,AB =a, → → → → → AD =b,试用基底 a,b 表示MC, MA,MB和MD. → → → → 1→ 分析:利用关系式 AC = AB + AD 和MC=2 AC 来求解. → → → 解: AC = AB + AD =a+b. 因为平行四边形的对角线互相平分,
A D M B C

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1→ 1 1 → 所以 MC = AC = a+ b. 2 2 2 1 1 → → 所以 MA = -MC = -2a-2b, 1→ 1 → → 1 1 → MB= 2 DB = 2( AB - AD)= 2a-2b, 1 1 → → MD = - MB = 2b-2a. → 变式 1:如图所示,?ABD 中,M 是边 BD 的中点,且 AB → → → =a, AD =b,用 a,b 表示AM, MB. 解法一:同例 1.
D M A

B

1 → → → → 1→ → 1 → → 1 解法二: AM= AD +DM= AD +2 DB = AD +2( AB - AD )=2a+2b, 1 → 1→ 1 → → 1 MB=2 DB =2( AB - AD )=2a-2b. 解法三:过 M 作 ME∥AB 交 AD 于 E,过 M 作 MF∥AD 交 AB 于 F,则四 边形 AFME 为平行四边形, 1 → → → 1 AM= AF + AE =2a+2b, 1 → 1→ 1 → → 1 MB=2 DB =2( AB - AD )=2a-2b. 四、课堂小结 平面向量基本定理, 其实质在于:同一平面内任一向量都可以表示为两个不 共线向量 e1,e2 的线性组合,且 e1,e2 是这一平面内所有向量的一组基底. 五、作业 课本 P76 练习 4.


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