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高考中如何解答好离散型随机变量分布列问题


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高考中如何解答好离散型随机变量分布列问题
------- 阳 钊

中只有两个结果的无限次试验,因而在二项分布中变量的取值是从 0 到 n,而在几何分布中变 量取值是从 1 开始的非零自然数,当然我们还可以通过“恰好” 、 “第一次” 、 “首次”这些字 眼上加以区分二项分布和几何分布。 三、求解相应的概率不容忽略细节 分布列的求解,其关键在于对响应取值时概率的计算,而往往可能因为忽略其细节,致 使概率求解出错。如(05 全国)甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲 队胜乙队的概率 0.6。本场比采取五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束,设各局比赛 相互之间没有影响,今令ξ 为本场比赛的局数,求ξ 的分布列和数学期望(精确到 0.0001) 显然对于ξ 的取值应为 3、4、5 三个,而在当ξ 取 4 时相应概率计算可能会忽略甲取胜或乙 取胜 无论甲胜还是乙胜、4 场比赛中第 4 场一定要胜,可能甲,也可能乙胜因而概率的计算 。

离散型随机变量分布列自从实行新的课程改革以来,一直受到高考命题者的青睐,成为 继二面角之后高考的又一个热点,因此如何解答好离散型随机变量分布列问题,便成为决胜 高考的一个重要指标。本文想从三个方面谈起,以利于帮助学生很好的解决离散型随机变量 分布列的问题。 一.正确理离散型随机变量的含义 离散型随机变量分布列其主要构成包含两方面的内容,一是随机变量的可能取值,二是 取该值时对应的概率值。正确理解离散型随机变量的含义,为我们求解相应的概率奠定了基 础。例如(06 全国Ⅱ)某批产品成箱包装,每箱 5 件.一用户在购进该批产品前先取出 3 箱, 再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件 二等品,其余为一等品. (Ⅰ)用ξ 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数,求ξ 的分布列及ξ 的数学期望; (Ⅱ)若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这 批产品级用户拒绝的概率. 第一问中明确指出ξ 是在抽检过程中 6 件产品中二等品的个数,不难发现ξ 的取值为 0, 1,2,3。但这里的ξ 取 0 是指在第一箱、第二箱、第三箱中分别取到 2 件二等品;ξ 取 1 是 指在第一箱、第三箱中分别取 2 件一等品同时在第二箱中取 1 件一等品 1 件二等品或在第三 箱中取 1 件一等品 1 件二等品同时在第一箱、第二箱中各取 2 件一等品;ξ 取 2 是指在第一 箱中取 2 件一等品同时在第二箱、第三箱中各取 1 件一等品 1 件二等品或在第一箱、第二箱 中各取 2 件一等品同时在第三箱中取到 2 件二等品;ξ 取 3 是指在第一箱取 2 件一等品,在 第二箱中取 1 件一等品 1 件二等品同时在第三箱中取 2 件二等品。而不是在包含 3 件二等品 的 15 件产品中抽取 6 件产品时含 0 件、1 件、2 件、3 件二等品这种情形。 二、分清概率分布类型,正确理解二项分布与几何分布 分布列的求解中一要重视抽取中有无放回,二要正确理解二项分布与几何分布,找出它 们的异同。它们的共同特点是每次观察中出现的概率相等,且都为独立重复试验,不同点是 二项分布所考虑的试验是一个只有两个结果的有限次试验,而几何分布中是一个在依次试验

过程中前三场中甲恰好胜两场或乙恰好胜两场

总之对离散型随机变量分布列问题的求解,方法可能多种多样,但我们必须认真阅读 ,抓 住要害,准确把握随机变量的含义,分清所属类型、解答中不忽略细节,才可能在分布列求 解问题中获胜,为高考取胜增加比重。

例题精选
1. 一个口袋中装有大小相同的 2 个红球,3 个黑球和 4 个白球,从口袋中一次摸出一个球, 摸出的球不再放回.(Ⅰ)连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率; (Ⅱ) 如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过 3 次的概率.
1 1 【解析】 (Ⅰ) 从袋中依次摸出 2 个球共有 A92 种结果, 第一次摸出黑球、 第二次摸出白球有 A3 A4

种结果,则所求概率 P 1 ?

1 1 A3 A4 1 3 4 1 ? (或P ? ? ). 1 ? 2 A9 6 9 8 6

1 1 1 A7 A A2 (Ⅱ)第一次摸出红球的概率为 1 ,第二次摸出红球的概率为 2 2 ,第三次摸出红球的概率 A9 A9 2 1 A7 A2 ,则摸球次数不超过 3 次的概率为 3 A9 1 1 2 1 1 A7 A2 A7 A2 7 2 7 2 7 6 2 7 A2 . ? ? ? .或 P= ? ? ? ? ? ? 1 2 3 9 9 8 9 8 7 12 A9 A9 A9 12



P2 ?

3 2. 甲、 乙两人参加某种选拔测试. 在备选的 10 道题中, 甲答对其中每道题的概率都是 , 5 乙能答对其中的 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试,答对一 题加 10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,至少得 15 分才能入选. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率. 【解析】 (Ⅰ)设乙答题所得分数为 X ,则 X 的可能取值为 ?15, 0,15,30 .

注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算,列出分布列后即可计算数学期望. 【解析】 (1) Ai 表示事件“甲选择路径 L i 时,40 分钟内赶到火车站” , Bi 表示事件“甲选择 路径 L i 时,50 分钟内赶到火车站” ,i ?1, 2 . 用频率估计相应的概率,则有: P( A1 ) ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.6 , P( A2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.5 ∵ P( A1 ) ? P( A2 ) ,∴甲应选择路径 L 1 ;

P( X ? ?15) ?

C 1 ? ; C 12

CC 5 P( X ? 15) ? ? ; C 12 乙得分的分布列如下: ?15 X 1 P 12
EX ?

3 5 3 10 1 2 5 5 3 10

P( X ? 0) ?

CC 5 ? ; 3 C10 12

2 5

1 5

C3 1 P( X ? 30) ? 35 ? . C10 12
0 5 12
15 5 12 30 1 12

P( B1) ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.8 , P( B2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.9 ;
∵ P( B2 ) ? P( B1 ) ,∴乙应选择路径 L 2 . (2)用 A,B 分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(1) 知 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.9 ,又事件 A,B 相互独立, X 的取值是 0,1,2, ∴ P( X ? 0) ? P( AB) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 ? 0.1 ? 0.04 ,
P( X ? 1) ? P( AB ? AB) ? P( A)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.4 ? 0.9 ? 0.6 ? 0.1 ? 0.42
P( X ? 2) ? P( AB) ? P( A) ? P( B) ? 0.6 ? 0.9 ? 0.54 ,

1 5 5 1 15 ? (?15) ? ? 0 ? ? 15 ? ? 30 ? . 12 12 12 12 2 (Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选,记甲入选为事件 A ,乙入选为事件 B . 3 81 5 1 1 2 3 2 2 ( ) ( ) ? ( )3 ? 则 P( A) ? C3 , P( B) ? ? ? . 5 5 5 125 12 12 2 44 1 103 ? ? 故甲乙两人至少有一人入选的概率 P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? . 125 2 125

3. (2011 陕西高考理 20 题)如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2 ,据统计,通过两条 路径所用的时间互不影响,所用时间落在个时间段内的频率如下表: 时间(分钟) 10 ~ 20 20 ~ 30 30 ~ 40 40 ~ 50 50 ~ 60

∴X 的分布列为
X

0

1

2

P ∴ EX ? 0 ? 0.04 ? 1? 0.42 ? 2 ? 0.54 ? 1.5 .

0.04 0.42 0.54

L1 的频率 L2 的频率

0.1

0.2

0.3

0.2

0.2

4. 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数 分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

0

0.1

0.4

0.4

0.1

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案, 求 X 的分布列和数学期望 . 【分析】 (1)会用频率估计概率,然后把问题转化为互斥 事件的概率; (2)首先确定 X 的取值,然后确定有关概率, 从第一个顾客开始办理业务时计时. (Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (Ⅱ) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望.

【解析】设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,的 Y 的分布如下: Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01; P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 2) ? 0.49 ;

(1) A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务” ,则时间 A 对应三种情形: ① 一个谷歌办理业务所需时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟; ② 第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分 钟; ③ 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟。 所以 P( A) ? P(Y ? 1) P(Y ? 3) ? P(Y ? 3) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) P(Y ? 2)
? 0.1? 0.3 ? 0.3 ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.22

所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

EX ? 0 ? 0.5 ? 1 ? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51 。

5.(2013 年高考陕西卷(理) )在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手, 其 中观众甲是 1 号歌手的歌迷, 他必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙 和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望. 【解析】解:(Ⅰ) 设事件 A 表示:观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手.
2 3 ,观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1 - . 3 5

(2)解法一:X 所有可能的取值为:0,1,2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5 ;X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个 顾客办理业务所需时间超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟,所以
P( X ? 1) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2)

观众甲选中 3 号歌手的概率为 所以 P(A) =

0.1 ? 0.9 ? 0.4 ? 0.49 ;

2 3 4 ( ? 1- ) ? . 3 5 15 4 15

因此,观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 (Ⅱ)

X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,所以
P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01;

X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则 X 可取 0,1,2,3.
2 3 ,观众乙选中 3 号歌手的概率为 . 3 5

观众甲选中 3 号歌手的概率为 所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

2 3 4 当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时,这时 X=0,P(X = 0) = (1 ? ) ? (1 ? ) 2 ? . 3 5 75

当观众甲、乙、丙中只有 1 人选中 3 号歌手时,这时 X=1,P(X = 1) =
2 3 2 3 3 2 3 3 8 ? 6 ? 6 20 . ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? 3 5 3 5 5 3 5 5 75 75

EX ? 0 ? 0.5 ? 1 ? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51 .

解法二:X 所有可能的取值为 0,1,2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,所以
P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5 ;

当观众甲、乙、丙中只有 2 人选中 3 号歌手时,这时 X=2,P(X = 2) =
2 3 3 2 3 3 2 3 3 12 ? 9 ? 12 33 . ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? ? (1 ? ) ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 75

当观众甲、乙、丙均选中 3 号歌手时,这时 X=3,P(X =3) = X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,所以

2 3 2 18 . ?( ) ? 3 5 75

X 的分布列如下表: X
P 0
4 75

与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 4 个的格点有 3 个,坐标分别为(1,1), (1,2), 1
20 75

2
33 75

3
18 75

(2,1). 所以P(Y ? 42) ? 如下表所示: X Y 频数 概率 P

3 15

4 20 33 18 20 ? 66 ? 54 28 28 所以,数学期望 EX ? EX ? 0 ? ? 1 ? ? 2? ? 3? ? ? 75 75 75 75 75 15 15

1 51 2
2 15

2 48 4

3 45 6

4 42 3
3 15

6.(2013 年高考湖南卷(理) )某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个 格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经 验,一株该种作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示: X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

4 6 15 15 2 4 6 3 102 ? 192 ? 270 ? 126 690 E (Y ) ? 51 ? ? 48 ? ? 45 ? ? 42 ? ? ? ? 46 15 15 15 15 15 15
? E (Y ) ? 46 .

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰 好 “相近”的概率; (II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学 期望. 【解析】 (Ⅰ) 由图知,三角形边界共有 12 个格点,内部共有 3 个格点. 从三角形上顶 点按逆时针方向开始,分别有 0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1 对格点,共 8 对格点恰好“相近”. 所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率
P? 8 2 ? 12 ? 3 9

7. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理) )某商场举行的“三色球”购物摸奖 活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装 有个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出个球,根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三 等奖如下: 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 摸出红.蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 获奖金额 200 元 50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E ? X ? . 【解析】设 Ai 表示摸到 i 个红球,Bj 表示摸到 j 个蓝球, 则 Ai(i=0,1,2,3)与 Bj(j=0,1)独立. (1)恰好摸到 1 个红球的概率为 C1 C2 18 P(A1)= 3 3 4 ? . C7 35 (2)X 的所有可能值为 0,10,50,200,且 C3 1 3 1 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)= 3 , ? ? C7 3 105

(Ⅱ)三角形共有 15 个格点. 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 1 个的格点有 2 个,坐标分别为(4,0),(0,4).
所以P(Y ? 51) ? 4 15 4 15 6 15

与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 2 个的格点有 4 个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1). 所以P(Y ? 48) ?

与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 3 个的格点有 6 个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0), (0,1,) ,(0,2),(0,3,). 所以P(Y ? 45) ?

P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)= P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)= P(X=0)= 1 ?

C3 2 3 2 , ? ? 3 C7 3 105 C C 1 12 4 ? ? ? , 3 C7 3 105 35
2 3 1 4

?
P

1
a a?b?c

2
b a?b?c

3
c a?b?c

1 2 4 6 ? ? ? . 105 105 35 7 综上知 X 的分布列为 X 0 10 50 200 6 4 2 1 P 7 105 105 35 6 4 2 1 从而有 E(X)=0× +10× +50× +200× =4(元). 7 105 105 35

5 a 2b 3c ? E? ? ? ? ? ? ? 3 a?b?c a?b?c a?b?c 所 以 : ? , 所 以 a 5 2 2b 5 2 3c ? D? ? 5 ? (1 ? 5 ) 2 ? ? (2 ? ) ? ? (3 ? ) ? ? 9 3 a?b?c 3 a?b?c 3 a?b?c ?
b ? 2c, a ? 3c ? a : b : c ? 3 : 2 : 1.

8. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理) ) 设袋子中装有 a 个红球, b 个黄球, c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球 2 分,取出蓝球得 3 分. (1) 当 a ? 3, b ? 2, c ? 1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机 变量 ? 为取出此 2 球所得分数之和,.求 ? 分布列; (2) 从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量? 为取出此球所得分数.
5 5 若 E? ? , D? ? ,求 a : b : c. 3 9

3? 3 1 ? ; 6?6 4 2 ? 2 3 ?1 1? 3 5 当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时 ? ? 4 ,此时 P(? ? 4) ? ? ? ? ; 6 ? 6 6 ? 6 6 ? 6 18 3? 2 2 ? 3 1 当两次摸到的球分别是红黄,黄红时 ? ? 3 ,此时 P(? ? 3) ? ? ? ; 6?6 6?6 3 1? 2 2 ?1 1 当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时 ? ? 5 ,此时 P(? ? 5) ? ? ? ; 6?6 6?6 9 1?1 1 当两次摸到的球分别是蓝蓝时 ? ? 6 ,此时 P(? ? 6) ? ; ? 6 ? 6 36

【解析】(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时 ? ? 2 ,此时 P(? ? 2) ?

所以 ? 的分布列是:

?
P

2
1 4

3
1 3

4
5 18

5
1 9

6
1 36

(Ⅱ)由已知得到:? 有三种取值即 1,2,3,所以? 的分布列是:


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