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“点差法”韦达定理在解析几何题中的应用


“点差法”在解析几何题中的应用
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法: 设弦的两个端点坐标分别为 ? x1 , y 1 ? 、 x 2 , y 2 ? ,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中 ? 点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法” ,此法有着不可忽 视的作用,其特点是巧代斜率.本文列举数例,以供参考. 1 求弦

中点的轨迹方程 例1 已知椭圆
x
2

? y

2

? 1 ,求斜率为 2

的平行弦中点的轨迹方程.

2

例2
AB

直线 l : a x ?

y ? ? a ? 5? ? 0 ( a

是参数)与抛物线 .

f : y ?

? x ? 1 ? 的相交弦是
2

,则弦 A B 的中点轨迹方程是

2

求曲线方程 例3 已知 ? A B C 的三个顶点都在抛物线 y 2
? 32 x

上,其中 A ? 2, 8 ? ,且 ? A B C 的

重心 G 是抛物线的焦点,求直线 B C 的方程.

例4

已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1?a ? b ? 0 ? a ? c
2

, 有一条倾斜角为

?
4

的直线交椭圆于

A、 B

两点,若 A B 的中点为 C

? 1 1? ? ? , ? ,求椭圆方程. ? 2 4?

3

确定参数的范围 例6 若抛物线 C
: y
2

? x

上存在不同的两点关于直线 l :

y ? m ? x ? 3 ? 对称,求实数

m

的取值范围. .

1

4

证明定值问题 例7 已知 A B 是椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1?a ? b ? 0 ?

不垂直于 x 轴的任意一条弦, P 是

AB

的中点, O 为椭圆的中心.求证:直线 A B 和直线 O P 的斜率之积是定值.

. 5 处理存在性问题 例8 已知双曲线 x 2
? 1 2 y
2

? 1 ,过 B ? 1,1

? 能否作直线 l ,使 l 与双曲线交于 P ,Q

两点,且 B 是线段 P Q 的中点,这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存在,说 明理由.

点差法练习
1、已知双曲线 x ?
2

y

2

2

? 1 ,过点 B (1,1) 能否作出直线 m ,使 m 与所给双曲线交于 Q 1 ,

Q 2 且点 B 为线段 Q 1 Q 2 的中点?若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由。

2、已知直线 y ? a x ? 1 和双曲线 3 x ? y ? 1 交于 A , B 两点,是否存在实数 a ,使 A , B 两点关于
2 2

直线 y ? 2 x 对称?

3、已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) , A , B 是椭圆上的两点,线段 A B 的垂直平分线与 x 轴相交

于点 P ( x 0 , 0 ) ,求证: ?

a ?b
2

2

a

? x0 ?

a ?b
2

2

a
2

4、已知椭圆

x

2

?

y

2

? 1 ,直线 l : y ? 4 x ? m ,如果椭圆 C 上总存在两点关于直线 l 对称,求 m

4

3

的取值范围。

二.直线与二次曲线(韦达定理)
例 1、已知圆 x ? y ? x ? 6 m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P , Q 两点, O 为坐标原点,若
2 2

O P ? O Q 求 m 的值。

例 2、设直线 l 方程为 y ? kx ? 1 ,等轴双曲线 C : x ? y ? a ( a ? 0 ) 的中心在原点,右焦
2 2 2

点坐标为 ( 2 , 0 ) (1)求双曲线方程; (2)设直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点 A , B ,记 A B 中点为 M ,求 k 的取值范围, 并用 k 表示点 M 的坐标; (3)在第二小问的条件下,若设点 Q ( ? 1, 0 ) ,求直线 Q M 在 y 轴上截距的取值范围

例 3、已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 且短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,且 a ?

2

(1)求椭圆方程 (2)直线 l 过点 P (0 , 2 ) 且与椭圆相交于 A , B 两点,当 ? A O B 面积取得最大值 时,求直线 l 方程。

例 4、 直线 l : y ? kx ?

2 与双曲线 C

x

2

? y

2

3

? 1 . 恒有两个不同的交点 A 和 B, OA ? OB ? 2 且 (其

中 O 为原点). 求 k 的取值范围.

3


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