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高中数学知识点总结


高中数学第七章-直线和圆的方程
考试内容: 直线的倾斜角和斜率,直线方程的点斜式和两点式.直线方程的一般式. 两条直线平行与垂直的条件.两条直线的交角.点到直线的距离. 用二元一次不等式表示平面区域.简单的线性规划问题. 曲线与方程的概念.由已知条件列出曲线方程. 圆的标准方程和一般方程.圆的参数方程. 考试要求: (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的

斜率公式,掌握直线方程的点 斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程. (2)掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系. (3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义,并会简单的应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法. (6)掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念。理解圆的参数方程.

§ 直线和圆的方程 知识要点 07.
一、直线方程. 1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜 角,其中直线与 x 轴平行或重合时,其倾斜角为 0,故直线倾斜角的范围是
0 ? ? ? ? 180? (0 ? ? ? ? ) .

注:①当 ? ? 90? 或 x 2 ? x 1 时,直线 l 垂直于 x 轴,它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都 有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地, 当直线经过两点 (a,0), (0, b) , 即直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a, b(a ? 0, b ? 0) 时, 直线方程是: 注:若 y??
y??
x y ? ? 1. a b

2 2 x?2 是 一 直 线 的 方 程 , 则 这 条 直 线 的 方 程 是 y ? ? x?2 , 但 若 3 3

2 x ? 2( x ? 0) 则不是这条线. 3 附:直线系:对于直线的斜截式方程 y ? kx ? b ,当 k, b 均为确定的数值时,它表示一条确定

的直线,如果 k, b 变化时,对应的直线也会变化.①当 b 为定植, k 变化时,它们表示过定点 (0, b )的直线束.②当 k 为定值, b 变化时,它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行: l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 两条直线平行的条件是:① l 1 和 l 2 是两条不重合的直线. ②在 l 1 和 l 2 的斜率 都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的 错误. (一般的结论是:对于两条直线 l 1 ,l 2 ,它们在 y 轴上的纵截距是 b1 ,b 2 ,则 l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 ,
1

且 b 1 ?b 2 或 l 1 ,l 2 的斜率均不存在,即 A1 B 2 ? B 1 A 2 是平行的必要不充分条件,且 C 1 ?C 2 ) 推论:如果两条直线 l 1 ,l 2 的倾斜角为 ? 1,? 2 则 l 1 ∥ l 2 ?? 1?? 2 . ⑵两条直线垂直: 两条直线垂直的条件:①设两条直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,则有 l 1 ?l 2 ?k 1k 2 ? ?1 这 里的前提是 l 1 ,l 2 的斜率都存在. ② l 1 ?l 2 ?k 1? 0 , l 2 的斜率不存在或 k 2 ? 0 , l 1 的斜率不 且 且 存在. (即 A1 B 2 ? A 2 B 1 ? 0 是垂直的充要条件) 4. 直线的交角: ⑴直线 l 1 到 l 2 的角(方向角);直线 l 1 到 l 2 的角,是指直线 l 1 绕交点依逆时针方向旋转到 与 l 2 重合时所转动的角 ? ,它的范围是 (0, ? ) ,当 ? ? 90? 时 tan ? ?
k 2 ?k 1 . 1 ? k 1k 2

⑵两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角:两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角,是指由 l 1 与 l 2 相交所成的四
? ?? 个角中最小的正角 ? ,又称为 l 1 和 l 2 所成的角,它的取值范围是 ? 0, ? ,当 ? ? 90? ,则有 ? 2 ? ?

tan ? ?

k 2 ?k 1 . 1 ? k 1k 2
?l 1 : A1 x ? B 1 y ?C 1 ? 0 的交点的直线系方程 A1 x ? B1 y ?C 1 ?? ( A 2 x ? B 2 y ?C 2 ) ? 0(? ?l 2 : A 2 x ? B 2 y ?C 2 ? 0

5. 过两直线 ?

为参数, A 2 x ? B 2 y ?C 2 ? 0 不包括在内) 6. 点到直线的距离: ⑴点到直线的距离公式:设点 P( x 0 , y 0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0, P 到 l 的距离为 d ,则有
d? Ax 0 ? By 0 ?C A2 ?B 2

.

注: 1. 两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式: | P1 P2 |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 . 特例:点 P(x,y)到原点 O 的距离: | OP |? 2.

x2 ? y 2
??? ? ????

定 比 分 点 坐 标 分 式 。 若 点 P(x,y) 分 有 向 线 段 PP2所成的比为?即PP ? ? PP2 , 其 中 1 1 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则

x1 ? ?x2 y ? ?y 2 ,y ? 1 1? ? 1? ? 特例,中点坐标公式;重要结论,三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角(0°≤ ? <180°)、斜率: k ? tan ? x?
4. 过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 )的直线的斜率公式: ? k 1

y 2 ? y1 . x2 ? x1

( x1 ? x2 )

当 x1

? x2 , y1 ? y 2 (即直线和 x 轴垂直)时,直线的倾斜角 ? = 90 ? ,没有斜率

新疆 学案

王新敞

⑵两条平行线间的距离公式:设两条平行直线 l 1 : Ax ? By ?C 1 ? 0,l 2 : Ax ? By ?C 2 ? 0(C 1 ?C 2 ) ,
2

它们之间的距离为 d ,则有 d ?

C 1 ?C 2 A2 ?B 2

.

注;直线系方程
1. 与直线:Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是:Ax+By+m=0.( m?R, C≠m). 2. 与直线:Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是:Bx-Ay+m=0.( m?R) 3. 过定点(x1,y1)的直线系方程是: A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0) 注:

4. 过直线 l1、l2 交点的直线系方程:(A1x+B1y+C1)+λ( A2x+B2y+C2)=0 (λ?R) 该直线系不含 l2.

7. 关于点对称和关于某直线对称: ⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等. ⑵关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称 直线距离相等. 若两条直线不平行, 则对称直线必过两条直线的交点, 且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①),过两对 称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点. 注:①曲线、直线关于一直线( y ? ? x ? b )对称的解法:y 换 x,x 换 y. 例:曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x–2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x –2)=0. ②曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a – x, 2b – y)=0. 二、圆的方程. 1. ⑴曲线与方程:在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的 与一个二元方程 f ( x, y) ? 0 的实数 建立了如下关系: ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形). ⑵曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点 M ( x, y ) 其坐标与方程 f ( x, y) ? 0 的一种关系, 曲线上任一点 ( x, y ) 是方程 f ( x, y) ? 0 的解;反过来,满足方程 f ( x, y) ? 0 的解所对应的点是 曲线上的点. 注:如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0,那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程:以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x 2 ? y 2 ?r 2 . 注:特殊圆的方程:①与 x 轴相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?b 2 ②与 y 轴相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?a 2 ③与 x 轴 y 轴都相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? a) 2 ?a 2 3. 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
3

[r ? b , 圆心(a, b)或(a,?b)]

[r ? a , 圆心(a, b)或(?a, b)]

[r ? a , 圆心(?a,?a)]

当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个圆,其中圆心 C ? ? 当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个点 ? ?
? D E? ,? ? . 2? ? 2

? D E? ,? ? ,半径 r ? 2? ? 2

D 2 ? E 2 ?4 F . 2

当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程无图形(称虚圆). ? x ? a ? r cos? 注:①圆的参数方程: ? ( ? 为参数). ? y ? b ? r sin? ② 方 程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 : B ? 0 且 A ? C ? 0 且
D 2 ? E 2 ?4 AF ? 0 .

③圆的直径或方程: 已知 A( x1 , y 1 ) B( x 2 , y 2 ) ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) ? 0 (用向量可征) . 4. 点和圆的位置关系:给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ① M 在圆 C 内 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ② M 在圆 C 上 ? x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ( ③ M 在圆 C 外 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 5. 直线和圆的位置关系: 设圆圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 (r ? 0) ; 圆心 C (a, b) 到直线 l 的距离 d ? ① d ? r 时, l 与 C 相切;
? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E 1 y ? F 1? 0 ? 附:若两圆相切,则 ? ? 相减为公切线方程. ?x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0 ?
Aa ? Bb ? C A2 ?B 2

直线 l : Ax ? By ? C ? 0( A 2 ? B 2 ? 0) ;

.

② d ? r 时, l 与 C 相交; 附:公共弦方程: 设

C1:x 2 ? y 2 ? D1x ? E1y ? F 1? 0

C 2 :x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0 有两个交点,则其公共弦方程为 ( D1 ? D 2 ) x ? ( E 1 ? E 2 ) y ? ( F 1? F 2 ) ? 0 .

③ d ? r 时, l 与 C 相离.
? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E 1 y ? F 1? 0 ? 附:若两圆相离,则 ? ? 相减为圆心 O 1 O 2 的连线的中与线方程. ?x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0 ?
?( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 ? 由代数特征判断:方程组 ? 用代入法,得关于 x (或 y )的一元二次方 ? Ax ? Bx ? C ? 0 ?

程,其判别式为 ? ,则: ? ? 0 ? l 与 C 相切; ? ? 0 ? l 与 C 相交;
4

? ? 0 ? l 与 C 相离.

注:若两圆为同心圆则 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E 1y ? F 1? 0 , x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0 相减,不表示直 线. 5. 圆的切线方程:
2 2 2 2 k 6. 圆 x ? y ?r 的斜率为 的切线方程是 y ? kx ? 1?k r





x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0







P( x 0 , y 0 )





线



程 为



x0 x ? y0y ? D

x ?x 0 y ?y0 ?E ?F ? 0. 2 2

①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上, 则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地, 过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上 一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 .
? y 1 ? y 0 ? k ( x1 ? x 0 ) ? b ? y 1 ?k (a ? x 1 ) ,联立求出 k ? 切线方程. B ②若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则 ? ?R ? R 2 ?1 ?

A

C D (a,b)

7. 求切点弦方程:方法是构造图,则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图:ABCD 四类 共 圆 . 已 知 ?O 的 方 程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 …① 又 以 ABCD 为 圆 为 方 程 为
( x ? x A )( x ? a) ? ( y ? y A )( x ? b) ?k 2 …②

R2?

( x A ?a) 2 ?( y A ?b) 2 …③,所以 BC 的方程即③代②,①②相切即为所求. 4

三、曲线和方程 1.曲线与方程:在直角坐标系中,如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: 1) 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解(纯粹性); 2) 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上(完备性)。则称方程 f(x,y)=0 为曲线 C 的 方程,曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。 2.求曲线方程的方法:. 1)直接法:建系设点,列式表标,简化检验; 2)参数法; 3)定义法, 4)待定系 数法.

5


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