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四川省成都七中2014届高三“一诊”模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


成都七中高 2014 届一诊模拟数学试卷(文科)
考试时间:120 分钟总分:150 分 命题人:张世永刘在廷审题人:巢中俊
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. ) 1.已知集合 A ? ??1, 0, a? , B ? ? x | 0 ? x ? 1? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是

() A ?1? 2.复数 i ? ( A -2 3.定义行列式运算:
a1 a3

B (??, 0)

C (1, ?? ) ) C0
? a1a4 ? a2 a3 , 将函数 f ( x) ?
3 1

D (0,1)

1? i ) 的虚部为( 1? i
B -1 a2
a4

D1
cos x sinx

的图象向左平移 m

个单位 (m ? 0) ,若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是() 2? ? ? 5 A B C D ? 3 3 8 6 4.阅读下边的程序框图,若输出 S 的值为-14,则判断框内可填写( A.i<6 ? B.i<8 ? C.i<5 ? D.i<7 ? 5.在平面直角坐标系中,若角 ? 的顶点在坐标原点,始边 在 x 轴的非负半轴上,终边经过点 P (3a , ?4a ) (其中 a ? 0 ) 则 sin ? ? cos ? 的值为( A? ) C
x x



1 5

B?

4 5

3 5

D

1 5

6.已知命题 p : ?x ? ( ??, 0), 3 ? 4 ; 命题 q : ?x ? (0, ??), x ? sin x 则下列命题中真命题是( ) A p?q B p ? (?q ) C

p ? (?q)

D (?p) ? q

7. 已知正项等比数列 {a n } 满足 a7 ? a6 ? 2 a5 。若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则

1 9 ? 的最小值为( m n
A

)

8 3

B

11 4

C

14 5

D

17 6

8.平面四边形 ABCD 中,AD=AB= 2 ,CD=CB= 5 ,且 AD ? AB ,现将 ?ABD 沿着对角 线 BD 翻折成 ?A BD ,则在 ?A BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中,直线 A/ C 与平面
/ /

BCD 所成的最大角的正切值为(
A1 B

) C

1 2

3 3
/

D

3
/

9.已知 f ( x) 、 g ( x) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0 , f ( x ) g( x ) ? f ( x ) g ( x ) ? 0 ,

f ( x) 5 f (1) f (?1) 5 ? ax, ? ? ,则关于 x 的方程 abx 2 ? 2 x ? ? 0(b ? (0,1)) 有两个 g( x ) 2 g (1) g (?1) 2
不同实根的概率为() A

1 5

B

2 5

C

3 5

D

4 5

10.已知 f ( x ) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,当 x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。当 x ? [0,1] 时, 2 f ( ) ? f ( x ), 且 f ( x ) 图象关于点 ( , ) ,则 f (

x 5

1 1 2 2
C

1 )?( 15

)

A

1 4

B

1 2

1 3

D

1 5
3

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。 ) 11. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为___________ cm 12.若 sin(

? 1 2? ? ? ) ? ,则 cos( ? 2? ) ? ___________ 6 3 3

13.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱长为 1,点 M 是 BC 1 的 中点, P 是 BB1 一动点,则 ( AP ? MP ) 的最小值为______________
2

14.已知偶函数 f ( x ) 满足对任意 x ? R , 均有 f (1 ? x ) ? f (3 ? x ) 且 f ( x ) ? ?

? m (1 ? x 2 ), x ? [0,1] ? x ? 1, x ? (1, 2]

,若

方程 3 f ( x ) ? x 恰有 5 个实数解,则实数 m 的取值范围是______; 15.已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , AC 1 与 平面 A1 BD , CB1 D1 交于 E , F 两点。给出以下命题, 其中真命题有________(写出所有正确命题的序号) ①点 E , F 为线段 AC 1 的两个三等分点;

D1 A1 D A E F B1 C B

C1

② ED1 ? ?

???? ?

? 1 ???? ? 2 ???? 1 ??? DC ? AD ? AA1 ; 3 3 3

③设 A1 D1 中点为 M , CD 的中点为 N ,则 直线 MN 与面 A1 DB 有一个交点; ④ E 为 ?A1 BD 的内心; ⑤若 ?A1 AD ? ?A1 AB ? ?BAD ? 60 , 且AA1 ? AB ? AD ? 1 ,
0

则三棱锥 A1 ? ABD 为正三棱锥,且 | AC1 |?

6.

三.解答题(16-19 每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤.) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 16. 已知 O 为坐标原点, OA ? (2sin 2 x,1), OB ? (1, ?2 3 sin x cos x ? 1) , f ( x) ? OA ? OB ? m . (Ⅰ)若 f ( x) 的定义域为 [ ?

?
2

, ? ] ,求 y ? f ( x) 的单调递增区间;

(Ⅱ)若 f ( x) 的定义域为 [ , ? ] ,值域为 [2,5] ,求 m 的值. 2

?

17.甲乙两人拿两颗骰子做投掷游戏,规则如下:若掷出的点数之和为 3 的倍数,原掷骰子 的人再继续掷,否则,由对方接着掷。第一次由甲开始掷。 (1)分别求第二次、第三次由甲掷的概率; (2)求前 4 次抛掷中甲恰好掷两次的概率.

18.如图四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, PG ? 平面 ABCD ,垂足为 G , 1 G 在 AD 上且 AG ? GD , BG ? GC ,GB ? GC ? 2 , E 是 BC 的中点,四面体 P ? BCG 3 的体积为 . (1)求过点 P,C,B,G 四点的球的表面积; (2)求直线 DP 到平面 PBG 所成角的正弦值; (3)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使 DF ? GC ,若存在, 确定点 F 的位置,若不存在,说明理由.
P

8 3

A

G

D

B

E

C

19.已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? x 2 ? ax . 3

(1)若 f ( x ) 在区间 [1, ??) 单调递增,求 a 的最小值; (2)若 g( x ) ?

1 1 1 ,对 ?x1 ? [ , 2], ?x2 ? [ , 2] ,使 f ? ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求 a 的范围. x e 2 2

20.已知数列 {an },( n ? N ) 满足 a1 ? 1 ,且对任意非负整数 m, n(m ? n) 均有:

a m ? n ? am ? n ? m ? n ? 1 ?
(1)求 a0 , a2 ;

1 ( a2 m ? a2 n ) . 2

(2)求证:数列 {am ?1 ? am }( m ? N ) 是等差数列,并求 an ( n ? N ) 的通项;
* *

(3)令 cn ? an ? 3n ? 1( n ? N ) ,求证:
*

?c
k ?1

n

1
k

?

3 . 4

21. 定义函数 f k ( x ) ?

a ln x 为 f ( x ) 的 k 阶函数. xk

(1)求一阶函数 f1 ( x ) 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,讨论方程 f 2 ( x ) ? 1 的解的个数; (3)求证: 3ln x ? x 3e x ?1 .

成都七中高 2014 届一诊模拟 数学试卷(文科参考答案)
1-10:DCABD 11. DBCBA

10 7 7 8 4 4 8 ? 12. ? 13. 14. ( ? , ? ) ? ( , ) 15.①⑤ 2 3 9 3 3 3 3

16.解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? m = 1 ? cos 2 x ? 3 sin x ? 1 ? m = ? 2 sin(2 x ? 由

?
6

) ? 2 ? m ………………3 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2k? (k ? Z ) 2

得 y ? f ( x) 在 R 上的单调递增区间为 [k? ? 又 f ( x) 的定义域为 [ ?

?
6

, k? ?

2? ] (k ? Z ) 3

?
2

,? ] ,

∴ y ? f ( x) 的增区间为: [?

?

? ? 2? , ? ],[ , ] (中间若用“ ? ”扣 2 分)……………7 分 2 3 6 3

(Ⅱ)当

?
2

? x ? ? 时,

7? ? 13? ? 1 ∴ ? 1 ? sin(2 x ? ) ? ? 2x ? ? 6 6 6 6 2

∴ 1 ? m ? f ( x) ? 4 ? m ,∴ ?

?1 ? m ? 2 ? m ? 1 ………………………………12 分 ?4 ? m ? 5

17.解: (1)投两颗骰子包含的基本事件为: (1,1) , (1, 2) , (1, 3) , ? , (6, 6) 共 36 种。 点数和为 3 的倍数有:(1, 2) ,(1, 5) ,(2,1) ,(2, 4) ,(3, 3) ,(3, 6) ,(4, 2) ,(4, 5) ,(5,1) ,

(5, 4) , (6, 3) , (6, 6) 共 12 种
两骰子点数之和为 3 的倍数概率为:

5? 2 ? 2 1 ? ……………………2 分 36 3

第二次由甲投的概率为: P ?

1 3 1 3 2 2 5 ? ? ……………………6 分 3 3 9

第三次由甲投的概率为: P ? ( )2 ?

(2)求前 4 次抛掷中甲恰好掷两次的概率为

P ? P (甲甲乙乙) ? P (甲乙甲乙) ? P(甲乙乙甲)

1 2 1 2 2 2 2 1 2 P? ? ? + ? ? + ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3
∴P ?

14 ………………………………………………12 分 27
8 3

18.解: (1)由四面体 P ? BCG 的体积为 .∴ PG ? 4 以 GP , GB, GC 构造长方体,外接球的直径为长方体的体对角线。 ∴ (2 R)2 ? 16 ? 4 ? 4 ∴ R ?

6

∴ V ? 4? ? 6 ? 24? …………………………………………3 分 (2)由 GB ? GC ? 2 ∴ ?BGC 为等腰三角形,GE 为 ?BGC 的角平分线,作 DK ? BG 交 BG 的延长线于 K, ∴ DK ? 面BPG 。由平面几何知识可知: DK ? GK ?
PBG 所成角为 ?

3 PD ? 2

41 2

设直线 DP 与平面

∴ sin ? ?

DK 3 82 …………………………………………………………8 分 ? DP 82

(法二:建系) (3)? GB, GC , GP 两两垂直,分别以 GB, GC , GP 为 x, y, z 轴建立坐标系 假设 F 存在且设 F (0, y,4 ? 2 y )(0 ? y ? 2) ? D( ?

3 3 , , 0), G(0, 0, 0), C (0, 2, 0) 2 2

∴ DF ? ( , y ?

????

3 2

??? ? 3 , 4 ? 2 y ), GC ? (0, 2, 0), 又直线 DF 与 GC 所成的角为 900 2

???? ??? ? 3 | DF ? GC | |2y ? 3| ? ? ???? ??? ? ? 0∴ y ? ∴ cos 90 ? ???? ??? 2 | DF || GC | | DF || GC |
0

∴当

CF 1 ? 时满足条件……………………………………………………12 分 CP 4

2 19.解: (1)由 f ? ( x ) ? x ? 2 x ? a ? 0 在 [1, ??) 恒成立

得: a ? ?( x ? 1) ? 1
2

而 y ? ?( x ? 1) ? 1 在 [1, ??) 单调递减,从而 ymax ? ?3 ,
2

∴ a ? ?3

∴ amin ? ?3

………………………………………………6 分

(2)对 ?x1 ? [ , 2], ?x2 ? [ , 2] ,使 f / ( x1 ) ? g( x2 ) ∴ [ f ?( x )]max ? [ g( x )]max

1 2

1 2

1 f ?( x ) ? ( x ? 1)2 ? a ? 1 在 [ , 2] 单调递增 2
∴ f ?( x )max ? f ?(2) ? 8 ? a …………………………8 分

1 e 1 g( x ) 在 [ , 2] 上单调递减,则 g( x )max ? g( ) ? 2 e 2
∴8? a ?

e e ,则a ? ? 8 …………………………………………12 分 e e

20.解: (1)令 m ? n 得 a0 ? 1 ,…………………………1 分 令 n ? 0 ,得 a2 m ? 4am ? 2m ? 3 ,∴ a2 ? 3 ……………………3 分 (2)令 n ? 1 ,得: am ?1 ? am ?1 ? m ? 2 ? ∴ am ? 1 ? am ? am ? am ? 1 ? 2

1 (a ? a2 ) ? 2am ? m 2 2m

,又 a2 ? a1 ? 2 ,

∴数列 {am ?1 ? am } 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列. ∴ am ?1 ? am ? 2m( m ? N )
*

∴ am ? a1 ?

m ?1 k ?1

? (a

k ?1

? ak ) ? m( m ? 1) ? 1( m ? N * )
*

∴ an ? n( n ? 1) ? 1( n ? N ) ………………………………9 分 (3)? cn ? an ? 3n ? 1 ? n2 ? 2n( n ? N * ) ∴
n

1 1 ? cn n( n ? 2)



?c
k ?1

1
k

?

1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ? ? ? …………13 分 2 3 2 4 n n? 2 4 2 (n ? 1 ) 2( n ? 2) 4
a ln x a ? a ln x a(1 ? ln x) ( x ? 0) , f1?( x) ? ? ( x ? 0) x x2 x2

21.解(1) f1 ( x) ?

令 f1?( x) ? 0 ,当 a ? 0 时, x ? e.

?当 a ? 0 时, f1 ( x) 无单调区间;
当 a ? 0 时, f1 ( x) 的单调增区间为 (0, e), 单减区间为 (e, ??) . 当 a ? 0 时, f1 ( x) 的单调增区间为 (e, ??) ,单减区间为 (0, e) . ?????? 4 分.

a ln x ln x 1 ? 1, ? 2 ? . 2 x x a ln x x ? 2 x ln x 1 ? 2ln x 令 g ( x) ? 2 ( x ? 0). 则 g ?( x) ? ? . 由 g ?( x) ? 0 得 x ? e , x x4 x3 1 从而 g ( x) 在 (0, e ) 单调递增,在 ( e , ??) 单调递减. g ( x)max ? g ( e ) ? . 2e 当 x ? 0 时, g ( x) ? ?? ,当 x ? ?? g ( x) ? 0.
(2)由

1 1 ? ,即 a ? 2e 时,方程有两个不同解. a 2e 1 1 当 ? ,即 0 ? a ? 2e 时,方程有 0 个解. a 2e 1 1 当 ? ,或即 a ? 2e 时,方程有唯一解. a 2e 综上 , 当 a ? 2e 时 , 方程有两个不同解 . 当 0 ? a ? 2e 时 , 方程有 0 个解. 当 a ? 2e , 方程有唯一 解. ??? 9 分. (3)特别地,当 a ? 1 时
?当 0 ?
由 f 3 ( x) ?

ln x x 2 ? 3x 2 ln x 1 ? 3ln x ? 得 . f ( x ) ? ? ( x ? 0) 3 x6 x4 x3
1

由 f3?( x) ? 0 得 x ? e 3 ,
1 1

则 f 3 ( x) 在 (0, e 3 ) 单调递增,在 (e 3 , ?? ) 单调递减. f3 ( x)max ? f3 (e 3 ) ?

1

1 . 3e

? f 3 ( x) ?

ln x 1 x3 即 .又 x ? 0 时, e x ? 1. ?3ln x ? x3e x ?1 ?????? 14 分. 3ln x ? ? , 3 e x 3e


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